Offsetting processes

Un problema importante en diseño geométrico por ordenador es la construcción de curvas "offset" a una curva dada. Se trata de establecer una curva "paralela" (en cierto sentido preciso) a la curva dada, a una distancia prefijada. Se puede intuir el interés de tal construcción si se piensa en una herramienta de corte que deba seguir una trayectoria dada con una sierra circular, pero cuyo punto de control -el centro de la sierra- diste unos centímetros de la trayectoria del corte.

El grado de una curva es el número de puntos que una recta genérica corta a la curva dada. Por ejemplo, el grado de una circunferencia es dos, y también es dos el grado de una parábola o elipse. El grado de una recta es, obviamente, uno. El grado de una cúbica tal como la curva de ecuación y=x^3, es 3, puesto que una recta, en general, corta a la cúbica en tres puntos.

El grado proporciona información básica sobre la curva. Por eso, dada una curva y una distancia d, se plantea, en particular, el problema de calcular el grado de la correspondiente curva offset. En este contexto es útil disponer de una fórmula que proporcione directamente, en función de la curva dada y de la distancia elegida, el grado de la offset. En la tesis doctoral de Fernando San Segundo Barahona (EFFECTIVE ALGORITHMS FOR THE STUDY OF THE DEGREE OF ALGEBRAIC VARIETIES IN OFFSETTING PROCESSES", dirigida por el Dr. Rafael Sendra Pons, desarrollada en el proyecto MTM2008-04699-C03-01 y presentada en la  Universidad de Alcalá, febrero de 2010) se obtiene tal fórmula mediante la construcción de una curva auxiliar que, grosso modo, corta a la curva dada en tantos puntos como una recta (cuya pendiente depende de un parámetro k) corte a la offset a distancia d de la curva dada. La curva auxiliar, por tanto, se construye a partir de la curva dada y depende de los parámetros d y k. En otras palabras, hay una especie de correspondencia entre los puntos de corte de la offset y la recta y la curva auxiliar con la curva dada. Así, sin necesidad de calcular la offset, el grado de la misma se puede obtener a partir de la curva dada y de la curva auxiliar (cuya definición, a partir de la curva original, es más manejable que el cálculo de la offset).

Para ejemplificar esta construcción el Dr. San Segundo Barahona ha realizado una construcción con GeoGebra donde se muestra la curva de partida (una parábola, en rojo) y la offset correspondiente (en azul) en función de la distancia d, que puede modificarse con un deslizador. La curva auxiliar aparece en verde y posee varias ramas (de la misma curva). Se muestra en la construcción un punto (azul) de intersección de esta curva y la parábola y el punto de corte offset-recta asociado. Moviendo dicho punto se obtienen otras curvas auxiliares para diferentes valores de k, esto es, modificando la pendiente de la recta. En todos los casos se observa la biyección (dejando a un lado ciertos detalles largos de comentar en esta breve nota) entre los puntos de corte offset-recta y curva auxiliar-parábola. También puede modificarse la distancia y verificar cómo se mantiene esta misma propiedad para distintas offsets.