Métodos de ayuda en la exploración

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Día GeoGebra de Galicia. A Coruña, 11/4/2015.

| Viendo lo invisible con GeoGebra |

###### BREVE PERO EMOTIVA INTRODUCCIÓN

Sempre con Nós

La palabra "Coruña" me traslada a mi niñez y adolescencia, ya que residí en los Olmos 2, o bien Fuente de San Andrés 13 (lo de General Mola no molaba en mi familia), hasta ir a la universidad. Pero si a esa palabra le añadimos la palabra "matemáticas", me resulta imposible no recordar, aquí y ahora, a la que fue una de las más entrañables personas que he conocido, Manuel Ricardo Rogelio "Coque" Pazos Crespo, por quien tuve el honor de ser invitado para algunas de aquellas Xornadas de Matemáticas Recreativas de hace unos 20 años. Alguien verdaderamente inolvidable.

Desde entonces, y gracias a profesionales entusiastas como Coque, mi interés por la didáctica de las Matemáticas ha ido aumentando exponencialmente. Primero, a través de los juegos. Más tarde me sumergí en el mundo de la percepción. Después, estudié la relación entre música y matemáticas. Finalmente, la aparición de GeoGebra, relevando a Cabri, me atrajo irresistiblemente hacia la investigación de este escenario dinámico.

Ahora bien, ¿qué tienen que ver los juegos, la percepción, la música y la geometría dinámica? La respuesta es para mí una cualidad extraordinaria: la imaginación. Es decir, intentar visualizar aquello que no vemos directamente. Veamos un ejemplo.

###### ¿SE PUEDE VER EL SONIDO?

Un sinestésico, o algún drogadicto, tal vez respondería "pues... a veces...", pero al margen de ilusiones mentales y percepciones alucinógenas, el sonido nos resulta un fenómeno invisible. Sin embargo, podemos visualizar algunas consecuencias de sus características, como la intensidad y la frecuencia.

Intensidad: El frente de ondas sonoras que emite un avión que vuela a mayor velocidad que el sonido comprime suficientemente el aire como para condensar la humedad presente en él formando una nube cónica (envolvente de las ondas sonoras esféricas).

Frecuencia: En una placa (o platillo o membrana) que vibra, cada onda transversal la recorre completamente hasta llegar a su borde, y ahí se refleja, superponiéndose consigo misma en el camino de vuelta. Al superponerse las dos ondas para formar una onda estacionaria, aparecerán puntos (vientres) en donde las dos ondas coincidan en fase, así que la amplitud será el doble. También aparecerán puntos (nodos) en donde las ondas se encuentren desfasadas 180º, así que en ellos la amplitud será nula (no se mueven). Los nodos conforman líneas nodales en donde la placa o membrana no vibra. Sophie Germain consiguió encontrar las ecuaciones de estas líneas, a partir de su visualización en el experimento del fundador de la acústica, Ernst Chladni.

La placa se puede hacer vibrar por excitación directa, frotándola con un arco (como hizo Chladni) o agitándola con algún tipo de sistema mecánico o electromecánico. Pero también podemos conseguir que vibre por resonancia, mediante un emisor con suficiente intensidad. Esto suele hacerse colocando un altavoz justo encima o debajo de la placa, como sucede en la siguiente película en la que las diferentes frecuencias hacen saltar la sal hacia las líneas nodales [1 ].

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En este ejemplo "sonoro" vemos cómo podemos ingeniar mecanismos para visualizar una relación física entre frecuencia y vibración, que en principio se presentaba invisible. Ahora mostraré algunas formas de usar GeoGebra para visualizar lo invisible.

###### DIBUJOS Y CONSTRUCCIONES

Para mí, la siguiente construcción, aunque simplísima, muestra la idea principal de una construcción geométrica: su diferente naturaleza lógica respecto a un dibujo, aunque a la vista, sin mediar interacción, sea indistinguible el dibujo de la construcción [2 ].

