A partir de solo tres puntos, los vértices de un triángulo, podemos construir multitud de objetos geométricos: otros puntos, otros triángulos, rectas, circunferencias, cónicas... todos ellos relacionados entre sí y con diversas propiedades interesantes.

Una vez construidos cada uno de esos objetos, con GeoGebra podemos comprimir el proceso de construcción en un botón, de forma que podemos crear una colección de herramientas personales que nos evite tener que realizar esas mismas construcciones más veces.

A continuación, hay dos aplicaciones. En la primera puedes ver 27 de esas herramientas personales: practica un poco con ellas. Basta elegir una y hacer clic sobre el triángulo ABC. En la segunda aplicación, más abajo, está el juego.

Ahora intenta alcanzar la mayor puntuación en el siguiente juego. El deslizador vertical te permite elegir cada uno de los 27 lugares. Debes colocar el número de cada lugar en la celda de la columna A de la hoja de cálculo en cuya fila se encuentre el nombre de ese lugar. En cada acierto, el texto correspondiente pasa de ser rojo a ser verde.

Como ayuda, tienes la definición de los lugares, bajo la aplicación, y las herramientas de GeoGebra para realizar comprobaciones.

Definición de los lugares

1. Circunferencia que pasa por los vértices.

2. Centro de la circunferencia circunscrita. Equidista de los vértices.

3. Rectas perpendiculares a cada lado por su punto medio. Concurren en el circuncentro.

4. Circunferencia tangente a los tres lados.

5. Circunferencias tangentes entre sí y a dos lados.

6. Triángulos de vértices los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita.

7. Centro de la circunferencia inscrita. Equidista de los lados.

8. Rectas equidistantes de los lados que concurren en un mismo punto. Concurren en el incentro.

9. Circunferencias tangentes a un lado y a las prolongaciones de los otros dos.

10. Triángulos de vértices los puntos de tangencia de las circunferencias exinscritas.

11. Centros de las circunferencias exinscritas.

12. Rectas equidistantes de los lados que no concurren en un mismo punto. Cada par concurre con la bisectriz interior del ángulo restante en un exincentro.

13. Hipérbola que pasa por el circuncentro, el incentro y los exincentros.

14. Rectas que dividen cada ángulo interior en tres ángulos iguales.

15. Triángulo equilátero de vértices las intersecciones de las trisectrices interiores.

16. Rectas que unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto.

17. Triángulo de vértices los puntos medios de los lados.

18. Punto de concurrencia de las medianas.

19. Rectas simétricas de las medianas respecto a las bisectrices.

20. Punto de concurrencia de las simedianas.

21. Rectas perpendiculares por cada vértice al lado opuesto.

22. Intersecciones de las alturas con los lados.

23. Triángulos de vértices cada pie de una altura y los puntos medios de los otros dos lados.

24. Punto de concurrencia de las alturas.

25. Circunferencia que pasa por los puntos medios de los lados. También pasa por los pies de las alturas y por los puntos medios entre el ortocentro y los vértices.

26. Recta en la que se alinean el ortocentro, el baricentro, el circuncentro y el centro de la circunferencia de 9 puntos.

27. Punto que minimiza la suma de distancias a los vértices. Coincide con el punto desde el que se abarca cada lado con el mismo ángulo (de 120º) cuando el mayor ángulo del triángulo no supera 120º (en caso contrario, coincide con el vértice de ese ángulo).