La siguiente aplicación muestra las tres rectas (roja, verde y azul) que distan lo mismo de cada par de lados del triángulo (prolongados como rectas) y no pasan por el interior del triángulo. Donde se encuentren las tres rectas estarán los tres puntos que equidistan de las prolongaciones de los tres lados: los exincentros.

Dado un triángulo ABC, los exincentros J_A, J_B y J_C son los puntos que equidistan de los lados a, b y c (o sus prolongaciones) situados en el exterior del triángulo.

En la parte izquierda dispones de herramientas que te permiten construir directamente las circunferencias exinscritas, los exincentros, las bisectrices exteriores y los tres triángulos de contacto exterior. En la parte derecha, dispones de las herramientas de GeoGebra para construir esos mismos lugares geométricos.

Preguntas

1. Si los exincentros son los puntos exteriores al triángulo que están a la misma distancia de los lados, tendrán que estar a la misma distancia de un lado que de las prolongaciones de los otros dos lados, es decir, en la bisectriz interior de un ángulo y en las bisectrices exteriores de los otros dos. Construye esas bisectrices interiores y exteriores.

2. Los exincentros serán por tanto los puntos donde concurren dos bisectrices exteriores con una bisectriz interior. Construye esos puntos y comprueba que efectivamente distan lo mismo de los tres lados (o sus prolongaciones).

3. Los exincentros son los centros de las circunferencias tangentes a un lado y las prolongaciones de los otros dos, llamadas circunferencias exinscritas. ¿Por qué? Construye las circunferencias exinscritas. (Pista: para determinar su radio, traza una perpendicular desde el exincentro al lado.) Al unir los puntos de tangencia obtenemos los tres triángulos de contacto exterior.

4. El radio de cada circunferencia exinscrita es la razón entre el área del triángulo y (S-lado) donde S es el semiperímetro y "lado" es el lado del triángulo que toca la circunferencia: r_A = ABC/(S-a), r_B = ABC/(S-b), r_C = ABC/(S-c). ¿Sabrías demostrar las siguientes consecuencias de estas igualdades?

   1. La mayor circunferencia exinscrita corresponderá al mayor lado, y la menor al lado menor.

   2. Los radios de las circunferencias exinscritas son mayores que el radio de la circunferencia inscrita.

   3. El área del triángulo es la raíz cuadrada del producto de los radios de las circunferencias exinscritas e inscrita. [Pista: la fórmula de Herón establece que el área de un triángulo es igual a la raíz cuadrada de S (S-a) (S-b) (S-c).]

   4. (Solo para apasionados de las transformaciones algebraicas.) Intenta demostrar que la suma de los radios de las circunferencias exinscritas es igual al radio de la circunferencia inscrita más cuatro veces el radio de la circunferencia circunscrita: r_A + r_B + r_C = r + 4R.