Es más, GeoGebra 5 dispone de un sofisticado método de demostración simbólica automática (solo disponible con conexión a Internet) que se oculta detrás de la herramienta Relación. Con ella, es fácil distinguir cuáles de estas tres rectas son realmente paralelas y cuál es la otra que podría dejar de serlo al menor movimiento:

###### FUERZAS MOLECULARES Y PROTOCOLO DE CONSTRUCCIÓN

Supongamos que nos proponemos construir un paralelogramo articulado con dos puntos fijos, como el que muestra la siguiente imagen. No se comportará como un objeto físico, ya que mientras que podemos mover el objeto real tirando del extremo C o del extremo D, el objeto virtual solo podremos moverlo de uno de los dos extremos, dependiendo del protocolo de construcción.

Aunque, claro, con GeoGebra también se puede hacer algo de magia... Os propongo que, antes de analizar el archivo, intentéis imaginar cómo ha de ser construcción con todas sus partes, incluidas las invisibles, para poder realizar este truco.

###### TRAMA INVISIBLE

Gran parte de la matemática se dedica, en última instancia, a la búsqueda de la regularidad. Encontrar patrones ocultos, sean numéricos o geométricos, a veces es sencillo y a veces puede llegar a ser prácticamente inabordable. En cualquier caso, la visualización dinámica de los objetos geométricos, o de modelos geométricos de distribuciones numéricas, nos resulta de gran ayuda.
Por ejemplo, sabemos que cualquier cuadrilátero, incluso cóncavo, puede recubrir el plano. Esto es fácil de comprobar pero, además, haciendo uso del teorema de Varignon, podemos hacer visible la escondida regularidad de la trama [3 ].

###### CUATRO DIMENSIONES

Observar la variación de forma y tamaño de las sucesivas secciones de un cuerpo, puede ayudar a hacernos una idea de cómo es lo que estamos cortando, en el caso de que no lo podamos ver, como sucede con un cuerpo tetradimensional [4 ].

###### SERIE GEOMÉTRICA DECRECIENTE

A veces resulta conveniente empezar una construcción por el final. Algo así como realizar una "deconstrucción". Por ejemplo, la siguiente construcción muestra que la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica decreciente de razón r y primer término 1 es 1/(1-r). Partiendo del punto fijo que tiene este valor en sus dos coordenadas, comprobamos que es el punto de corte de las rectas {y = x r + 1, y = x}. Ahora, a partir del centro de coordenadas, realizamos el proceso iterativo convergente (denominado a veces "diagrama de telaraña") para observar que ir sumando los infinitos términos no es más que una ida y venida entre ambas rectas, en donde la longitud de cada tramo vertical (u horizontal) es el valor de cada término.

Este mismo diagrama puede servir para introducir el concepto de límite, ya que en él se diferencia claramente algo que nuestros alumnos tienden (nunca mejor dicho) a confundir: el proceso infinito de aproximación del resultado de la convergencia de este proceso (el límite en sí). Si se me permite el juego de palabras, los pupilos aprenden mucho mejor gracias a las pupilas...

###### EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA

Veamos otro ejemplo de "deconstrucción". En este caso, podemos elegir las n raíces reales o complejas de un polinomio de grado n y, a partir de ellas, construimos el polinomio (cuya gráfica será azul). Cada par de raíces se puede mover en una recta vertical, si son complejas, o en el eje de abscisas si son reales (en cuyo caso, serán simétricas respecto a la recta vertical).

También podemos rotar las raíces complejas hasta el eje de abscisas, transformándolas así en raíces reales que definen un nuevo polinomio (gráfica verde). La suma de ambos polinomios (gráfica roja) es un tercer polinomio de grado n-2, que además queda determinado por los puntos imagen de las raíces reales sobre el polinomio original de gráfica azul.

Por ejemplo, para n=3, la suma de ambos polinomios es la recta roja que muestra la siguiente figura. Observemos además que la recta tangente (en gris) a su paso por la vertical de las raíces complejas es común a ambos polinomios.

Como vemos, una vez más GeoGebra facilita en gran medida la observación de relaciones que no son fáciles de apreciar en un entorno estático.

