Casi todas las construcciones que se realizan con GeoGebra se basan en la
representación de dimensiones espaciales (0, 1, 2 o 3). En esta presentación
detallaré métodos que permiten incorporar a esas dimensiones la gran
ausente, la dimensión temporal.
Los matemáticos estamos acostumbrados a pensar
en los objetos geométricos como atemporales, formas ideales y eternamente
inmutables. Sin embargo, el comportamiento en "cada instante" de un modelo
de un objeto real puede resultar esencial para la observación de múltiples
fenómenos.
Aquí expondré diversos ejemplos de entornos
"casi reales", cuya creación sería impensable con las primeras
versiones de GeoGebra pero que las nuevas versiones facilitan, una vez más
gracias a la gran flexibilidad característica de los guiones asociados a
deslizadores.
Introducción
Existe una resonancia entre nuestra forma de
pensar
y el espectáculo que nos ofrece la realidad.
Juan Carlos Ortega,
El universo para Ulises
En el I Congreso Internacional de GeoGebra, celebrado el año pasado en Córdoba,
expuse algunos métodos que facilitan a los estudiantes el acceso a
investigaciones con un mínimo de aparato algebraico. De este modo, alumnos de
ESO pueden presentar proyectos de amplio contenido matemático sin verse frenados
por la falta de experiencia en el uso de funciones y transformaciones algebraicas.
Por ejemplo, podemos usar la vista CAS para definir un punto arbitrario X y la
distancia entre él y otros objetos ya definidos, como un punto fijo A o una
recta r:
X:= (x, y)
XA(x,y):= Distancia(X, A)
Xr(x,y):= Distancia(X, r)
De esta forma tan simple conseguimos plantear
ecuaciones como la siguiente:
XA / Xr = k
y observar la cónica resultante, de excentricidad k.
O, por ejemplo, podemos confinar varios puntos libres en una esfera y,
simplemente usando vectores entre ellos, hacer que se repelan automática y
mutuamente, observando qué tipo de configuración aparece según sea el
número de puntos confinados.
Esta repulsión automática es posible gracias a un deslizador
permanentemente animado (que he denominado "anima") que, cada vez
que cambia de valor, ejecuta el guion que "anima" a los puntos a repelerse. En esta presentación,
un deslizador similar, continuamente animado, será un protagonista
indiscutible.
Como, para bien o para mal, las Matemáticas se encuentran presentes en
infinidad de contextos transversales, podríamos pensar que es muy fácil
elegir algunos que permitan, en cada nivel, la evaluación de la
competencia matemática. Sin embargo, la mayoría de las situaciones
"reales" son demasiado "complejas" (perdón por el juego de palabras) para
que sea sencillo simplificarlas sin perder con ello la esencia de su
contenido.
De todas las áreas científicas, sin duda la que más se ha "matematizado" es la
Física. Esta matematización conlleva algunos riesgos, como el abuso de la
formulación y la introducción de conceptos matemáticos en una etapa demasiado
temprana (en particular, las funciones trigonométricas y complejas, y aquellos
relacionados con el cálculo infinitesimal, como la derivada y la
integral).
Aquí presentaré un método que permite el acercamiento a algunas relaciones
físicas inherentes al movimiento, como la velocidad y la aceleración, basado
exclusivamente en su definición conceptual (en la mecánica clásica, no
relativista). La idea original de este método aparece expuesta, como tablas de
variaciones, por Richard Feynman en su famoso libro The Feynman
Lectures on Physics (volumen I, 9-7, Planetary motions).
Veremos que este método parece creado a propósito para su incorporación como guion
al deslizador "anima". Con ese fin, usaremos la
sincronización en tiempo real con la hora disponible en el ordenador (u otro
dispositivo) del usuario. Conseguiremos así la simulación bastante precisa de
diversas situaciones en donde
una masa, sometida a una aceleración
g, mueve su posición
M
con velocidad
v,
sin necesidad de recurrir a la matemática superior.
Nota: las letras
g
y
v aparecen con trazo grueso porque
representan a vectores, no a escalares. (Formalmente, la letra
M representaría también el vector de posición
del punto M, por lo que una expresión como
M + dtv es una suma vectorial.)
Las animaciones no hacen uso de
fórmulas (ni ecuaciones preformuladas ni trigonometría ni cálculo diferencial), solo
realizan las variaciones necesarias en los vectores que dirigen el movimiento. Estas variaciones, en esencia, se
reducen a la ejecución de dos instrucciones:
Valor(v,
v + dtg)
Valor(M,
M + dtv)
donde dt es un intervalo muy
pequeño de tiempo (lo que tarda el deslizador en cambiar de valor, unas pocas centésimas de segundo). Es decir, cada poco
tiempo, v varía en un valor igual a "un
poquito de g" y la posición
M de la masa se desplaza "un poquito de
v". Es importante tener en cuenta que estas
sumas no son numéricas, sino vectoriales, es decir, se suma una cierta cantidad
en una cierta dirección y sentido.
Este método permite usar GeoGebra como un
laboratorio de cinemática
al alcance de alumnos de ESO, pues para su desarrollo solo es necesario la
introducción de un deslizador con unas pocas líneas de guion que, con ligeras
variaciones, son esencialmente siempre las mismas. Este laboratorio puede ser usado como
punto de partida para la propuesta de proyectos físico-matemáticos en esa etapa
educativa o en etapas posteriores. Todo ello enfocado hacia la adquisición de
una auténtica competencia matemática.
Recorridos, rastros y
poligonales
Recorridos de GeoGebra
GeoGebra considera un "recorrido" a cualquier
poligonal, polígono, recta, boceto, gráfica —función, ecuación—, grafo o
lugar geométrico. Es decir, cualquier línea u objeto de dimensión 1. Una
lista de recorridos (o de puntos) también es un recorrido. En todos ellos,
cada punto del recorrido tiene asignado un parámetro, un valor, entre 0 y
1.
Un punto colocado en un recorrido tarda siempre lo
mismo en recorrerlo (a velocidad 1), independientemente del tipo de recorrido y su
longitud. Esto dificulta la observación del tiempo real que emplearía un
móvil que siguiese ese recorrido, incluso si se mueve a velocidad constante.
