Soluciones

1. El valor del parámetro p es 1/2 y el lado recto mide 1.

2. La ecuación de la recta directriz es y = -1/4.

3. Los triángulos rectángulos VFM y NDM son congruentes porque son semejantes (triángulos rectángulos opuestos por un vértice) y VF = DN = 1/4.

4. N = (X, 0), M = (X/2, 0).

5. D = (X, -1/4)

6. VF = 1/4, NP= Y, NM= X/2, VM= X/2.

7. Los dos ángulos de color violeta son iguales porque ambos son el complementario del ángulo azul.

8. Los dos triángulos rectángulos de color violeta son semejantes porque tienen sus ángulos iguales.

9. Como los triángulos son semejantes, tenemos la igualdad NP/NM = VM/VF porque los lados correspondientes han de ser proporcionales.

10. Sustituyendo tenemos 1/4 Y = X/2 X/2, y multiplicando ambos miembros por 4, Y = X².

11. Al mover el punto A se comprueba que sus coordenadas cumplen la relación anterior en cualquier posición.

12. La pendiente de la recta tangente en P es Y/(X/2) = 2Y/X = 2X.

13. Los puntos como (0, 1) para los cuales Y > X² son los que se encuentran entre los dos brazos de la parábola y los puntos como (2, 1) para los cuales Y < X² son los que se encuentran al otro lado de la parábola.

14. Las coordenadas de F' son (0, k/4) porque dista k veces 1/4 del centro V de homotecia. El valor del parámetro p de la nueva parábola es por tanto k/2.

15. La relación del coeficiente "a" con el parámetro p de la parábola será a = 1/k = 1/(2p) cuando "a" sea positivo y a = 1/k = -1/(2p) cuando "a" sea negativo porque el valor del parámetro p es k/2, es decir, k = 2p.

16. Se trata de una función par porque si sustituimos x por "-x" la ecuación no cambia. Por tanto, todos los puntos de la gráfica situados a la misma distancia a ambos lados del eje de ordenadas tienen la misma ordenada, es decir, son simétricos respecto a la recta x = 0.

17. La pendiente de la recta tangente será y/(x/2) = 2y/x = 2a x.

18. Los puntos para los cuales y > a x² son los que se encuentran entre los dos brazos de la parábola y los puntos para los cuales y < a x² son los que se encuentran al otro lado de la parábola.

19. Al asignar a k el valor k=2, las dos parábolas son homólogas con ese factor, es decir, todos los puntos de una distan del vértice el doble (o la mitad) que los puntos homólogos de la otra. La ecuación de una es y = x² y la de la otra es y = 1/2 x².

20. Al asignar a k el valor k=-1, las dos parábolas son homólogas con ese factor, es decir, todos los puntos de una distan del vértice lo mismo que los puntos homólogos de la otra pero reflejados en el centro de homotecia que es el vértice V, es decir, girados 180º. La ecuación de una es y = x² y la ecuación de la otra es y = -x².

21. La parábola con vértice en el origen y foco en (0, 1) tiene parámetro p=2, así que a = 1/4, y su ecuación es y = 1/4 x².

22. La parábola con vértice en el origen y foco en (0, -1) tiene parámetro p=2, pero está orientada hacia abajo, así que a = -1/4, y su ecuación es y = -1/4 x².

23. La parábola con vértice en el origen y directriz y = 0.5 tiene parámetro p=1, pero está orientada hacia abajo, así que a = -1/2, y su ecuación es y = -1/2 x².

24. La parábola con vértice en el origen y directriz y = -0.5 tiene parámetro p=1, así que a = 1/2, y su ecuación es y = 1/2 x².

25. El parámetro de la parábola de ecuación y = 2x² es p = 1/(2a) = 1/4. Su foco está en el punto (0, 1/8) y la ecuación de su recta directriz es y = -1/8.

26. El parámetro de la parábola de ecuación y = -2x² es p = -1/(2a) = 1/4. Su foco está en el punto de coordenadas (0, -1/8) y la ecuación de su recta directriz es y = 1/8.