Imagina que hay que construir una autopista que una entre sí tres ciudades de manera que el número de kilómetros construidos sea el menor posible. En términos matemáticos, este problema se enuncia como:

Dado un triángulo, ¿cuál es el punto en el que la suma de las distancias a sus vértices es menor?

Parece ser que el primero en plantear este problema fue el matemático francés Fermat (siglo XVII), uno de los más importantes de esa época. Un contemporáneo suyo, el matemático italiano Torricelli (el que descubrió la presión atmosférica), consiguió resolverlo. Fue un discípulo de Torricelli, Viviani, quien publicó la solución en su nombre.

Preguntas

1. Mueve los vértices A, B, C y observa la posición del punto de Fermat (punto F), que es el punto que minimiza la suma de distancias a los vértices. ¿Cuándo ocupa una posición en el interior del triángulo? ¿Cae alguna vez en el exterior? ¿Cuándo coincide con un vértice?

2. Mueve el punto P y observa cómo varía la suma de distancias de ese punto a los vértices. Comprueba que esa suma siempre será mayor que la obtenida desde F, a no ser que P coincida con F.
   
   Cuando el mayor de los ángulos del triángulo ABC no alcanza los 120º, el punto de Fermat permanece en el interior del triángulo y su posición coincide con la del primer punto isogónico. Vamos a demostrarlo. Ve avanzando por los 17 pasos de la siguiente construcción según las indicaciones de cada pregunta.

3. Avanza al paso 2. El punto F es el primer punto isogónico. Queremos demostrar que es el punto de Fermat, es decir, queremos demostrar que F minimiza la suma de distancias a los vértices. Avanza hasta el paso 6 y describe la construcción que se ha realizado.

4. Avanza hasta el paso 9. ¿Por qué los tres ángulos miden 120º?

5. ¿Cuánto miden los ángulos interiores del triángulo A'B'C'? (Pista: observa el cuadrilátero BFCA', por ejemplo, y recuerda que la suma de los ángulos interiores a un cuadrilátero cualquiera es de 360º.) Comprueba tu respuesta avanzando hasta el paso 13.

6. El triángulo A'B'C' es, pues, equilátero. Así que los puntos de su interior cumplen el teorema de Viviani. Avanza hasta el final. Se cumple que AF + BF + CF = a' + b' + c'. ¿Por qué?

7. También se cumple que a' ≤ AP, b' ≤ BP, c' ≤ CP. ¿Por qué?

8. De todo ello se deduce que AF + BF + CF ≤ AP + BP + CP. ¿Por qué?

9. La anterior desigualdad demuestra que F es efectivamente el punto de Fermat. ¿Por qué?