¿Cómo podemos evitar este inconveniente? Esencialmente, disponemos de
dos opciones. O seguir intentando que el
punto móvil siga un recorrido predeterminado o prescindir de ese
recorrido.
OPCIÓN 1: CON
RECORRIDO PREDETERMINADO
Tiempo proporcional a la
longitud (a velocidad constante)
En el primer caso, antes de nada deberemos calcular la longitud L de ese
recorrido. Después, dividiremos la velocidad del punto móvil por esa
longitud. De este modo, el tiempo que tardará el móvil (a velocidad
constante 1/L) en completar el recorrido será proporcional a su longitud.
Es lo que hemos hecho en esta actividad que muestra la definición de
radián.
Podemos apreciar que la exactitud deja bastante que desear, a pesar de que
ambos puntos se mueven a velocidad constante.
OPCIÓN 2: SIN RECORRIDO
PREDETERMINADO (la opción que elegiremos)
Caminante, son tus huellas el camino y nada más.
Caminante, no hay camino, se hace camino al andar.
Antonio Machado
Longitud de un recorrido y rastro poligonal
Calcular
la longitud que seguirá la trayectoria de un móvil no siempre es sencillo.
Si conocemos el recorrido que seguirá esa trayectoria, podemos crear una
poligonal que se ajuste muy bien a ese recorrido.
Si no conocemos ese recorrido, o ignoramos su expresión algebraica, podemos
usar el rastro del móvil para crear esa poligonal. Primero, creamos una
lista vacía (que llamaremos reg) que se encargará de registrar los
datos. Como primer elemento de la lista, asignamos la posición inicial del móvil M:
Valor(reg, {M})
Sobre esa lista, creamos la poligonal que une esas posiciones:
pol = Poligonal(reg)
Por último, escribimos el guion asociado al
móvil M, que se ejecutará cada vez que M actualice su posición:
GUION AL ACTUALIZAR M
# Usa la poligonal como
rastro, al registrar la posición M en la lista reg
Valor(reg, Añade(reg, M))
Capturando el instante
El tiempo no existe.
Tengo 15 minutos para convencerles de eso.
Carlo Rovelli, físico
italiano, al inicio de una charla TEDx
Tiempo virtual (reloj
geométrico)
A pesar de la inexactitud, podemos explorar la idea de usar un tiempo de
recorrido proporcional a su longitud. Para ello podemos fabricar un "reloj
virtual" basado en la repetición sistemática de un deslizador. Cada vaivén
del deslizador nos servirá de unidad de medida de "tiempo virtual". Este
tiempo no coincidirá con el tiempo real, pero vale para establecer tiempos
relativos entre móviles.
Podemos crear nuestro propio reloj "relativo". Por
ejemplo, asociando un contador a un deslizador. Cada vez que el deslizador
cambie de valor, el contador aumentará una unidad. De este modo, el
contador sirve como referencia temporal, como si fuera un metrónomo, con
el que podemos comparar lo que tardan.
Tiempo real
Pero el modo más sencillo de registrar el tiempo es usar el reloj del dispositivo
que estemos usando (ordenador, móvil...).
El comando TomaTiempo()
permite recoger la fecha y hora real desde el ordenador o dispositivo que
estemos usando. Al ejecutarse, devuelve una lista que comienza con la hora
actual, en el siguiente orden:
{milisegundos, segundos,
minutos, horas, ...}
En las siguientes actividades, bastará considerar
los tres primeros elementos de esta lista.
Registro del tiempo (PLANTILLA PARA
ESTUDIANTES)
Veremos cómo podemos aprovechar el paso del tiempo y los
vectores para realizar simulaciones de Física sin necesidad de recurrir al
cálculo diferencial ni a la trigonometría y sin (casi) usar fórmulas. Con
ello se pierde un pelín de exactitud, pero a cambio se gana simpleza y
versatilidad.
Para lograrlo, lo primero que
debemos hacer es recoger la hora del ordenador (u otro dispositivo que
estemos usando) y usarla para contar el tiempo que transcurre desde que
pulsamos el botón
.
El
protagonista indiscutible de todas las simulaciones será el guion que
asociemos a un deslizador animado. Llamaremos animaa
este deslizador, que creamos de 0 a 1, con incremento 0.001.
TOMA DEL TIEMPO
Tomaremos el tiempo real del reloj de tu dispositivo
en un instante inicial t0 y, cada poco, el deslizador anima,
en MOVIMIENTO PERPETUO (de ahí el título de esta presentación), se
encargará de volverlo a tomar en un instante t1. Llamaremos tt
al último instante registrado y dt a la diferencia de tiempo (unas
pocas centésimas de segundo) entre esos instantes de toma de tiempo. La
variable t almacenará el tiempo total, en segundos, transcurrido
desde t0.
Para ello, creamos las variables que vamos a usar, con los
siguientes valores iniciales:
dt
almacenará el valor
(t1(1) < tt) +
(t1(1) − tt)/1000, es decir, recogerá la
FRACCIÓN DE SEGUNDO TRANSCURRIDA entre
dos ejecuciones del guion
del deslizador anima.
BOTÓN
Creamos el botón
con el siguiente guion "al clic", que toma la hora inicial {milisegundos,
segundos, minutos} y la asigna a t0 y t1.
Inmediatamente, activa el deslizador anima.
Valor(t0,
Primero(TomaTiempo(), 3))
Valor(t1, t0)
IniciaAnimación(anima, true)
GUION DEL DESLIZADOR "anima"
En el deslizador anima escribimos
el siguiente guion "al actualizar", que se encarga de actualizar
t1 y registrar los segundos transcurridos (dt) desde tt:
GUION DEL DESLIZADOR anima
#
Calcula los segundos dt transcurridos; para ello,
suma un segundo si t1(1) < tt
Valor(tt, t1(1))
Valor(t1, Primero(TomaTiempo(), 3))
Valor(dt, (t1(1) < tt)
+ (t1(1) − tt)/1000)
Movimiento
uniforme
MRU: Movimiento Rectilíneo
Uniforme
Después de crear,
como ya hemos visto, un registro del tiempo, colocamos un punto
M (que representa una masa m) y
creamos un vector constantev.
