En esta actividad jugaremos con algunas relaciones curiosas, pero se podrían añadir muchísimas más. Partiendo de los vértices A, B y C de un triángulo, sus ángulos y sus lados dan lugar a miles de lugares geométricos estrechamente conectados.

Lo más curioso, casi mágico, es que el tipo de elemento geométrico, el  proceso de construcción que lo origina y las propiedades de cada uno de esos lugares pueden ser muy dispares, como ahora veremos.

Preguntas

1. Activa la casilla Circuncentro (punto O). ¿Qué rectas concurren en él? ¿Qué relación guarda el circuncentro con los vértices?

2. Activa las casillas "Bisectrices interiores", "Incentro" (punto I), "Bisectrices exteriores" y "Exincentros" (puntos J_A, J_B y J_C). Los puntos O, I, J_A, J_B y J_C son cinco puntos, en general distintos, que determinan una única cónica que pasa por ellos.
   
   En este caso, esos 5 puntos determinan una hipérbola, conocida como hipérbola de Stammler. Activa esa casilla para verla. Mueve los vértices del triángulo para comprobar que el ajuste es perfecto. ¿En qué par de rectas se convierte ("degenera") la hipérbola cuando el triángulo se hace isósceles?

3. De lo anterior se desprende que la hipérbola de Stammler conecta de alguna forma las mediatrices (circuncentro) con las bisectrices (incentro y exincentros). Activa la casilla Medianas, aparecerán en verde. ¿En qué centro concurren las medianas? ¿Ese punto forma parte de la hipérbola de Stammler o no? Mueve los vértices del triángulo para comprobarlo.

4. Por la forma en que la hemos construido, parece que la hipérbola de Stammler no tiene nada que ver con las medianas. Sin embargo, hagamos lo siguiente. Reflejemos las 3 medianas en las bisectrices interiores de su mismo vértice. Puedes ver las rectas reflejadas, en verde y trazo discontinuo, activando la casilla Simedianas (que es como se llaman estas rectas simétricas de las medianas).
   
   Las simedianas concurren en el punto simediano K. Activa la casilla "Puntos simediano" para verlo. ¿Este nuevo punto forma parte de la hipérbola de Stammler o no? Mueve los vértices del triángulo para comprobarlo.

5. Ahora, toda la magia del triángulo. Pulsa el botón Reiniciar. Activa la casilla "Círculos de Stammler". Puedes mover el deslizador del radio. Estos círculos (vemos uno, pero hay tres más) dividen a los lados del triángulo (o sus prolongaciones) en segmentos proporcionales a sus longitudes. Esta proporcionalidad no tiene nada que ver, aparentemente, con medianas, ni mediatrices, ni bisectrices... Pero:

   1. Observa que ajustando adecuadamente el radio, uno de esos círculos (proporción 1:1) corresponde a la circunferencia circunscrita, cuyo centro es el circuncentro O, donde concurren las mediatrices.

   2. Observa que ajustando adecuadamente el radio, uno de esos círculos (proporción 0:1) corresponde a la circunferencia inscrita, cuyo centro es el incentro I, donde concurren las bisectrices.

   3. Activa de nuevo la casilla "Hipérbola de Stammler" y observa que, en realidad, ¡todos los centros de los círculos (da igual el radio) que cortan proporcionalmente a los lados del triángulo caen sobre la hipérbola! Mueve el deslizador del radio para comprobarlo.

6. Veamos otro truco de magia. Pulsa el botón Reiniciar. De la misma forma que las bisectrices interiores dividen cada ángulo en dos partes iguales, las trisectrices interiores (activa esa casilla) dividen cada ángulo en tres partes iguales. Observa que esas trisectrices se cortan formando un hexágono irregular en el interior del triángulo.
   
   Recuerda que A, B y C son posiciones cualesquiera del plano, así que no es raro que el hexágono sea irregular, lo raro sería que fuese regular. Pues bien, lo creas o no, tres vértices de ese hexágono irregular forman siempre un triángulo equilátero perfecto. Trata de descubrirlo; si no lo encuentras, activa la casilla "Triángulo de Morley" para verlo.

7. Un último pase mágico para acabar. Pulsa el botón Reiniciar. Activa las casillas "Primer punto isogónico" (punto verde) y "Segundo punto isogónico" (punto rojo). Esos puntos tienen la propiedad que desde ellos se ven los lados bajo ángulos de 60º y 120º. Pero si el triángulo no es demasiado obtuso, concretamente si el mayor de sus ángulos no supera los 120º, entonces el primer punto isogónico ve los tres lados con el mismo ángulo. ¿Cuánto vale ese ángulo?
   
   Construye el punto medio de los puntos isogónicos. Activa la casilla "Circunferencia de 9 puntos". ¿Qué sucede? Mueve los vértices del triángulo para comprobarlo.
   
   Cuando un triángulo tiene un ángulo mayor que 120º, el punto que minimiza la suma de distancias a los vértices (conocido como punto de Fermat), es el vértice de ese ángulo obtuso. Pero si el mayor ángulo no alcanza los 120º, ese punto es... ¡adivínalo! (o activa la casilla "Punto de Fermat" para averiguarlo).