Dados dos puntos distintos, podemos conseguir, de diversas maneras, infinitos puntos más asociados a ellos. Por ejemplo, podemos reflejar uno en el otro, y volver a reflejar el resultado, etc., o podemos hallar el punto medio, y volver a hallar el punto medio entre el punto medio y otro punto, etc. Ahora bien, todos esos infinitos puntos, o la inmensa mayoría, no son "interesantes" porque su modo de construcción no confiere a cada punto propiedades especiales, solo las que resultan evidentes de su proceso de construcción. No son, pues, puntos notables.

En cambio, la cantidad y variedad de relaciones existentes entre los puntos y lugares asociados a un triángulo es realmente impresionante. Están catalogados más de 3.500 puntos notables distintos, más que estrellas puedes ver a simple vista en una noche despejada. Son tantos que, con cierto humor, las siglas del catálogo web que los recopila, en continua expansión, son "ETC" (Encyclopedia of Triangle Centers).

Los 4 primeros puntos catalogados son X(1) = I incentro I, X(2) = G baricentro, X(3) = O circuncentro, X(4) = H ortocentro. El quinto punto, X(5), es el centro de la circunferencia de 9 puntos. El punto simediano K es X(6). Los puntos X(13) y X(14) son los puntos isogónicos.

Preguntas

1. Junto al triángulo ABC, aparecen los 100 primeros puntos de ETC (aunque solo son visibles los que están suficientemente próximos al triángulo para verse). Activa la casilla "Todas las rectas". Aparecerán 132 rectas, cada una de ellas alineando 3 o más de esos 100 puntos. Aparentemente, hay un caos de puntos y rectas, pero en realidad se trata de un gigantesco tablero de "3 en raya". Mueve el deslizador amarillo para forzar al triángulo a ser rectángulo, isósceles y equilátero. ¿Qué sucede en cada caso? ¿Por qué crees que sucede?

2. Vuelve a la posición de "triángulo arbitrario". Con el deslizador verde (ayúdate de las teclas + y - para moverlo con precisión) elige el punto X(2), el baricentro, que aparecerá agrandado. Comprueba que efectivamente se trata del baricentro construyendo este punto con la herramienta Baricentro.
   
   Activa la casilla "Rectas por este punto". Aparecerán las rectas (nada menos que 17) que alinean a tres puntos o más, siendo uno de ellos X(2). Una de ellas es la recta 1 que puedes elegir en el deslizador azul. Activa y desactiva la casilla "Puntos en esta recta" para resaltarlos (son 15). De esos quince puntos, además de X(2), destacan los puntos X(3), X(4) y X(5). ¿Cómo se llama esa recta? Compruébalo con la herramienta del mismo nombre.

3. Haz lo mismo con los puntos X(1), X(3), X(4) y X(5). En la siguiente tabla se recoge la cantidad de puntos que alinea cada recta (de entre los 100 primeros de ETC).
    

   Rectas	Número de puntos
   1	15
   2	11
   3	10
   4	8
   5 y 6	7
   7 y 8	6
   9 a 19	5
   20 a 34	4
   35 a 132	3

   
   Como ves, todos los puntos están fuertemente relacionados. Sin embargo, los procedimientos para construirlos pueden ser muy diferentes. Por ejemplo, vamos a construir el punto de Kosnita, X(54). Sigue los siguientes pasos:

   1. Crea el circuncentro O del triángulo ABC.

   2. Construye el triángulo OBC y crea su circuncentro O_A. Traza la recta AO_A.

   3. Construye el triángulo OAC y crea su circuncentro O_B. Traza la recta BO_B.

   4. Construye el triángulo OAB y crea su circuncentro O_C. Traza la recta CO_C.

   5. Estas tres rectas concurren en el punto X(54). Compruébalo con el deslizador verde.

4. Muchos pares de puntos son conjugados isogonales. Esta relación es importante y frecuente. Significa que si elegimos dos lados cualesquiera del triángulo ABC, el ángulo que forma un lado con un punto es igual al ángulo que forma el otro lado con el otro punto. Por ejemplo, el circuncentro O = X(3) y el ortocentro H = X(4) son conjugados isogonales. Compruébalo.

5. Al final de los botones de herramientas tienes la herramienta "Conjugado isogonal" de un punto. Con ayuda de esa herramienta (primero clic en el triángulo, luego en el punto), comprueba que los siguientes pares de puntos son conjugados isogonales:

   1. El punto simediano K = X(6) y el baricentro G = X(2).

   2. El punto de Kosnita, X(54) (ver pregunta 3), y el centro de la circunferencia de 9 puntos, X(5).

6. Construir el conjugado isogonal de un punto P cualquiera es sencillo. Basta unir ese punto con cada vértice mediante una recta y reflejar esa recta en las bisectriz interior de ese vértice. Las tres rectas resultantes concurren en el conjugado isogonal P* del punto P. Sabiendo esto, ¿cuál es el conjugado isogonal del incentro I = X(1)? Compruébalo con la herramienta "Conjugado isogonal".

7. ¿Por qué, tal como aparece en la pregunta 5, el punto simediano K es el conjugado isogonal del baricentro G?

8. El punto de Prasolov, X(68), es el punto donde concurren las rectas AA', BB' y CC', siendo A', B' y C' los vértices del triángulo que es la reflexión del triángulo órtico de ABC en el centro de la circunferencia de 9 puntos. Con esta definición, ¿sabrías construir el punto de Prasolov? Compruéba tu construcción con el deslizador verde.