Hace seis años, mientras le daba vueltas a esta idea general de hacer visible lo invisible, se me ocurrió combinar las propiedades de Rastro y Color dinámico de un punto de manera que el punto, al moverse, fuera pintando un mapa que visualizara cualquier relación matemática. Más tarde, fui perfeccionando el método. Primero con el uso de un Deslizador. Posteriormente, cuando la Hoja de Cálculo hizo su aparición en GeoGebra, con la incorporación de esta poderosa herramienta [5 ]. Comencemos por el Rastro.

###### LA PROPIEDAD RASTRO

Los objetos con representación gráfica creados con GeoGebra (puntos, rectas, polígonos, cónicas, funciones, curvas implícitas, etc.) poseen un color predeterminado, según sea su tipo. Este color puede ser modificado a gusto del usuario, tanto de forma predefinida como posteriormente, una vez definidos.

Además, cada objeto puede ser configurado, mediante la activación de su propiedad Rastro, para que, al moverse, deje rastro de su anterior posición. Es decir, al activarse esa propiedad, todos los puntos del objeto marcan con el color que poseen en ese momento cada uno de los píxeles correspondientes a la posición que ocupan en la pantalla. Al moverse el objeto, podemos observar el rastro de color que ha dejado tras sí, marcando todas y cada una de las posiciones alcanzadas por el objeto en su movimiento. Veamos algunos ejemplos de aplicación directa de esta propiedad.

###### UNA APLICACIÓN DEL RASTRO: MEDIATRICES Y DIAGRAMAS DE VORONOI

Si tenemos dos puntos y a cada uno le asociamos una circunferencia de radio igual y suficientemente amplio, con el rastro activo y color diferenciado, al contraer simultáneamente ambas circunferencias hasta alcanzar sus centros obtendremos, finalmente, la mediatriz del segmento que une ambos puntos.

Esto se debe a que el color del rastro "superviviente" siempre será el correspondiente al punto que se encuentre más próximo. Es importante observar que NO hemos construido la mediatriz. Ni siquiera existe la recta como tal. Lo que visualizamos es solo un contraste de color. Pero es suficiente para imaginar con precisión el lugar que ocupará la mediatriz, así como para intuir sus características como lugar geométrico (perpendicular por su punto medio al segmento que los puntos dados).

Mediatriz

Si este mismo procedimiento lo aplicamos a varios puntos, obtendremos el diagrama de Voronoi correspondiente, es decir, diferenciaremos las regiones formadas por los puntos más próximos a cada punto dado:

Diagrama de Voronoi

También podemos variar la métrica, tomando por ejemplo la distancia "taxi" (distancia Manhattan o Taxicab), en donde los puntos que equidistan del centro ya no están sobre circunferencias sino sobre cuadrados. Observemos de paso que el máximo número de lados de cada celda, que antes era 6, ahora es mayor.

Diagrama de Voronoi con distancia taxicab

Basta añadir un coeficiente variable que multiplique el radio de cada circunferencia para obtener otra generalización del diagrama de Voronoi, en donde ahora las fronteras son arcos de circunferencia.

Diagrama de Voronoi baremado

Por último, si en vez de contraer las circunferencias las expandimos, obtendremos el diagrama de Voronoi Lejano, es decir, las regiones formadas por los puntos que distan más de uno dado que de todos los demás. Ahora no todos los puntos iniciales tienen una celda asociada, sino que sólo la tendrán aquellos que formen parte del cierre convexo (el polígono convexo de menor área que contiene a todos los puntos).

Los puntos de ese cierre también sirven para averiguar cuál es el círculo minimal (el círculo de radio mínimo que contiene a todos los puntos). El centro de ese círculo está sobre una arista (en el caso de que su diámetro una dos puntos del cierre convexo) o coincide con un vértice del diagrama (en el caso de que el círculo lo determinen tres puntos del cierre) y es la solución del siniestro "problema de la bomba" (dónde arrojar una bomba entre una colección de puntos-objetivo para conseguir la máxima destrucción).

