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La tabla
completa queda como sigue:
n |
Rectangular |
Triangular |
Cuadrado |
Pentagonal |
Hexagonal |
1 |
2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
6 |
3 |
4 |
5 |
6 |
3 |
12 |
6 |
9 |
12 |
15 |
4 |
20 |
10 |
16 |
22 |
28 |
5 |
30 |
15 |
25 |
35 |
45 |
6 |
42 |
21 |
36 |
51 |
66 |
7 |
56 |
28 |
49 |
70 |
91 |
8 |
72 |
36 |
64 |
92 |
120 |
9 |
90 |
45 |
81 |
117 |
153 |
10 |
110 |
55 |
100 |
145 |
190 |
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Las dimensiones
del primer rectángulo son 1x2; las del segundo 2x3; las del tercero 3x4. El
décimo será 10x11. Calculamos el número rectangular multiplicando las
dimensiones (número de filas por el número de círculos en cada fila).
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El rectángulo
que ocupa el lugar n tiene de dimensiones n y n+1. Por tanto el número
rectangular que ocupa el lugar n es:
R(n) = n·(n+1)
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Ver tabla
superior.
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Los números de
la columna 2 son el doble de los números de la columna 3.
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Vemos que el
número rectangular es justamente el doble del número triangular, lo que se
corresponde con la relación descubierta en la tabla.
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El número
triangular que ocupa el lugar n es la mitad del número rectangular de la
misma dimensión. Por tanto:
T(n) = n·(n+1)/2
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Para hallar el
segundo triangular: 1+2; para el tercero: 1+2+3; para el cuarto: 1+2+3+4;
para el décimo: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10. Para el que ocupa el lugar 100:
1+2+3+4+...+98+99+100.
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Dado que ya
sabemos cómo calcular el enésimo número triangular, tendríamos:
1
+ 2 + 3 + 4 + 5 + .... + n = n·(n+1)/2
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Ver tabla
superior.
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Elevando al
cuadrado n:
C(n) = n2
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Se comprueba que
los valores de la segunda columna se pueden obtener sumando los
correspondientes valores de la primera y de la cuarta columna. Al superponer
los números rectangulares y cuadrados se puede ver que el número rectangular
es igual al cuadrado más la columna de la derecha, formada por n elementos.
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Un número
cuadrado es la suma del triangular del mismo orden y del triangular
anterior: C(n)=T(n)+T(n-1). La relación se puede ver en la tabla y también
geométricamente superponiendo los números triangulares con los cuadrados.
También se puede demostrar que n2=n·(n+1)/2 + (n-1)·n/2.
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Ver tabla
superior.
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En la figura se
puede ver que uno de los triángulos representa el número triangular de orden
6 y los otros dos son números triangulares de orden 5. Podemos ver en la
tabla que un número
pentagonal es la suma del número triangular del mismo orden y dos veces el
número triangular anterior: P(n)=T(n)+2·T(n-1).
P(n) = C(n) + T(n-1); H(n) = 2·C(n) - n;
P(n) = T(n) + R(n-1); ...