La siguiente aplicación muestra las tres rectas (roja, verde y azul) que distan lo mismo de cada par de vértices del triángulo. Donde se encuentren las tres rectas estará el punto que equidista de los tres vértices: el circuncentro.

Dado un triángulo ABC, el circuncentro O es el punto que equidista de los vértices.

En la parte izquierda dispones de herramientas que te permiten construir directamente la circunferencia circunscrita, el circuncentro y las mediatrices. En la parte derecha, dispones de las herramientas de GeoGebra para construir esos mismos lugares geométricos.

Preguntas

1. Si el circuncentro es el punto que está a la misma distancia de A, B y C, tendrá que ser el centro de la circunferencia que pasa por esos puntos. ¿Por qué? Construye esa circunferencia (llamada circunferencia circunscrita).

2. Construye el centro de esa circunferencia (circuncentro).

3. El circuncentro también es el punto donde concurren las tres mediatrices de los lados. Construye las mediatrices y compruébalo. ¿Por qué sucede eso?

4. ¿Dónde se sitúa el circuncentro cuando el triángulo es isósceles? ¿Por qué?

5. ¿Cómo ha de ser el triángulo ABC para que el circuncentro se sitúe en uno de sus lados? Cuando eso suceda, ¿con qué punto coincide el circuncentro? ¿Por qué?

6. ¿Cómo ha de ser el triángulo ABC para que el circuncentro se sitúe en su exterior? ¿Por qué?

7. ¿Cuál es el menor círculo que incluye al triángulo ABC? ¿Depende de la forma del triángulo?

8. Queremos situar una farola en una isleta triangular, de modo que la ilumine completamente. Si la isleta tiene forma de triángulo acutángulo o rectángulo, el lugar ideal para colocar la farola sería el circuncentro. ¿Cuál es el mejor lugar en el caso de que la isleta tenga forma de triángulo obtusángulo?

9. Vamos a demostrar que el radio R de la circunferencia circunscrita mide ab/2h, donde h es la altura sobre el lado c (o, equivalentemente, R es la razón entre el producto de los lados y 4 veces el área):

   1. Activa la casilla Radio. El ángulo verde en A es igual al ángulo verde señalado en O. ¿Por qué? (Pista: observa la relación de ambos con el arco verde BC.)

   2. El triángulo OBC es isósceles. ¿Por qué?

   3. El punto A' es el punto medio del lado a. Entonces el triángulo OA'C es rectángulo. ¿Por qué?

   4. Al trazar la altura h, el triángulo azul es semejante al triángulo OA'C. ¿Por qué?

   5. De esa semejanza se deduce que h/b = (a/2)/R y de ahí la igualdad que queríamos obtener. ¿Por qué?