Teorema de Pitágoras

A lo largo de la historia han ido surgiendo cientos de demostraciones del Teorema de Pitágoras. Una buena parte de estas demostraciones tienen por objeto probar, utilizando la técnica de la disección, mediante puzzles, que el cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene el mismo área que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. Estas demostraciones visuales resultan particularmente atractivas cuando se construyen con un programa de Geometría Dinámica, al permitirnos variar de forma continua los datos de partida y comprobar la consistencia de la disección realizada.

 

Una de las demostraciones visuales más conocidas del Teorema de Pitágoras es la del británico Henry Perigal, quien dedicó muchos años de su larga vida a la demostración de teoremas geométricos, utilizando la técnica de disección.

Preguntas

  1. Mueve uno tras otro los cinco deslizadores horizontales de las piezas. Observa el desplazamiento de las piezas y su ubicación tanto sobre el cuadrado de la hipotenusa, como la que tienen inicialmente, sobre el cuadrado del respectivo cateto. ¿Cómo describirías el resultado que obtienes?

  2. Mueve los vértices del triángulo. ¿Se mantiene lo que has podido comprobar en el ejercicio anterior?

  3. Cambia el valor del ángulo, utilizando el deslizador negro de la parte superior. ¿Qué observas? ¿Qué ocurre cuando el ángulo es mayor de 90º? ¿Y cuando es menor?

  4. Haz clic en el botón Reiniciar. Observa nuevamente la ubicación de las piezas sobre los cuadrados de los catetos. Describe el proceso para la construcción del puzzle.

  5. Observa ahora la construcción que tienes a continuación: sobre los lados del triángulo se han construido polígonos regulares. Con el deslizador horizontal puedes modificar el número de lados del polígono.

  1. ¿Qué relación hay entre las áreas de los polígonos construidos sobre los catetos y sobre la hipotenusa, respectivamente? 

  2. Mueve los vértices del triángulo. ¿Se mantiene lo que has podido comprobar en el ejercicio anterior?

  3. Cambia el valor del ángulo, utilizando el deslizador de la parte superior. ¿Qué observas? ¿Qué ocurre cuando el ángulo es mayor de 90º? ¿Y cuando es menor?

  4. Observa ahora la siguiente construcción. Activa la casilla Semicírculos.

  1. ¿Qué relación hay entre las áreas de los semicírculos construidos sobre los catetos y la hipotenusa, respectivamente? 

  2. Mueve los vértices del triángulo. ¿Se mantiene lo que has podido comprobar en el ejercicio anterior?

  3. Cambia el valor del ángulo, utilizando el deslizador de la parte superior. ¿Qué observas? ¿Qué ocurre cuando el ángulo es mayor de 90º? ¿Y cuando es menor?

  4. Haz clic en el botón Reiniciar. Activa ahora la casilla Figuras semejantes. ¿Cómo son entre sí las figuras que se han construido sobre los catetos y sobre la hipotenusa? Mueve alguno de los puntos blancos y observa el resultado.

  5. ¿Qué relación hay entre las áreas de las figuras construidas sobre los catetos y sobre la hipotenusa, respectivamente? 

  6. Mueve los vértices del triángulo. ¿Se mantiene lo que has podido comprobar en el ejercicio anterior?

  7. Cambia el valor del ángulo, utilizando el deslizador de la parte superior. ¿Qué observas? ¿Qué ocurre cuando el ángulo es mayor de 90º? ¿Y cuando es menor?

  8. ¿Cómo enunciarías esta generalización del Teorema de Pitágoras?

 

 

 








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