Por definición de velocidad, la masa se
desplazará dtv, así que basta
añadir al guion del deslizador anima la instrucción:
Valor(M,
M + dtv)
(1ª ley de Newton)
para conseguir que
M se desplace en un movimiento rectilíneo
uniforme (MRU). Observa que
esta instrucción lo único que hace es, cada vez que se actualiza el valor
del deslizador, obligar a M a desplazarse "un
poquito" (dt) en la dirección y sentido de
v.
Nota: como la fracción de tiempo dt está en
segundos, la velocidad estará
v en m/s, así que
tomamos el metro como unidad de los ejes.
GUION DEL DESLIZADOR anima
# Calcula los segundos dt transcurridos; para ello,
suma un segundo si t1(1) < tt
Valor(tt, t1(1))
Valor(t1, Primero(TomaTiempo(), 3))
Valor(dt, (t1(1) < tt) + (t1(1) − tt)/1000)
# Mueve M
Valor(M, M + dt v)
Efecto Doppler y Mach
1
Incluso algo tan sencillo como el movimiento uniforme
puede ofrecer escenarios interesantes. En este, se combina el movimiento
uniforme de las ondas sonoras con el movimiento uniforme de un avión F18
(se puede elegir a qué velocidad viaja este último).
Esto permite la observación de la compresión de las
ondas sonoras, lo que conlleva la variación de la frecuencia que percibe
el observador (efecto Doppler)
y de la ruptura de la barrera del sonido, apareciendo la onda de choque(en forma de superficie cónica). Esta es una
onda de presión que viaja más rápido que la del sonido en ese lugar, es
decir, que Mach 1. Cuando esta onda alcance a un observador, este oirá el
estampido
sónico.
Nota 1: en la construcción, parece evidente que el
avión no está a escala. Sin embargo, podemos pensar que sí lo está si
imaginamos que simplemente el avión se encuentra en otro plano, mucho más
cerca del observador (que mantiene siempre al avión en primer plano) que
el eje de abscisas.
Nota 2: como el sonido no es más que una variación de
la presión del aire, el cono es en realidad un sonido muy intenso (el
estampido sónico). Si el avión fuese muy pequeño, solo habría un
estallido. Pero como es grande, se diferenciarán dos o más conos (y se
oirán dos o más estampidos), como mínimo el del morro y el de la cola.
GUION DEL DESLIZADOR anima
# Calcula los segundos dt transcurridos; para ello,
suma un segundo si t1(1) < tt
El MRU es el movimiento
más aburrido que existe. Ahora bien, la cosa se puede poner mucho más
interesante si el móvil que sigue ese movimiento es perseguido por otro que
también se mueve a velocidad de módulo constante, pero siempre hacia el
primero, como cuando un perro persigue a un coche.
Advierte que mientras el perseguido mantiene su MRU a velocidad constante,
el perseguidor varía en
cada instante la dirección de su velocidad. Por eso, si bien su módulo es
constante, no lo es su vector velocidad.
GUION DEL DESLIZADOR anima
# Calcula
los segundos dt transcurridos; para ello, suma un segundo si t1(1) < tt
Valor(tt,
t1(1))
Valor(t1,
Primero(TomaTiempo(), 3))
Valor(dt,
(t1(1) < tt) + (t1(1) − tt)/1000)
# Mueve M y
N y para la animación cuando N y M estén suficientemente cerca
Si, en la actividad anterior,
añadimos un tercer punto y hacemos que los perseguidos sean también
perseguidores, obtendremos el conocido problema de los ratones (mice
problem).
Ahora hay tres puntos,
M, N y
P, que representan a los ratones, situados
respectivamente en las posiciones iniciales A,
B y C, vértices
de un triángulo equilátero. A cada punto le corresponde el mismo módulo de
velocidad constante (1 m/s), pero de modo que cada ratón se dirige en todo
instante al vecino situado a su derecha.
La curva que describe cada ratón
es una espiral logarítmica.
Da igual que sean 3 o más el número de ratones situados en los vértices de
un polígono regular: en cualquier caso trazarán una espiral logarítmica,
también llamada equiangular por el ángulo constante que forma la
tangente en cualquier punto con la recta que lo une al centro (propiedad
que comparte con la circunferencia). En el caso de los tres ratones, este
ángulo constante es de 30º.
GUION DEL DESLIZADOR anima
# Calcula
los segundos dt transcurridos; para ello, suma un segundo si t1(1) < tt
Valor(tt,
t1(1))
Valor(t1,
Primero(TomaTiempo(), 3))
Valor(dt,
(t1(1) < tt) + (t1(1) − tt)/1000)
# Mueve M,
N y P y para la animación cuando N y M estén suficientemente cerca
Valor(M, M
+ dt vM)
Valor(N, N
+ dt vN)
Valor(P, P
+ dt vP)
IniciaAnimación(anima, abs(N − M) > (x(Esquina(2) − Esquina(1))/400))
Curva de persecución de
Hathaway
Este problema fue planteado por el matemático
estadounidense A. S. Hathaway, en 1920.
Un perro en el centro de un estanque circular
persigue a un pato que nada a lo largo del borde del estanque. Si el perro
nada n veces más rápido que el pato, determinar la ecuación de la curva de
persecución y la distancia que nada el perro hasta atrapar al pato.
Hathaway
no pudo encontrar la ecuación de la curva. Y es que la ecuación diferencial
resultante no tiene solución analítica (solo puede ser resuelta
numéricamente).
GUION DEL DESLIZADOR anima
# Calcula
los segundos dt transcurridos; para ello, suma un segundo si t1(1) < tt
Valor(tt,
t1(1))
Valor(t1,
Primero(TomaTiempo(), 3))
Valor(dt,
(t1(1) < tt) + (t1(1) − tt)/1000)
# Mueve M (pato) y
N (perro) y para la animación cuando estén suficientemente cerca
Valor(M, M
+ dt vM)
Valor(N, N
+ dt vN)
IniciaAnimación(anima, abs(N − M) > (x(Esquina(2) − Esquina(1))/400))
# Usa la poligonal como
rastro, al registrar la posición M en la lista reg
Valor(reg, Añade(N, reg))
MCU: Movimiento Circular
Uniforme y coordenadas polares
Ahora colocamos un punto
M (que representa una masa m) en una
distancia r del punto O. Si llamamos ω
a una velocidad angular constante (en radianes; en el texto completo
se demuestra que vale |v|/r) y sustituimos en el
deslizador anima la instrucción:
Valor(M,
M + dtv)
por esta otra:
Valor(M, Rota(M,
dtω, O))
entonces M
se desplazará en un movimiento circular uniforme alrededor de
O. En vez de usar el comando Rota,
podemos usar las elegantes coordenadas polares:
Valor(M,
O + (r ; tω))
El ángulo (positivo o negativo) que forma
M con la horizontal se obtiene con arg(M − O).
