Soluciones

1. La igualdad Y = -1/X puede interpretarse como que el área del rectángulo de dimensiones X y "-Y" es 1.

2. Al aplicar una homotecia centrada en el origen con factor k, el punto (1, 0) se traslada a una distancia k veces 1, es decir, a (k, 0), y el punto (0, 1) se traslada a (0, k). Por tanto, el vértice en V (1, 1), se trasladará a V' (k, k). (Un razonamiento equivalente se obtiene aplicando el teorema de Tales.) Dicho de otra forma, el homólogo de (x, y) será siempre (k x, k y).

3. Como y/k = 1/(x/k), entonces y/k x/k = 1, es decir, x y = k², de donde y = k²/x. (Por supuesto, operando con las fracciones se alcanza el mismo resultado.)

4. El significado geométrico que tiene el valor absoluto de la constante A, es decir, k², es el del área del cuadrado determinado por el origen y el vértice de la hipérbola o de cualquier rectángulo determinado por el origen y un punto cualquiera de la hipérbola. El signo de A determina la colocación de la hipérbola (1º y 3º cuadrantes si es positivo, 2º y 4º si es negativo).  Si el valor absoluto de A es k², las coordenadas de los vértices serán (k, signo(A) k) y (-k, -signo(A) k).

5. Basta ver la ecuación y = A/x para poder afirmar, sin necesidad de ver la gráfica, que representa a una función impar porque si sustituimos "x" por "-x" la ordenada cambia de signo, que es justo el efecto que produce una reflexión a través del origen de coordenadas.

6. Las coordenadas de los vértices de la hipérbola y = 4/x son (2, 2) y (-2, -2), pues como A es 4, k ha de valer 2. Como las distancias de los focos al origen guardan la proporción , sus coordenadas serán (2, 2) y (-2, -2).

7. El área del rectángulo que tiene como par de vértices opuestos el origen de coordenadas y un punto de la hipérbola y = -7/x es el valor absoluto de -7, es decir, 7 unidades cuadradas.