Tres pilotos hacen acrobacia aérea a bordo de sus tres aviones. En uno de los ejercicios que practican han de separarse en un momento determinado y seguir trayectorias divergentes, pero de modo que el avión que vuela en medio de la formación mantenga siempre la misma distancia con respecto a sus dos compañeros. ¿Qué trayectoria ha de seguir el avión que vuela en la posición central? En esta actividad vamos a tratar de determinarla.

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Preguntas

1. Haz clic sobre el botón Reproducir para iniciar la animación. Observa las trayectorias de los aviones. Mueve el punto situado sobre la trayectoria del avión central y estudia distintas posibilidades: busca de manera aproximada la trayectoria que ha de seguir para que mantenga siempre la misma distancia a los aviones que vuelan por el exterior.

2. Haz clic sobre el botón Parar para detener la animación en un punto cualquiera del recorrido. Mide la distancia entre los aviones (toma siempre el mismo punto en cada avión, por ejemplo el morro) utilizando la herramienta apropiada de GeoGebra. Si las distancias son iguales, marca un punto en el punto del avión central que has tomado como referencia para las medidas.

3. Activa otra vez la animación y vuelve a pararla en otro punto diferente. Repite otra vez la medición y en caso de que las distancias sean iguales marca un punto. Repite ese proceso algunas veces más. Ten en cuenta que después de marcar un punto y antes de activar nuevamente la animación debes seleccionar la herramienta Elige y Mueve ¿Te atreves a hacer alguna conjetura sobre la trayectoria que debe seguir el avión central para volar a la misma distancia de los otros dos?

4. Desactiva la casilla Ocultar aviones. Las dos semirrectas que aparecen dibujadas, AB y AC, representan las trayectorias de los aviones exteriores. Vamos a estudiar qué trayectoria ha de seguir el avión que vuela por el centro. Activa la casilla Colorear. Mueve, despacio, el punto D desde la semirrecta AB hasta la semirrecta AC: de ese modo vas a colorear la región comprendida entre ambas semirrectas. Observa la parte más clara del dibujo que has obtenido: esa línea más clara está formada por los puntos que quedan a la misma distancia de las dos semirrectas. ¿Se corresponde con lo que pensabas antes?

5. La línea blanca que queda a la misma distancia de las dos semirrectas se denomina BISECTRIZ del ángulo BAC. La trayectoria que ha de seguir el avión central ha de ser la bisectriz del ángulo formado por las trayectorias de los otros dos aviones. Traza, utilizando la herramienta de GeoGebra, la bisectriz del ángulo formado por las semirrectas AB y AC. Comprueba que la recta que aparece coincide con la línea más clara del sombreado.

6. ¿Por qué crees que se han dibujado dos rectas cuando has utilizado la herramienta bisectriz?

7. Utiliza la goma para borrar la región sombreada y desactiva la casilla Colorear. Borra también los puntos que habías marcado con la herramienta Elimina Objeto. Mide los ángulos CAP y PAB con la herramienta adecuada de GeoGebra. ¿Qué observas?

8. Cambia la posición de los puntos A, B y C y vuelve a medir los ángulos CAP y PAB. Repite el proceso algunas veces más y analiza los resultados que vas obteniendo. ¿Qué observas? Escribe tus conclusiones.