Para llevar un registro
del tiempo empleado en cada vuelta y el número de vueltas realizadas,
creamos las listas reg y regDif:
Así, el tiempo medio de
animación tras una vuelta completa, es decir, el período de la animación,
vendrá dado por:
T
= media(regDif)
Hallamos la media de todos los
períodos registrados porque aunque, teóricamente, todos ellos deberían ser
iguales, como la animación no sigue un movimiento continuo, sino a
intervalos dt, se pueden producir pequeñas desviaciones en cada
vuelta. Ahora basta añadir al guion del deslizador anima las
instrucciones:
En la actividad anterior hemos visto cómo la masa
m, representada por el punto M, se
desplazaba en un movimiento circular uniforme (MCU) alrededor del punto O,
es decir, a una distancia
r con una velocidad angular ω
constante. También aparecía una velocidad tangencial
v, cuyo módulo vale la constante ωr.
Pero que
v tenga módulo constante no significa que la velocidad
v sea constante, ya que su dirección
no lo es. Por lo tanto, ha de existir una fuerza que
obligue a la masa m a mantener el movimiento circular.
Esta fuerza provoca una aceleración centrípeta c.
El módulo de esta aceleración (en el texto completo se demuestra
fácilmente, gracias a la hodógrafa, que vale
v2/r) es exactamente el necesario para mantener a
la masa en el movimiento circular y evitar que, por inercia, siga un
movimiento rectilíneo.
Observa que los vectores c y
v determinan completamente el movimiento
de M. En la animación, cada vez que el tiempo
avanza "un poquito" (dt), la velocidad pasa a valer
v + dtc,
con lo que la posición de M pasa a ser
M + dtv.
Valor(v,
v + dtc)
(2ª ley de Newton)
GUION DEL DESLIZADOR anima
# Calcula los segundos dt transcurridos; para
ello, suma un segundo si t1(1) < tt
Valor(tt, t1(1))
Valor(t1, Primero(TomaTiempo(), 3))
Valor(dt, (t1(1) < tt)
+ (t1(1) − tt)/1000)
# Registra el tiempo de la vuelta y el número de
vueltas realizadas
Para masas situadas en el
espacio, el módulo de la aceleración g viene dado por
la conocida fórmula de Newton:
donde G es la constante
de gravitación universal, mT es la masa de la Tierra y
d la distancia a la que nos encontremos del centro de la Tierra.
En las
siguientes construcciones, supondremos que estamos cerca de la superficie
terrestre (d = r, siendo r el radio medio de la
Tierra), por lo que aproximaremos el valor del módulo de
g a unos 9.81 m/s2.
Péndulo cónico y MCU
En el MCU, hemos visto que aparece una velocidad tangencial
v, resultado de la
acción de una aceleración centrípeta c.
Tanto
v como c
tienen módulos constantes que solo dependen de la velocidad angular ω
y el radio r.
Ahora, la aceleración centrípeta
c viene dada como la componente
horizontal de la tensión del hilo, cuya componente vertical compensa la
gravedad g.
La velocidad angular
ω viene determinada únicamente
(además de por g) por la
altura del cono. No se puede conseguir altura nula, por mucha resistencia que tenga el
hilo, ya que su tensión siempre ha de contar con una componente vertical que
compense la gravedad (si la altura fuese cero, el período sería cero, y
tanto la velocidad angular como la tangencial serían infinitas).
GUION DEL DESLIZADOR anima (el mismo que en el MCU)
# Calcula los segundos dt transcurridos; para ello,
suma un segundo si t1(1) < tt
Valor(tt, t1(1))
Valor(t1, Primero(TomaTiempo(), 3))
Valor(dt, (t1(1) < tt) + (t1(1) − tt)/1000)
# Registra el tiempo de la vuelta y
el número de vueltas realizadas
En esta construcción, que simula un sencillo
videojuego, la velocidad del coche depende del resultado de imprimir una
aceleración que podemos variar con un deslizador (este mismo deslizador se
puede usar para frenar, pues admite valores negativos). El objetivo es
completar una vuelta al circuito en el menor tiempo posible, sin salirse
de la pista.
Si, al ponerse en verde el semáforo, activamos la
casilla "Vuelta de reconocimiento", la aceleración se fijará en un valor
constante (0.06), con lo que el coche entrará en un movimiento
uniformemente acelerado, completando cada vuelta en un tiempo menor
(hasta salirse de la pista).
Nota: en la construcción, el coche (o la pista) no
está a escala.
GUION DEL DESLIZADOR anima
# Calcula los segundos dt transcurridos; para ello,
suma un segundo si t1(1) < tt
Valor(tt, t1(1))
Valor(t1, Primero(TomaTiempo(), 3))
Valor(dt, (t1(1) < tt) + (t1(1) − tt)/1000)
# Mueve M gracias a la aceleración
"a" (vt es un vector unitario tangencial a la pista)
Valor(v, (abs(v) + dt a) vt)
Valor(Aux, PuntoMásCercano(pista, M + dt v))
Valor(M, Si(abs(Aux − M) < 0.1, Aux, M + dt v + dt (Aux − M)))
# Registra M para el rastro poligonal
y controla el final
Valor(reg, Añade(reg, M))
IniciaAnimación(anima, abs(Aux
− M) < 0.2)
Valor(crash, abs(Aux − M) ≥ 0.2)
Movimiento
Uniformemente Acelerado (MUA)
Caída libre
Una masa cae desde la posición inicial. Tal como descubrió Galileo,
el tiempo de caída no depende de la masa. Aquí podemos ver la caída, en la Tierra (sin considerar la resistencia del aire)
y en la Luna.
