Egmont Colerus, en su "Breve historia de las matemáticas", escenifica de la manera siguiente cómo Tales de Mileto, uno de los siete sabios de Grecia, explica a los sacerdotes egipcios cómo pueden medir con exactitud la altura de la Pirámide de Keops:

"Un sacerdote egipcio le pregunta sonriendo cuál puede ser la altura de la pirámide del rey Khufu (la pirámide de Keops). Tales reflexiona y a continuación contesta que no se conforma con calcularla a ojo, pero que la medirá sin ayuda de ningún instrumento. Se echa sobre la arena y determina la longitud de su propio cuerpo. Los sacerdotes le preguntan qué es lo que está pensando, y Tales les explica: 'Me pondré simplemente en un extremo de esta línea, que mide la longitud de mi cuerpo, y esperaré hasta que mi sombra sea igual de larga. En ese instante , la sobra de la pirámide de vuestro Khufu también ha de medir tantos pasos como la altura de la pirámide.' Y como el sacerdote, desorientado por la extrema sencillez de la solución, se pregunta si acaso no hay algún error, algún sofisma, Tales añade: 'Pero si queréis que os mida esa altura, a cualquier hora, clavaré en la arena mi bastón. ¿Veis?, ahora su sombra es aproximadamente la mitad de su longitud; por consiguiente, en ese momento también la sombra de la pirámide mide más o menos la mitad de la altura. Ahora estáis en disposición de medirla con toda exactitud: os bastará comparar la longitud del bastón con la de su sombra para encontrar, mediante división o multiplicación de la sombra de la pirámide, la altura de esta'"

 ¿En qué se fundamenta Tales para medir la altura de la pirámide? ¿Qué relaciones ha descubierto? En esta aplicación vamos a tratar de encontrarlas.

Preguntas

1. Tales afirma que cuando su sombra mide lo mismo que su propia altura, la sombra de la pirámide también mide lo mismo que su altura. ¿Qué relación matemática es la que está estableciendo? ¿Cómo puede obtener, utilizando esa relación, la altura de la pirámide?
   

2. En la imagen el segmento AC representa un poste vertical, la recta CB nos señala la dirección de los rayos solares y el segmento AB es la sombra del poste sobre el suelo horizontal. Las medidas indicadas están expresadas en metros. ¿Cuál es la razón entre la altura del bastón y la longitud de su sombra? Si la longitud de la sombra de la pirámide, medida en la dirección de los rayos solares, en ese mismo instante es de 248 metros, ¿cuál es su altura? ¿Por qué?

3. Mueve el punto A. Observa que al hacerlo obtienes diferentes triángulos rectángulos ABC, pero todos ellos son semejantes, ¿por qué?

4. Calcula ahora la razón entre la altura del poste y la longitud de su sombra. Repite los cálculos para distintas posiciones del punto A. Puedes comprobar tus resultados haciendo clic sobre la casilla Mostrar razón. ¿Qué conclusiones puedes sacar? 

5. Haz clic sobre la casilla Mover rayos solares. Mueve el sol a otra posición. Observa que con ello cambia el ángulo B que forman los rayos solares con la horizontal. Para cada nuevo ángulo halla la razón entre la altura del poste y su sombra.

6. En un triángulo rectángulo la razón entre el cateto opuesto a uno de sus ángulos agudos y el cateto contiguo se llama TANGENTE de dicho ángulo. Así, por ejemplo, en los casos anteriores has calculado la tangente del ángulo B al dividir la longitud de su cateto opuesto b (altura del poste) entre la longitud de su cateto contiguo c (sombra del poste):

Completa ahora la siguiente tabla, utilizando la aplicación. Para ello, cambia el valor del ángulo, toma nota de los datos y haz los cálculos necesarios.

Ángulo B (º)	b (m)	c (m)	tg B
25
30	3
50		5
	6	4
			0.5

7. ¿Por qué la tangente de 45º es 1?

8. En el triángulo rectángulo ABC, ¿qué relación hay entre los ángulos B y C? Si la tangente del ángulo B es 0.42, ¿cuál es el valor de la tangente de C? ¿Por qué?

9. Las calculadoras científicas y gráficas nos permiten calcular la tangente de un ángulo y también hacen el cálculo inverso: conocida la tangente del ángulo, obtener éste. Localiza estas funciones en tu calculadora y utilízalas para comprobar los cálculos que has realizado en el ejercicio 6.

10. Cuando el sol está a una altura de 35º sobre el horizonte, la sombra que proyecta un árbol mide 23.5 metros. Utiliza tu calculadora para calcular la tangente de 35º y utiliza dicho dato para hallar la altura del árbol.

11. A la hora del recreo hemos medido la sombra del mástil situado a la entrada del instituto y el resultado obtenido han sido 5.73 m. Si el mástil tiene 4.5 m de altura, ¿qué ángulo formaban en ese instante los rayos solares con el suelo horizontal?

12. Uno de los catetos de un cartabón mide 12.5 cm. ¿Cuánto mide el otro cateto? ¿Hay más de una solución?