Cualquier azulejo cuadrilátero puede teselar el plano, incluso aunque no sea convexo (es decir, aunque tenga algún ángulo interno mayor que 180º). En esta actividad lo podrás comprobar.

Nota: En la actividad se muestra la construcción necesaria para poder teselar con azulejos de forma cuadrilátera arbitraria. Esto no impide que existan otras formas de teselar para cuadriláteros específicos. Por ejemplo, sabemos que cualquier paralelogramo puede teselar por traslación.

Preguntas

1. Describe las dos herramientas de GeoGebra que aparecen, entre "Elige y Mueve" y "Elimina Objeto", cómo se llaman, para qué sirven y cómo se aplican.

2. Los dos iconos de esas herramientas son muy parecidos. ¿En qué se diferencian y cuál es el motivo de esa diferencia?

3. Usa la herramienta "Punto Medio o Centro" para crear los puntos medios de los lados del azulejo cuadrilátero. Asegúrate de que los puntos creados no están libres (no se pueden mover directamente).

4. Usa la herramienta "Refleja Objeto por Punto" para reflejar el azulejo a través de esos puntos. ¿A qué tipo de giro equivale esta reflexión puntual?

5. Construye tu mosaico repitiendo los dos pasos anteriores con los nuevos azulejos que vayan apareciendo. ¿Por qué encajan todos perfectamente?

6. Mueve los vértices del azulejo original. ¿Sigue todo encajando incluso si el cuadrilátero no es convexo?

7. Activa la primera casilla, señalada con un ángulo verde. Explica qué aparece y por qué.

8. Activa también las siguientes tres casillas, con los otros tres ángulos. ¿Por qué en cada vértice aparecen los cuatro ángulos formando un círculo perfecto?

9. Activa la penúltima casilla, "Red invisible". Explica qué aparece y por qué.

10. Un teorema de Geometría (teorema de Varignon) dice que si unimos los puntos medios de un cuadrilátero cualquiera (incluso aunque no sea convexo) obtendremos siempre un paralelogramo. ¿Qué relación hay entre este teorema y la "red invisible"?

Nota: Como, además de las traslaciones, solo hemos usado la rotación de orden 2, el grupo de isometrías de estos mosaicos es 222 (p2). No debes confundir la "red invisible" que aparece en esta actividad con el mosaico formado por traslación de azulejos con forma de paralelogramo, tal como aparece en las actividades de los grupos de isometrías.

Activa la casilla Paralelogramos si quieres ver esos otros paralelogramos y apreciar su diferencia con la red invisible. Mientras que esta pasaba por todos los puntos medios de los lados de los cuadriláteros (y centros de rotación de orden 2 del mosaico completo), el mosaico de Paralelogramos mantiene sus azulejos centrados en algunos de esos puntos medios. La celda primitiva es la mitad (por su centro y paralelamente a un lado) de cualquiera de estos paralelogramos.