Diagrama de Voronoi Lejano

###### TEORÍA DEL COLOR. EL COLOR RGB

Podemos considerar el color RGB como un vector 3D, cuyas componentes (Rojo, Verde, Azul) varían entre intensidades del 0% al 100%. Habitualmente, se reserva 1 byte (8 bits) para cada una de estas intensidades, lo que se traduce en un número entero entre 0 (byte 00000000) y 255 (byte 11111111). Estos valores se pueden elegir en la pestaña Color de los objetos de GeoGebra.

###### LA PROPIEDAD COLOR DINÁMICO

La propiedad Color Dinámico de los puntos de GeoGebra (accesible a través de la pestaña Propiedades Avanzadas de cada punto) consta de tres valores numéricos, cada uno de ellos variable entre 0 y 1, que corresponden a la intensidad de Red, Green y Blue (color RGB) presentes en su color-luz combinado. Es decir, forman un conjunto {Rojo, Verde, Azul}, correspondientes al "tanto por 1" de color en cada canal RGB. Por ejemplo, {1, 0, 0} corresponde al color rojo puro (color-luz resultado de combinar 100% rojo, 0% verde y 0% azul).

En la siguiente tabla se puede apreciar (agrupados por complementarios) el resultado de la elección de algunos colores básicos.

Red | Green | Blue | Color | Nombre
0 | 0 | 0 |  | Negro
1 | 1 | 1 |  | Blanco
0.33 | 0.33 | 0.33 |  | Gris oscuro
0.67 | 0.67 | 0.67 |  | Gris claro
1 | 0 | 0 |  | Rojo
0 | 1 | 1 |  | Cian
0 | 1 | 0 |  | Verde
1 | 0 | 1 |  | Magenta
0 | 0 | 1 |  | Azul
1 | 1 | 0 |  | Amarillo

En cada uno de esos campos Rojo, Verde y Azul asociados a cualquier punto P podemos introducir un valor numérico o una expresión numérica, que denominaremos e(P), ya sea constante o variable en función de las coordenadas de P.

Pero si colocamos directamente e(P), en muchos casos no obtendremos un valor válido como "tanto por 1", es decir, un valor entre 0 y 1. En esos casos, GeoGebra reduce tal valor usando la siguiente función de variable real:

> c(e(P))=1 - abs(1 - e(P) + 2 floor(e(P)/2))

lo que equivale a seguir la siguiente norma:

> 1) Si e(P) no está entre 0 y 2, toma su resto módulo 2.
> 2) Si e(P) (o su resto módulo 2) está entre 1 y 2, toma 2 - e(P).

El motivo de este comportamiento es evitar discontinuidades de color. Viendo la gráfica de la función y=c(x):

podemos observar que tal comportamiento periódico de los valores ingresados en los campos RGB del Color Dinámico provocan que cualquier valor de e(P) coincida con e(P)+2m, para cualquier número entero m. En particular, cada vez que e(P) es par, c(P) se reduce al valor 0.

###### UNA APLICACIÓN: COLOR DE LAS CARAS DE UN POLIEDRO

Podemos cambiar dinámicamente el color de las caras de un poliedro regular, dependiendo del foco de luz. Basta calcular el ángulo entre el vector normal a cada cara del poliedro (con sentido alejándose del centro del poliedro) y el vector que une el centro del poliedro con el foco de luz. Solo falta asignar a cada canal de color una expresión cuyo valor, entre 0 y 1, sea tanto más grande cuanto más pequeño sea ese ángulo.

###### RASTRO + COLOR DINÁMICO

Si construimos un punto P y una paralela al eje Y que contenga a P y le asignamos a esta recta el color dinámico que denotaremos como RGB = [0, x(P), 0]:

entonces, al activar el rastro de la recta y moverla obtendremos una distribución de color que sigue el patrón que muestra la siguiente imagen.

Ahora bien, supongamos que tenemos dos puntos fijos A y B. Al asignar el valor 0 al color Rojo y Azul, e introducir como condición para el color Verde:

e(P)=Distancia[P,A]-Distancia[P,B]

el valor de e(P) será 0 no solo cuando la distancia de P al punto A sea la misma que al punto B, sino también cada vez que la diferencia entre ambas sea un número par, apareciendo (en negro) una familia de hipérbolas en vez de la únicamente la mediatriz del segmento AB.

