Cuando x = 0, la cuadrática corta al eje Y:

A = (0, c)

A = (0, c)

Por simetría, tiene que haber otro punto B
a la misma altura que A, es decir, 
otro punto B = (x, f(x)) donde f(x) = c:

f(x) = c

a x² + b x + c = c

Simplificando:

a x² + b x = 0

Factorizando (sacando factor común x):

(a x + b) x = 0

Si el producto es cero, 
alguno de esos dos factores ha de serlo:

O bien x = 0, o bien  x = 

 \frac{-b }{ a}

Estas soluciones corresponden a 
las abscisas de los puntos A y B,
pues en ambos se cumple f(x) = c:

A = (0, c)    B = (-b/a, c)

\left( \frac{ -b }{a },\;c \right)

El punto medio M entre A y B será:

\mbox{M = } \left( \frac{ -b }{2a },\;c \right)

\left( \frac{ -b }{2a },\;c \right)

Por simetría, la recta x = -b/a tiene que ser 
precisamente el eje de simetría de la parábola,
y como el vértice V tiene que estar en ese eje,
su abscisa tiene que ser -b/(2a) :

\mbox{V = } \left( \frac{ -b }{2a },\;f \left( \frac{ -b }{2a } \right) \right) 

\left( \frac{ -b }{2a },\;f \left( \frac{ -b }{2a } \right) \right) 

Por simetría, las dos raíces de la cuadrática
(en el caso de que existan)
han de estar a la misma distancia k 
del eje x =-b/(2a). Así que las raíces serán:

R_1 = (-b/(2a) - k, 0)      R_2 = (-b/(2a) +  k,  0)

\left( \frac{ -b }{2a }\;-\;k,\;0 \right)

\left( \frac{ -b }{2a }\;+\;k,\;0 \right)

\mbox{Por lo tanto, f} \left( \frac{ -b }{2a }\;+\;k\right)  \mbox{ = 0, es decir:}

\mbox{a } \left(\; \frac{ -b }{2a }\;+\;k\right)^2  \mbox{ + b } \left(\; \frac{ -b }{2a }\;+\;k\right)\mbox{ + c = 0}

a \left(\; \frac{ b^2 }{4a^2 }\;-\;b \frac{ k }{a }\;    \mbox{ + k² }\right) \; + \;  b\left(\; \frac{ -b }{2a }\;+\;k\right)\mbox{ + c = 0}

\frac{ b^2 }{4a }\;-\;b\;k\;  \mbox{ + a k² } \; - \;  \frac{ b^2 }{2a }\;+\;b\;k\mbox{ + c = 0}

 \mbox{a k² = } \frac{ b^2 }{2a }\;-\; \frac{ b^2 }{4a }\;-\;c

 \mbox{a k² = } \frac{ b^2-4a c }{4a }

 \mbox{k² = } \frac{ b^2-4a c }{4a² }

k\;=\;\frac{  \sqrt{ b^2-4a c }  }{2a }

a = 1 (slider from -10 to 10, step 1)
c = 3 (slider from -100 to 100, step 1)
b = -4 (slider from -20 to 20, step 1)
f(x) = a * x^(2.0) + b * x + c
xB = If(a ≟ 0.0, 0.0, -1.0 * b / a)
A = Intersect(f, yAxis, 1.0)
d = Line(A, xAxis)
B: (xB, f(xB))
M = Midpoint(A, B)
e = OrthogonalLine(M, d)
V = Intersect(f, e, 1.0)
R1: ((-1.0 * 1.0 * 1.0 * 1.0 * 1.0 * 1.0 * 1.0 * 1.0 * 1.0 * 1.0 * 1.0 * 1.0 * 1.0 * 1.0 * 1.0 * 1.0 * 1.0 * 1.0 * 1.0 * 1.0 * 1.0 * b - sqrt(b^(2.0) - 4.0 * a * c)) / (2.0 * a), 0.0)
R2: ((-1.0 * 1.0 * 1.0 * 1.0 * 1.0 * 1.0 * 1.0 * 1.0 * 1.0 * 1.0 * 1.0 * 1.0 * 1.0 * 1.0 * 1.0 * 1.0 * 1.0 * 1.0 * 1.0 * 1.0 * 1.0 * 1.0 * b + sqrt(b^(2.0) - 4.0 * a * c)) / (2.0 * a), 0.0)