La animación varía en cada
instante tanto el vector velocidad v como la posición M de la masa m,
debido a la acción de la gravedad, dada por el
vector g.
Para ello, cada vez que pase un lapso, una
cantidad de tiempo dt muy pequeña, por definición de aceleración,
la velocidad aumenta dt g. Así
de sencillo, basta añadir al guion del deslizador anima la
instrucción:
Valor(v,
v + dt
g)
Nota: no es casualidad que podamos denominar
lapso a la cantidad de tiempo dt, pues esta palabra,
etimológicamente, deriva de la caída del agua, en un pequeño
intervalo de tiempo, en una clepsidra ("robo de agua", reloj de agua).
GUION DEL DESLIZADOR anima
# Calcula
los segundos dt transcurridos; para ello, suma un segundo si t1(1) < tt
Valor(tt,
t1(1))
Valor(t1,
Primero(TomaTiempo(), 3))
Valor(dt,
(t1(1) < tt) + (t1(1) − tt)/1000)
# Mueve M en la Tierra y M' en la
Luna
Valor(v, v
+ dt g)
Valor(M, M
+ dt v)
Valor(v', v' + dt g')
Valor(M', M' + dt v')
Caída libre con marcas y
final
Esta animación sigue los mismos pasos de la anterior
de caída libre, pero ahora añadimos marcas cada segundo de caída y, como
tope de la caída, el eje de las X.
Como puedes observar, el
resultado se ajusta bastante bien a la realidad. Las marcas verdes
representan la altura alcanzada por el punto azul en cada segundo, según
la animación. Las marcas naranjas indican la altura teórica a la que
debería estar ese punto al cabo de cada segundo.
Después de realizar el registro del tiempo y la ejecución del
movimiento como aparece en la
actividad anterior, para registrar las marcas, añadimos la variable y
listas:
ultimo = 0
reg = {0}
marca = {}
Ahora basta añadir al deslizador anima el guion
que registra el paso:
GUION DEL DESLIZADOR anima
# Calcula los segundos dt transcurridos; para
ello, suma un segundo si t1(1) < tt
Valor(tt, t1(1))
Valor(t1, Primero(TomaTiempo(), 3))
Valor(dt, (t1(1) < tt)
+ (t1(1) − tt)/1000)
# Registra el paso por un número entero de
segundos y la altura correspondiente
Esta animación sigue los mismos
pasos de la
actividad anterior, solo que ahora el vector velocidad
v puede tener un valor inicial
v0 no nulo, en dirección
horizontal. Esta velocidad inicial horizontal convierte el
movimiento rectilíneo en uno parabólico. Es decir, podemos considerar la
caída libre con velocidad inicial horizontal como combinación del
Movimiento Rectilíneo Uniforme horizontal y la
Caída libre.
Observa también que, si no hay
rozamiento, la componente horizontal del vector velocidad se conserva en
todo momento igual a la velocidad inicial horizontal. Como consecuencia,
la abscisa que alcanzará la masa al llegar al Eje X será la misma que si
no hubiese caída y siguiese rectilínea en un movimiento uniforme, es
decir, será igual a la abscisa de la posición inicial más
v0T, siendo T
el tiempo de caída.
GUION DEL DESLIZADOR anima
# Calcula
los segundos dt transcurridos; para ello, suma un segundo si t1(1) < tt
Valor(tt,
t1(1))
Valor(t1,
Primero(TomaTiempo(), 3))
Valor(dt,
(t1(1) < tt) + (t1(1) − tt)/1000)
# Registra
el paso por un número entero de segundos y la altura correspondiente
Valor(M,
Si(y(M + dt v) > 0, M + dt v, Interseca(Recta(M, M + v), EjeX)))
IniciaAnimación(anima, y(M) > 0)
Lanzamiento vertical
Esta animación simula el
lanzamiento vertical hacia arriba en tiempo real, despreciando la
resistencia del aire, de un objeto con una velocidad inicialv0y dada.
Recuerda que, después de usar el
reloj para establecer pequeñas diferencias de tiempo (dt), la
animación, en cada paso, solo hace uso esencialmente de estas dos
instrucciones:
Valor(v,
v + dt
g)
Valor(M,
M + dtv)
GUION DEL DESLIZADOR anima
# Calcula
los segundos dt transcurridos; para ello, suma un segundo si t1(1) < tt
Valor(tt,
t1(1))
Valor(t1,
Primero(TomaTiempo(), 3))
Valor(dt,
(t1(1) < tt) + (t1(1) − tt)/1000)
# Mueve M
Valor(v, v
+ dt g)
Valor(M,
Si(y(M + dt v)>0, M + dt v, (x(M), 0))
IniciaAnimación(anima, y(M) > 0)
Movimiento parabólico
Esta animación simula el
movimiento parabólico
en tiempo real, despreciando la resistencia del aire, de un objeto
con una velocidad inicialv0
dada. Podemos considerar el movimiento parabólico como combinación del
Movimiento Rectilíneo Uniforme horizontal con el de
Lanzamiento vertical, pues cada uno no influye en el otro (este es el
principio del movimiento compuesto, establecido por Galileo en
1638, y que utilizó para demostrar la forma parabólica del movimiento
de proyectiles: las componentes horizontal y vertical de la velocidad de
un proyectil son independientes entre sí).
GUION DEL DESLIZADOR anima
# Calcula
los segundos dt transcurridos; para ello, suma un segundo si t1(1) < tt
Valor(tt,
t1(1))
Valor(t1,
Primero(TomaTiempo(), 3))
Valor(dt,
(t1(1) < tt) + (t1(1) − tt)/1000)
# Mueve M
Valor(v, v
+ dt g)
Valor(M,
Si(y(M + dt v) > 0, M + dt v, Interseca(Recta(M, M + v), EjeX)))
IniciaAnimación(anima, y(M) > 0)
# Añade la posición M al registro
para el rastro poligonal
Valor(reg, Añade(reg, M))
Rebotes de una pelota
En este ejemplo, el guion del deslizador anima es
algo más largo debido a los cambios a los que hay que someter a la velocidad y posición de la pelota en las
cercanías del suelo y paredes donde rebota. Como la pelota avanza a
intervalos de tiempo dt, podemos observar que el momento exacto del rebote
no siempre coincide con el instante real del impacto.