Para evitar este inconveniente, no colocamos directamente e(P) como valor en cada campo de color RGB, sino que en cada uno de ellos ingresamos la expresión:

> c(e(P))=2 ^ -abs(e(P))

De esta forma, solo cuando e(P) sea 0 el valor resultante RGB será {0, 1, 0} (color verde), estando tanto más cerca del verde cuanto menor sea en valor absoluto e(P). Naturalmente, la base 2 puede ser sustituida por otra como e, 3, 10...

La gráfica de la función y = 2^(-abs(x)) es la siguiente:

por lo que al realizar la sustitución obtenemos una distribución de color del siguiente tipo:

De modo análogo, si introducimos la misma expresión en los tres canales, Rojo, Verde y Azul, obtenemos que el color del rastro será blanco (={1,1,1}) solo cuando e(P)=0.

Si deseamos la aparición de colores, basta asignar diferentes expresiones algebraicas a cada canal de color. Por ejemplo:

> Rojo: 2^(-abs(Distancia[P,B]-Distancia[P,A]))

> Verde: 2^(-abs(1-Distancia[P,B]/Distancia[P,A]))

> Azul: 2^(-abs(1-Distancia[P,A]/Distancia[P,B]))

Obsérvese que cuando las distancias de P a A y de P a B sean iguales, el valor numérico RGB continuará siendo {1,1,1}, es decir, blanco:

Además, podemos modificar la función y = 2^(-abs(x)) un parámetro k que nos permita modificar la densidad del gradiente de color, simplemente añadiéndolo como factor del exponente:

c(e(P))=2 ^ (- k abs(e(P)))

Observemos que el rastro de color dinámico ayuda a visualizar cualquier lugar en base a dos principios:

> 1) Los puntos suficientemente cercanos a cumplir la condición aparecen suficientemente resaltados, lo que indica la probable cercanía del lugar buscado.

> 2) Si el lugar buscado contiene puntos aislados, también los podemos visualizar, gracias al principio anterior.

###### ALGUNAS APLICACIONES SENCILLAS

Signos derivadas. Una forma atractiva de proponer un problema:

Caleidoscopio:

Familia de curvas:

###### LA POTENCIA EXPLORADORA DEL (RASTRO + COLOR DINÁMICO)

La propiedad Color Dinámico que poseen los objetos creados con GeoGebra permite visualizar fácilmente puntos o lugares geométricos desconocidos, sin necesidad de construir ni un punto del lugar, siempre que sepamos expresar la condición que deben cumplir los puntos del mismo.

Este modo de empleo del color dinámico es realmente potente. Simplemente "barriendo" la pantalla el lugar geométrico aparece, como por arte de magia, ante nuestros ojos.

Por ejemplo, al estudiar el comportamiento de dos segmentos particulares en un triángulo básico -dos vértices son (0,0) y (1,0)- observamos cómo aparece la figura en forma de lágrima que corresponde al lugar geométrico en el que ambos segmentos tienen la misma longitud [6 ].

En realidad, intuimos la figura en forma de lágrima mucho antes de que el trazo blanco sea continuo, gracias a un fenómeno de percepción visual conocido como ilusión de Kanizsa [7 ]:

###### VIBRACIONES LÍQUIDAS

Volviendo a la analogía física de las vibraciones, si en vez de provocar la vibración de una superficie sólida, usamos una fina película de agua colocada sobre una membrana tirante y la exponemos a una intensa iluminación lateral, el resultado puede ser realmente espectacular, como demuestran las siguientes fotografías [8 ]. ¿Cómo obtener con GeoGebra "fotografías" similares de una relación matemática?

###### AÑADIMOS UN DESLIZADOR

La combinación de rastro y color dinámico es una herramienta poderosa para la investigación. Sin embargo, el movimiento manual del punto que deja el rastro resulta bastante incómodo, a la vez que impreciso. Gracias al deslizador, podemos animar automáticamente ese punto, de forma que recorra línea tras línea la pantalla. La siguiente imagen del conjunto de Mandelbrot fue creada de ese modo [9 ].

