La siguiente aplicación muestra las tres rectas (roja, verde y azul) que distan lo mismo de cada par de lados del triángulo. Donde se encuentren las tres rectas estará el punto que equidista de los tres lados: el incentro.

Dado un triángulo ABC, el incentro I es el punto del interior del triángulo que equidista de los lados.

En la parte izquierda dispones de herramientas que te permiten construir directamente la circunferencia inscrita, el incentro, las bisectrices interiores y el triángulo de contacto interior. En la parte derecha, dispones de las herramientas de GeoGebra para construir esos mismos lugares geométricos.

Preguntas

1. Si el incentro es el punto que está a la misma distancia de los lados, tendrá que estar a la misma distancia de cada par de lados, es decir, en la bisectriz interior de cada ángulo. Construye esas bisectrices interiores.

2. El incentro será por tanto el punto donde concurren las tres bisectrices interiores de los lados. Construye ese punto y comprueba que efectivamente dista lo mismo de los tres lados.

3. El incentro es el centro de la circunferencia tangente a los tres lados, llamada circunferencia inscrita. ¿Por qué? Construye la circunferencia inscrita. (Pista: para determinar su radio, traza una perpendicular desde el incentro a un lado cualquiera.) Al unir los puntos de tangencia obtenemos el triángulo de contacto interior.

4. ¿Cuál es la mayor circunferencia que cabe dentro del triángulo ABC? ¿Por qué?

5. ¿Cuál es el punto del triángulo ABC más alejado de los lados? ¿Por qué?

6. Vamos a demostrar que el radio r de la circunferencia inscrita es la razón entre el área y el semiperímetro S del triángulo ABC, es decir, r =  ABC/S.

   1. Activa la casilla Radio. Los radios entre el incentro y los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita dividen al triángulo ABC en tres cuadriláteros con forma de cometa. Cada uno de estos cuadriláteros, a su vez, se divide en dos partes al conectar el incentro con el vértice. Estas dos partes son congruentes (iguales salvo posición). ¿Por qué?

   2. Debido a esa igualdad, la suma x + y + z es el semiperímetro del triángulo ABC. ¿Por qué?

   3. Como todos los triángulos azules tienen la misma altura r, podemos recolocar los 3 triángulos azules y sus 3 triángulos amarillos congruentes formando un rectángulo de área igual a la del área de ABC (el punto naranja permite mover este rectángulo). De aquí se deduce lo que queríamos demostrar. ¿Por qué?