Se visualizan dos situaciones: caída
libre o con velocidad inicial. Para cada una de ellas, podemos fijar el
Coeficiente de Restitución (CR).
Para CR = 1 (choque
elástico) la
pelota es de elasticidad perfecta. Esto significa que la pelota, en cada rebote
con el suelo, alcanzará siempre la misma altura
máxima.
Valor(v, (x(v),
-y(v)))
(3ª ley de Newton)
Para valores de menores CR que la unidad,
la pelota pierde energía al chocar, por lo que en cada rebote con el suelo la altura de la pelota disminuye en
progresión geométrica (de razón CR), hasta finalmente detenerse.
Esta progresión
se visualiza de un modo más familiar que en otros ejemplos socorridos (como,
por ejemplo,
el de la carrera de Aquiles y la tortuga).
GUION DEL DESLIZADOR anima
# Calcula los segundos dt transcurridos; para
ello, suma un segundo si t1(1) < tt
Valor(tt, t1(1))
Valor(t1, Primero(TomaTiempo(), 3))
Valor(dt, (t1(1) < tt)
+ (t1(1) − tt)/1000)
# Controla los rebotes en el suelo y paredes de la pelota de radio r; x2
es la abscisa de la Esquina(2)
Valor(M', M + dt v)
Valor(caso, Si(y(v) < 0 ∧ y(M') < r, 1, x(v) < 0 ∧ x(M') < r, 2, x(v)
> 0 ∧ x2 − x(M') < r, 3, 0))
# Actualiza M y v (el punto
auxiliar retiene la posición de M en su mínima altura)
Valor(Aux, Si(caso ≟ 1, M, Aux))
# Añade la posición M al registro
para el rastro poligonal y controla el final
Valor(reg, Añade(reg, M))
IniciaAnimación(anima, C_R ≟ 1 ∧ y(P) > r ∨ C_R < 1 ∧ y(Aux) > r )
Trayectoria balística
En el punto A se sitúa un cañón y en el punto B el objetivo. Puedes mover
ambos puntos. Esta animación sigue los mismos pasos de la actividad
"Movimiento parabólico", solo que ahora el valor inicial v0
del vector velocidad v se introduce en
dos etapas: primero su módulo (que corresponde a la potencia del
cañón empleado) y luego su dirección y sentido (es decir, se apunta el cañón
intentando hacer blanco en el objetivo B).
Mueve el punto verde, intentando estimar la dirección adecuada, y luego
pulsa el botón
.
Si no quieres esperar el tiempo del recorrido, activa la casilla Arco
teórico para ver la trayectoria que seguirá el proyectil.
Salvo que el punto B se sitúe justo en el límite del alcance del cañón,
o hay dos ángulos de disparo posibles o no hay ninguno. En el primer caso,
puedes ver ambas trayectorias activando la casilla Arcos para diana.
En el segundo caso, B se encuentra fuera del alcance del cañón y aparecerá
un mensaje en ese sentido.
GUION DEL DESLIZADOR anima
# Calcula los segundos dt transcurridos; para
ello, suma un segundo si t1(1) < tt
Valor(tt, t1(1))
Valor(t1, Primero(TomaTiempo(), 3))
Valor(dt, (t1(1) < tt)
+ (t1(1) − tt)/1000)
# Mueve M
Valor(v, v + dt g)
Valor(M, Si(y(M + dt v) > 0, M + dt v,
Interseca(Recta(M, M + v), EjeX)))
# Añade la posición M al registro
para el rastro poligonal y controla el final
Valor(reg, Añade(reg, M))
IniciaAnimación(anima, y(M) > 0 ∧ abs(M
− B) > abs(A − B)/100)
El mono y el cazador
Esta animación simula el
experimento mental del mono y cazador en tiempo real, despreciando la resistencia del aire, de un
proyectil con una velocidad inicialv0
dada.
En el punto A se sitúa el cazador y en el punto B el
mono. Puedes mover ambos puntos. Para ver mejor la animación (la velocidad
de la munición es demasiado
alta en comparación con la distancia a recorrer), hemos cambiado la bala o
los perdigones del arma del cazador por una pelota de goma lanzada con
tirachinas,
lo que claramente beneficia al mono (de nada).
Este experimento mental sitúa al
cazador apuntando el tirachinas directamente al mono. En el mismo
instante en que dispara, el mono se deja caer del árbol. Mala decisión.
Como hemos visto, descomponiendo el movimiento de la pelota en dos
movimientos (horizontal y vertical), la pelota no sigue un movimiento
rectilíneo porque en cada instante cae verticalmente exactamente
igual que lo hace el mono. De hecho, si el mono mira a la pelota en todo
momento, verá que se acerca directamente hacia él, en movimiento (que él
ve) completamente rectilíneo, pues ambos caen al mismo tiempo.
GUION DEL DESLIZADOR anima
# Calcula
los segundos dt transcurridos; para ello, suma un segundo si t1(1) < tt
Valor(tt,
t1(1))
Valor(t1,
Primero(TomaTiempo(), 3))
Valor(dt,
(t1(1) < tt) + (t1(1) − tt)/1000)
# Mueve M y N
Valor(v, v + dt g)
Valor(vN,
vN + dt g)
Valor(M, M + dt v)
Valor(N, N
+ dt vN)
# Añade la posición M al registro
para el rastro poligonal y controla el final
Una masa, representada por el
punto azul M, se encuentra en un plano
inclinado (que incluye la distancia del centro de masas al plano). La
animación varía en cada instante tanto el vector velocidad
v como la posición
M de la masa, debido a la acción de la gravedad,
cuya aceleración constante está representada
por el vector g (en
línea discontinua).
El vector
g se puede descomponer como suma de dos:
uno paralelo al plano inclinado (gt)
y otro perpendicular a él. Este otro vector no interviene en el movimiento
porque su efecto queda anulado por la resistencia de la rampa, siguiendo
el principio de acción y reacción (tercera ley de Newton). Observa
en el esquema que el triángulo rectángulo de hipotenusa |g|
y cateto |gt| es semejante al de
hipotenusa c y cateto b. Así que |g|/|gt|
= c/b.