###### AÑADIMOS LA HOJA DE CÁLCULO: OBTENCIÓN DEL ESCÁNER

El problema de las figuras así creadas es que tardan mucho en aparecer. El punto que va dejando el rastro tiene que ir línea tras línea recorriendo la pantalla. La imagen del conjunto de Mandelbrot tardó 4 horas en generarse de esta forma.

El poderoso comando Secuencia no nos puede ayudar en este caso. Este comando crea un objeto que es una lista de valores. Pero sigue comportándose como un único objeto lista. Para colorear varias filas a la vez necesitamos una colección de puntos independientes, cada uno con su correspondiente color dinámico y su rastro activado.

Una nueva ventana de GeoGebra, la Hoja de Cálculo, eliminó esa dificultad. Gracias a ella, a partir del punto que deja rastro es muy sencillo crear una columna de puntos que lo acompañen.

El escáner consiste pues en una columna de n puntos B1, ..., Bn (en el ejemplo adjunto, 250 puntos). Estos puntos, muy próximos, se animan automáticamente mediante el mismo deslizador, procediendo a un avance horizontal -píxel a píxel- con solo pulsar un botón. En su avance, la propiedad de GeoGebra Muestra Rastro está activada, por lo que en la pantalla irán apareciendo los distintos colores o tonos que cada punto adquirió en cada una de las posiciones escaneadas, configurando finalmente un mapa de color. Cada uno de estos colores o tonos queda determinado por la propiedad Color Dinámico de ese punto, que, como hemos visto, a su vez está determinada por el valor de e(P).

> Resumiendo: el escáner permite el mapeado del plano descubriendo aquellos lugares donde se cumple una determinada relación o propiedad, INCLUSO DESCONOCIENDO la forma de construir tal lugar geométrico.

Conjunto de Mandelbrot: el color indica la velocidad de convergencia de las potencias del número complejo

###### EL ESCÁNER COMO MÉTODO DE VISUALIZACIÓN Y DESCUBRIMIENTO

El siguiente mapa muestra el lugar geométrico de los puntos que ven al segmento AB desde un mismo ángulo prefijado (que en la imagen corresponde a 90º, pero puede modificarse). El mapa que le sigue ya no es tan simple, aunque se basa en el mismo principio: muestra el lugar geométrico de los puntos que ven a ambos segmentos desde un mismo ángulo.

Bajo el mismo ángulo 1

Bajo el mismo ángulo 2

Vamos ahora a usar el escáner para intentar averiguar qué cuadriláteros poseen la propiedad de que concurren las cuatro rectas de Euler de los cuatro triángulos que se pueden formar con sus vértices.
Para ello, partimos de un triángulo ABC. Cada punto D del escáner será el cuarto vértice del cuadrilátero. Creamos las rectas de Euler de los cuatro triángulos BCD, ACD, ABD y ABC, y calculamos las áreas de los triángulos que forman al cortarse entre ellas. Las rectas serán concurrentes cuando esas áreas sean nulas.

Podemos comprobar que el lugar buscado es la circunferencia circunscrita y la cúbica de Neuberg [10 ], que pasa –entre otros- por los puntos X1 (Incentro), X3 (Circuncentro), X4 (Ortocentro), X13 (Punto de Fermat o 1º punto isogónico), X14 (2º punto isogónico), X15 y X16 (isogonales de X13 y X14), los exincentros, las reflexiones de A, B y C sobre los lados opuestos, los vértices de los triángulos construidos sobre los lados [11 ]…

###### TRABAJO CON IMÁGENES ESCANEADAS

Una vez realizado el escáner, podemos realizar una captura de pantalla y recortar la parte de la imagen que nos interese para un análisis más detallado. Basta colocarla de fondo en GeoGebra y construir sobre ella los elementos deseados.

