Llamamos tasa de variación media de una función f(x) en un intervalo [a,b] al cociente entre la variación de la función y la amplitud del intervalo:  

En la vida cotidiana es muy frecuente el uso de tasas de variación media, cuando se maneja información económica, demográfica, científica, ... A menudo nos da una idea bastante aproximada del ritmo de variación del fenómeno considerado en el intervalo al que se refiere.

Sin embargo, a veces resulta insuficiente la información que proporciona la tasa variación media de una función en un intervalo, porque necesitamos conocer el ritmo de variación de un modo más preciso. De nada nos sirve conocer que la velocidad media a la que ha circulado un coche en un tramo de autopista ha sido de 110 km/h para poder determinar con certeza si en algún punto de ese trayecto ha sobrepasado la velocidad máxima permitida, que es de 120 km/h. Por ello, es muy habitual encontrar situaciones en las que lo que necesitamos es la variación instantánea de la función, es decir, el ritmo de variación de la función para un valor determinado: la velocidad en un instante determinado,  la aceleración en un momento concreto, etc.

Desde un punto de vista geométrico, la tasa de variación media de una función en un intervalo es la pendiente de la recta secante a la función en los extremos del intervalo. En esta aplicación partiremos de esa consideración y analizaremos qué ocurre con la tasa de variación media cuando vamos reduciendo la amplitud del intervalo. Encontraremos así una forma de medir el ritmo de cambio de la función en un punto: obtendremos la tasa de variación instantánea de la función o, lo que es lo mismo, la derivada de la función en un punto de la misma.

Preguntas

La TVM

Recuerda que la tasa de variación media de una función en un intervalo es la pendiente de la recta secante a la función en los extremos del intervalo. Vamos a hacer algunos cálculos.

1. Mueve el punto amarillo hasta situarlo en x=0. Coloca el deslizador en el valor h=2. ¿Cuánto vale la tasa de variación media de la función en el intervalo [0, 2]?

2. Mueve ahora el deslizador hasta la posición h=1. ¿Cuánto vale la tasa de variación media de la función en el intervalo [0, 1]?

3. ¿Dónde debes situar el punto amarillo y el deslizador para hallar la TVM en el intervalo [2, 3,5]? Calcúlala.

4. La tasa de variación media de la función en el intervalo [2, b] es -2,1. ¿Cuánto vale b?

De la TVM a la TVI

Vamos a ver qué ocurre al reducir el tamaño del intervalo, es decir, al hacer tender h a cero. Observa cómo varía la TVM a medida que cambia la posición de la recta secante con respecto a la recta tangente.

5. Coloca nuevamente el punto amarillo en x=0. Coloca el deslizador en h=2. Mueve el deslizador lentamente desde h=2 hasta h=0. Completa la tabla con los valores que vas obteniendo. ¿Hacia qué valor se va acercando la TVM cuando h se acerca a 0? ¿Qué ocurre con la recta secante cuando h se acerca a 0?

    

   x	h	TVM[x,x+h]
   0	2
   0	1
   0	0,5
   0	0,2
   0	0,1
   0	0,05
   0	0,02
   0	0,01

    

6. Ahora mueve el deslizador lentamente desde h=-2 hasta h=0. Completa la tabla con los valores que vas obteniendo. ¿Hacia qué valor se va acercando la TVM? ¿Qué ocurre con la recta secante cuando h se acerca a 0?

    

   x	h	TVM[x,x+h]
   0	- 2
   0	- 1
   0	- 0,5
   0	- 0,2
   0	- 0,1
   0	- 0,05
   0	- 0,02
   0	- 0,01

    

7. Analiza los resultados anteriores. ¿Cuánto crees que valdrá la tasa de variación instantánea de la función en x=0? Razona tu respuesta.

Derivada de una función en un punto

La tasa de variación instantánea en un punto indica el ritmo de cambio de la función en dicho punto. También la llamamos derivada de la función en ese punto.

8. Utilizando el mismo procedimiento que has empleado en los ejercicios 5 y 6, calcula ahora la derivada de la función en los siguientes puntos:

9. Encuentra el punto o puntos de la función en los que la derivada toma el valor que en cada caso se indica:

10. ¿Hay algún punto de la función en el que el ritmo de variación sea 0? Indícalos. ¿Qué representan esos puntos en la gráfica?