Puedes variar las posiciones de A y B. Tras
minuciosas observaciones, Galileo descubrió que el tiempo del recorrido de
la masa en el plano inclinado es el mismo que el de caída libre por el factor de proporción entre las
distancias recorridas. Esto es así porque, en cada instante, la velocidad
de caída es la misma en ambos movimientos (esta velocidad solo depende de
la altura: la masa del plano inclinado tarda más que en caída libre, pero
también recorre más). En este video, en
inglés (procede de la visita virtual al museo de Galileo, en Florencia),
puedes ver una reconstrucción de ese experimiento.
Adecuamos el guion del deslizador
anima:
Valor(v,
v + dtgt)
GUION DEL DESLIZADOR anima
#
Calcula los segundos dt transcurridos; para ello, suma un segundo si t1(1)
< tt
Valor(tt,
t1(1))
Valor(t1,
Primero(TomaTiempo(), 3))
Valor(dt,
(t1(1) < tt) + (t1(1) − tt)/1000)
# Mueve
M
Valor(v, v + dt gt)
Valor(M,
Si(y(M + dt v) ≥ 0, M + dt v, B))
IniciaAnimación(anima, y(M) > 0)
Caída por una esfera
Una masa, representada por el
punto azul M, se encuentra en la parte superior
de una esfera de radio r. El movimiento seguido por
M se compone de dos tramos. En el primero (que
llamaré tramo1), cae por la circunferencia de la esfera en un
movimiento circular (acelerado). Es el movimiento que seguirá el punto
MM en el guion del deslizador anima. En el segundo tramo, se despega
de la superficie esférica para caer en un movimiento de caída libre
con la velocidad inicial que tenga en el instante de separación.
El vector
g se puede descomponer como suma de dos:
uno tangente a la esfera, gt, y otro
perpendicular a él, gn. Este último
vector no interviene en el movimiento, como hemos visto en la actividad
anterior del plano inclinado, pero es clave para determinar en qué punto la
masa se despega de la esfera y diferenciar así ambos tramos.
Esto es todo lo que necesitamos para escribir el guion del deslizador
anima. Cuando el módulo de gn sea
menor que el de la aceleración centrípeta, esa componente de la gravedad
será insuficiente para mantener a la masa pegada a la esfera, así que esta
abandonará el movimiento circular para iniciar, en un segundo tramo, un
movimiento de caída libre con velocidad inicial igual a la que llevaba en el
momento de despegarse.
Nota: Si llamamos h0 a la altura de la posición inicial,
puedes comprobar en la construcción que el tramo1 siempre corresponde a
la tercera parte de h0. No importa la masa, el radio
de la esfera, o incluso el valor de la gravedad: la masa (sin rozamiento) se
mantendrá pegada a la esfera siempre durante 1/3 de la altura inicial.
GUION
DEL DESLIZADOR anima
#
Calcula los segundos dt transcurridos; para ello, suma un segundo si t1(1)
< tt
Valor(tt,
t1(1))
Valor(t1,
Primero(TomaTiempo(), 3))
Valor(dt,
(t1(1) < tt) + (t1(1) − tt)/1000)
# Mueve
MM y M (r es la distancia del centro de M al centro de la esfera)
Valor(tramo1, abs(M) < r)
Valor(v,
Si(tramo1, vt + dt gt, v + dt g))
Valor(MM,
MM + dt v)
Valor(M,
Si(tramo1, MM, y(M + dt v) > 0, M + dt v, Interseca(Recta(M, M + v), EjeX)))
IniciaAnimación(anima, y(M) > 0)
Movimiento
Armónico Simple (MAS)
MAS de un resorte horizontal
Arrastra
M hacia la derecha para
estirar el resorte. La distancia que lo arrastres determinará
la amplitud. Comprueba que, según arrastras M,
el período teórico
no varía, pues no depende de la amplitud. El motivo es que a mayor
amplitud, mayor será la fuerza restauradora del resorte, así que al
final M recorrerá cada oscilación en el mismo
tiempo (demostraremos este isocronismoen la próxima actividad).
Esa separación de la posición de
reposo hará que el resorte se resista, apareciendo una aceleración
a cuyo sentido es siempre hacia
el punto de reposo. Esta aceleración no es constante, sino que, en cada
posición de M, es proporcional a la distancia de M al punto de reposo.
GUION DEL DESLIZADOR anima
# Calcula los segundos dt
transcurridos; para ello, suma un segundo si t1(1) < tt
Valor(tt, t1(1))
Valor(t1, Primero(TomaTiempo(), 3))
Valor(dt, (t1(1) < tt)
+ (t1(1) − tt)/1000)
# Mueve M (usamos un vector
auxiliar para retener el valor de vt antes de actualizar el valor de v)
Valor(aux, v)
Valor(v, v + dt a)
Valor(M, M + dt v)
# Registra el tiempo del período
y el número de oscilaciones completas
Valor(reg, Si(x(aux) > 0 ∧ x(v) < 0, Añade(t, reg), reg))
Valor(osci, Si(x(aux) > 0 ∧ x(v) < 0, osci + 1, osci))
MAS y MCU: isocronismo
El movimiento armónico simple se puede ver como una
proyección de un movimiento circular uniforme.
Para que
MM se mantenga siempre en la misma vertical
que M, la componente horizontal de
c debe ser precisamente la aceleración
a del MAS.
El período
del MAS no depende de la amplitud A, solo depende de la masa m y
la elasticidad
k. Para un resorte de elasticidad k, la masa siempre
tardará lo mismo en realizar una oscilación completa (isocronismo).
GUION DEL DESLIZADOR anima
# Calcula
los segundos dt transcurridos; para ello, suma un segundo si t1(1) < tt
Valor(tt,
t1(1))
Valor(t1,
Primero(TomaTiempo(), 3))
Valor(dt,
(t1(1) < tt) + (t1(1) − tt)/1000)
# Mueve M y
MM
Valor(MM, O
+ (r; t ω))
Valor(aux, v)
Valor(v, v
+ dt a)
Valor(M, M
+ dt v)
# Registra
el tiempo del período y el número de oscilaciones completas
Podemos proyectar el punto que describe el MCU sobre
cualquier diámetro del círculo. El punto obtenido seguirá siempre un MAS.