###### EJEMPLOS DIDÁCTICOS DE VISUALIZACIÓN

La creación de los mapas de colores permite reforzar visualmente hasta que grado las coordenadas de los puntos de una región plana están próximas a verificar una relación dada (ya sea algebraicamente o geométricamente). Esta visualización es de gran ayuda para la comprensión global y detallada de la relación objeto de estudio. Mostraré algunos ejemplos del uso del escáner como apoyo didáctico en la enseñanza de las matemáticas. Estos ejemplos se pueden encontrar formando parte de las actividades del Proyecto Gauss [12 ]. Por ejemplo:

Bisectrices, incentro, exincentros [13 ]

Parábola [14 ]

Punto isogónico (punto de Fermat) [15 ]

###### APLICACIÓN AL TRAZADO DE LUGARES GEOMÉTRICOS

Muchos lugares no admiten una representación algebraica sencilla (polinómica o paramétrica) que pueda ser introducida en el campo de entrada de GeoGebra como curva algebraica o como curva paramétrica. Podemos usar el escáner de color dinámico para verlos.

En el siguiente ejemplo, el lugar está formado por los puntos del plano cuya distancia al origen coincide con el ángulo, en radianes, con el que desde ese punto se ve el segmento (0,0)-(8,0). (A pesar de su dificultad algebraica, este lugar es fácil de construir con la herramienta Lugar Geométrico.)

###### APLICACIÓN AL TRAZADO DE CURVAS TRASCENDENTES

GeoGebra permite el trazado de curvas algebraicas y curvas parametrizadas, pero no (al menos de momento) de curvas trascendentes, como por ejemplo sen(x+y) = ln(xy).

###### APLICACIÓN AL TRAZADO DE CURVAS ALGEBRAICAS

Algunos puntos singulares o incluso ramas enteras de algunas curvas pueden no hacerse visibles mediante el método de trazado tradicional. El escáner puede servir para volver a hacerlos visibles.

En el siguiente ejemplo, el origen de coordenadas no aparece como punto de la curva.

x² + y² - x³=0

En este otro ejemplo, es una rama de la curva la que normalmente no se visualiza:

2x6 - 8y³ + 6x⁴ y=0

Si asignamos colores distinguiendo entre "próximo a 0 pero positivo (en azul)" de "próximo a 0 pero negativo (en rojo)" podemos comprender mejor qué sucede (ver la siguiente imagen). Tanto en las proximidades de la rama como el punto escamoteados la curva no cambia de signo, se anula sin que esto signifique un cambio de signo. Esto parece despistar al algoritmo de trazado de curvas implícitas implantado en GeoGebra y otros programas de cálculo simbólico.

###### APLICACIÓN AL DESCUBRIMIENTO DE LUGARES DIFÍCILMENTE ALGEBRIZABLES

En muchas ocasiones, la gráfica del lugar que aparece al pasar el escáner es difícil de algebrizar con exactitud. Pero incluso si lo que perseguimos es la expresión algebraica de un lugar geométrico, la visualización que nos ofrece el escáner facilita en gran medida su búsqueda. La forma de la curva o trazos visualizados nos facilitarán la comprensión de la naturaleza del lugar y el hallazgo de algunos puntos notables o singulares [16 ].

Bisectriz entre dos curvas

###### LA RECOGIDA DE COORDENADAS

Es más, el escáner también permite almacenar en una lista las coordenadas de los puntos escaneados más próximos al lugar geométrico deseado. Esto resulta particularmente interesante en aquellos problemas donde no precisamos de una solución exacta, sino de un recorrido suficientemente aproximado.

Para ello usa el siguiente procedimiento:
1. Permite que el usuario predetermine el valor de un épsilon (por llamarle de alguna forma) antes de realizar el escaneado (en el ejemplo se ha fijado inicialmente en 0.025).
2. Existe una lista que sirve de almacén, vacía inicialmente.
3. Otra lista almacena la posición de los puntos del escáner que, en cada momento de su avance, están situados suficientemente próximos a la curva, es decir, aquellas coordenadas de los puntos Bi del escáner que verifican:

> abs(f(Bi)) < épsilon

4. Usando un script, cada vez que la lista de puntos suficientemente próximos se actualiza debido al avance del escáner, se van añadiendo los valores de esta lista a la lista almacén.

