Imagina que estás en medio de una habitación con el suelo en forma de triángulo equilátero. Cuando te mueves por ella, a veces estarás más cerca de una pared, a veces más cerca de otra...

... pero la suma de distancias a las tres paredes ¡será siempre la misma! Esta actividad te ayudará a comprobar esta afirmación, conocer a qué equivale esa suma constante y entender por qué no varía.

Preguntas

1. Mueve el punto rojo del interior del triángulo equilátero.

   1. Las distancias de ese punto a las rectas de los lados, ¿permanecen constantes al mover el punto?

   2. La suma de distancias de ese punto a las rectas de los lados, ¿permanece constante al mover el punto por el interior del triángulo?

   3. ¿Cambia el valor de esa suma al variar el tamaño del triángulo? (Puedes mover A o B.)

   4. Cuando mueves el punto fuera del triángulo, esa suma de distancias a las rectas de los lados, ¿se mantiene constante? (Atención: observa bien el color del segmento equivalente a cada distancia y el signo con que aparece cada sumando.)

   5. Para un triángulo equilátero fijo ABC, ¿cómo definirías la suma que permanece siempre constante, tanto dentro como fuera del triángulo, es decir, la suma mostrada en la aplicación?

2. Pulsa el botón de   Reproducir-Parar.

   1. ¿A qué longitud equivale la suma de las longitudes de a, b y c?

   2. ¿Qué sucede cuando el punto se encuentra fuera del triángulo?

3. Demostremos ahora el teorema de Viviani: "La suma de las distancias desde un punto cualquiera P del interior (o en un lado) de un triángulo equilátero a cada uno de sus lados es constante."

   1. Si llamamos L a la longitud del lado del triángulo equilátero ABC y h a sus altura, ¿cuánto mide el área del triángulo ABC?

   2. ¿Cuánto miden las áreas de los tres triángulos (rojo, amarillo y azul)?

   3. De estas dos mediciones se deduce el teorema de Viviani. ¿Por qué?

4. El teorema de Viviani se puede generalizar a otros tipos de polígonos. Por ejemplo, cualquier polígono regular lo cumple. Compruébalo en la aplicación. ¿Encuentras alguna relación entre la suma constante, la apotema y el número de lados? ¿Por qué se da esa relación?

5. El teorema de Viviani se puede generalizar a otros tipos de polígonos. Por ejemplo, cualquier polígono equilátero lo cumple. Compruébalo en la aplicación para los casos de cuatro y cinco lados (en este último caso, al mover algún vértice el pentágono correspondiente puede dejar de existir por estar los vértices demasiado alejados).

6. El teorema de Viviani se puede generalizar a otros tipos de polígonos. Por ejemplo, cualquier polígono equiángulo lo cumple. Compruébalo en la aplicación.