Vamos a medir unos ángulos en la circunferencia, con la ayuda del transportador. Para ello partimos de un arco BC. Podemos distinguir entonces dos tipos de ángulos que abarcan ese arco BC: los que tienen el vértice en el centro de la circunferencia O (y por eso se llaman ángulos centrales) y los que tienen el vértice en un punto A sobre la propia circunferencia (ángulos inscritos). Nuestro objetivo es ver si hay alguna relación entre unos y otros.

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Preguntas

Escena: Ángulo central y ángulo inscrito

1. Sitúa C de forma que el ángulo central azul, mida aproximadamente 90 grados (usa el transportador). ¿Cuánto mide, en esas condiciones, el ángulo inscrito amarillo con vértice en A?

2. Vuelve a hacer lo mismo que en la pregunta anterior, pero situando C de forma que el ángulo central azul tome otros valores distintos a 90º, como 60º, 80º o 100º. ¿Qué valores toma, en cada caso, el ángulo amarillo? ¿Encuentras alguna relación que se cumpla siempre entre el ángulo central azul y el ángulo inscrito amarillo?

Escena: Posición 1 (O está en un borde del ángulo inscrito)

3. El triángulo AOB es isósceles. ¿Por qué?

4. Al ser isósceles el triángulo AOB, los ángulos amarillos en A y en B son iguales. ¿Por qué?

5. La suma de esos dos ángulos amarillos es el ángulo suplementario del ángulo naranja. ¿Por qué?

6. El ángulo suplementario del ángulo naranja es el azul. ¿Por qué? De aquí se deduce que el ángulo azul es igual a la suma de los ángulos amarillos, es decir, mide el doble que el ángulo inscrito en A.

Escena: Posición 2 (O está en el interior del ángulo inscrito)

7. Aplicando lo descubierto en la posición 1, cada ángulo verde central mide el doble que el correspondiente ángulo verde inscrito. ¿Puedes deducir entonces que el ángulo central azul es el doble que el ángulo inscrito amarillo?

Escena: Posición 3 (O está en el exterior del ángulo inscrito)

8. Aplicando lo descubierto en la posición 1, los ángulos centrales verde y rojo miden el doble que los correspondientes ángulos inscritos verde y rojo. ¿Puedes deducir entonces que el ángulo central azul es el doble que el ángulo inscrito amarillo?

Conclusiones

9. De estos tres casos (posiciones 1, 2 y 3), ¿puedes deducir que entonces siempre va a suceder que el ángulo central medirá el doble que el ángulo inscrito que abarque el mismo arco BC?

10. Otra conclusión a la que podemos llegar es que todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco BC miden lo mismo. ¿Por qué?

Escena: Caso importante

11. Mueve B. ¿Cuánto vale el ángulo central azul, con vértice en O, que abarca el arco BC? ¿Siempre mide lo mismo?

12. Mueve A. ¿Cuánto vale el ángulo inscrito amarillo, con vértice en A, que abarca el arco BC? ¿Siempre mide lo mismo? ¿Es un caso particular de lo que plantea la pregunta 9?

13. Completa un enunciado de este importante caso particular rellenando el hueco: "Dada una circunferencia, cualquier punto de ella formará con los extremos de cualquier diámetro un ángulo de _________ grados."

14. Vuelve a escribir este importante caso particular de otra forma, rellenando el hueco: "Cualquier triángulo inscrito en una circunferencia que tenga su diámetro como uno de los lados será un triángulo ______________".