Recogida de datos

Si necesitamos más precisión para determinar qué puntos pertenecen al lugar geométrico que buscamos, podemos recurrir al uso sistemático del zoom dado por la herramienta Aproximar (método Pulgarcito). Vamos colocando puntos que, con la máxima precisión que admite GeoGebra (16 cifras significativas), están tan próximos a pertenecer al lugar que su distribución permite servir de test ante cualquier candidato o conjetura que nos planteemos.

###### Conclusión

El escáner es capaz de explorar las relaciones entre distintos objetos sin necesidad de conocer ni la expresión algebraica del lugar buscado ni ningún método de construcción específico. Debido a ello, este escáner ofrece una gran adaptabilidad como ayuda a la investigación de muy diversos problemas, además de conseguir imágenes de alto valor estético y didáctico.

Las imágenes obtenidas se pueden comparar con fotografías aéreas. La cartografía tradicional ha requerido de complicados y precisos cálculos para posicionar los contornos de accidentes geográficos, por lo que algunas imágenes aéreas del mismo territorio hubieran sido recibidas por los antiguos cartógrafos como una ayuda inestimable, tanto para agilizar el trazado del mapa como para comprender más rápida y profundamente la naturaleza y orografía del terreno. Gracias al escáner de color dinámico podemos obtener fácilmente imágenes similares, auténticos mapas del terreno matemático que deseamos explorar o comprender.

Además, la visualización de las imágenes así obtenidas puede favorecer enormemente una correcta interpretación de las relaciones existentes entre los elementos en juego. Incluso disponiendo de un considerable bagaje algebraico, las relaciones expresadas mediante símbolos abstractos muchas veces no evidencian todo su alcance con la misma facilidad que las imágenes. Es cierto que también es necesario aprender a interpretar estas últimas, pero generalmente se precisa de una inversión mucho menor de tiempo y trabajo para lograrlo.

Por último, el poder conseguir estas imágenes sin necesidad de disponer de alguna fórmula o ecuación, ni de averiguar primero algún método constructivo, hace del escáner de color dinámico una herramienta especialmente valiosa en la investigación y descubrimiento de nuevas relaciones.

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###### Referencias

[1] R. Losada. Pequeños terremotos. Música y matemáticas. Divulgamat (2008)

[2] R. Losada. Construcciones contra dibujos. GeoGebra en la enseñanza de las Matemáticas (curso ITE, 2009)

[3] R. Losada. Red invisible. GeoGebra en la enseñanza de las Matemáticas (curso ITE, 2009)

[4] R. Losada. Las dimensiones del hipercubo. Proyecto Gauss, Materiales didácticos (2010–11)

[5] R. Losada. El color dinámico de GeoGebra. La Gaceta de la RSME, Vol. 17, Núm. 3, Págs. 525–547 (2014)

[6] R. Losada, T. Recio y J. L. Valcarce, On the automatic discovery of Steiner-Lehmus generalizations, Proceedings of ADG (J. Richter-Gebert y P. Schreck, editores), München, pp. 171–174 (2010)

[7] R. Losada, La Percepción, sección 21 (2003)

[8] A. Lauterwasserhttp. Imágenes de sonido del agua. Figuras de Chladni
[9] R. Losada, Magic color: Ghost constructions, GeoGebra User Forum (2009)

[10] B. Gibert, Catalogue of Triangle Cubics

[11] C. Kimberling, Encyclopedia of Triangle Centers

[12] J. L. Álvarez y R. Losada, Proyecto Gauss, Materiales didácticos (2010–11)

[13] R. Losada, Bisectrices exteriores y exincentros, Proyecto Gauss, Materiales didácticos (2010–11)

[14] R. Losada, La parábola, Proyecto Gauss, Materiales didácticos (2010–11)

[15] R. Losada, Bajo el mismo ángulo, Proyecto Gauss, Materiales didácticos (2010–11)

[16] I. Adamou, Curvas y superficies bisectrices y diagrama de Voronoi de una familia finita de semirrectas paralelas en R3, tesis doctoral (2013)

Rafael Losada Liste

Instituto GeoGebra de Cantabria

Web: http://www.iespravia.com/rafa/rafa.htm

Email: rafael.losada@gmail.com