Si proyectamos sobre los diámetros horizontal y vertical, obtenemos el
diagrama familiar con el que explicamos las funciones coseno y seno en la
circunferencia goniométrica.
Pero se produce un curioso efecto al realizar la
proyección sobre TODOS los diámetros. Los puntos obtenidos conformarán,
cada uno recorriendo su diámetro con MAS, un nuevo círculo con la mitad de
radio, que gira en el interior del círculo mayor. Y a su vez, este nuevo
círculo...
Armonógrafo (figuras de
Lissajous)
Al combinar dos MAS con direcciones perpendiculares,
con el mismo período y en la misma fase, obtenemos un segmento recto. Si
los desfasamos, obtenemos elipses. Si además tienen distinto período, obtenemos las curvas o
figuras de Lissajous.
Como veremos más adelante, el movimiento de un
péndulo con amplitud suficientemente pequeña es prácticamente idéntico al
MAS. Por tanto, la acción combinada de dos péndulos perpendiculares
también producen las figuras de Lissajous. Estos dispositivos se denominan
armonógrafos.
MAS de un resorte vertical
Este movimiento es prácticamente
idéntico al del ya visto de MAS de un resorte horizontal, sin más que cambiar la orientación. La
única diferencia entre ambos es que ahora, en la oscilación vertical,
interviene la gravedad, haciendo que el centro de la oscilación pase de
ser el punto de reposo del muelle a ser el punto de equilibrio
entre la fuerza de restauración del resorte y la gravedad.
Adecuamos el guion del deslizador anima:
Valor(v,
v + dt (a
+ g))
GUION DEL DESLIZADOR anima
# Calcula
los segundos dt transcurridos; para ello, suma un segundo si t1(1) < tt
Valor(tt,
t1(1))
Valor(t1,
Primero(TomaTiempo(), 3))
Valor(dt,
(t1(1) < tt) + (t1(1) − tt)/1000)
# Mueve M
Valor(aux, v)
Valor(v, v
+ dt (a + g))
Valor(M, M
+ dt v)
# Registra
el tiempo del período y el número de oscilaciones completas
El vector g (en
línea discontinua), la aceleración gravitatoria, se puede descomponer como suma de
dos: uno perpendicular a la varilla (gt) y otro en la dirección de la
varilla, que no interviene en el movimiento porque su efecto
queda anulado por la rigidez de la varilla o, en el caso de un hilo, por
la tensión del hilo (principio de acción y reacción, tercera ley de Newton).
Adecuamos el guion del deslizador
anima:
Valor(v,
vt + dtgt)
Nota: vt
es un vector con el mismo módulo que v,
pero que conserva siempre la misma dirección perpendicular a la varilla;
es necesario cambiar v
por vt ya
que si sumásemos directamente v
con dtgt,
el vector v
perdería paulatinamente esa perpendicularidad, pues la dirección de
v un instante
antes ya no es perpendicular a la varilla un instante dt
después.
Observa que para amplitudes pequeñas (menores de 10º, aproximadamente),
el período T es prácticamente constante e igual al período T0
del movimiento armónico simple (MAS), como muestra la siguiente actividad.
El resultado se ajusta bastante bien a la realidad, incluso para
amplitudes angulares grandes, para las que no es buena la aproximación del
movimiento pendular al de un MAS, como puedes
comprobar. A partir de 130º, el cálculo del período teórico conlleva
trabajar con números demasiado elevados, por lo que GeoGebra no lo puede
calcular con suficiente precisión, mientras que el período de la animación
sigue ajustándose bastante bien al modelo ideal. Para amplitudes mayores de
175º, el período seguiría aumentando y tiende a infinito al acercarse la
amplitud a 180º.
Atención: puedes detener la animación en cualquier momento, pero si lo
haces deberás pulsar el botón Reinicia para actualizar el contador de
tiempo, en caso contrario el péndulo puede "despendolarse".
GUION DEL DESLIZADOR anima
# Calcula los segundos dt transcurridos; para
ello, suma un segundo si t1(1) < tt
Valor(tt, t1(1))
Valor(t1, Primero(TomaTiempo(), 3))
Valor(dt, (t1(1) < tt)
+ (t1(1) − tt)/1000)
# Mueve M
Valor(aux, vt)
Valor(v, vt + dt gt)
Valor(M, M + dt v)
# Registra el tiempo del período y el número de
oscilaciones completas
Al mismo tiempo que el péndulo
oscila, un resorte activa el movimiento armónico simple, en horizontal, de
la masa m (en este caso representada por el pequeño punto verde
MM, con velocidad vv), con la amplitud correspondiente a la
amplitud angular del péndulo.
Observa que cuando esta amplitud angular es pequeña,
el período de oscilación del péndulo es casi idéntico al del movimiento
armónico simple.
GUION DEL DESLIZADOR anima
#
Calcula los segundos dt transcurridos; para ello, suma un segundo si t1(1)
< tt
Valor(tt,
t1(1))
Valor(t1,
Primero(TomaTiempo(), 3))
Valor(dt,
(t1(1) < tt) + (t1(1) − tt)/1000)
# Mueve M
Valor(aux, vt)
Valor(v,
vt + dt gt)
Valor(M, M + dt v)
# Mueve
MM (el punto pequeño verde del MAS, con
velocidad vv, y aceleración f + a)
Valor(vv,
vv + dt (f + a))
Valor(MM, MM + dt vv)
#
Registra el tiempo del período y el número de oscilaciones completas
En la actividad del Péndulo simple, hemos comprobado que para amplitudes pequeñas
(menores de 10º, aproximadamente), el período T es prácticamente
constante e igual al período T0 del movimiento armónico
simple (MAS). Como conocemos el período del MAS, podemos calcular la
longitud de la varilla para que ese período sea exactamente de 2 segundos
(en cada oscilación, un segundo para la ida y otro para la vuelta).
Utilizando un péndulo de este
tipo, se pudo, por primera vez en la historia, medir con bastante exactitud
una cantidad de tiempo tan pequeña como un segundo (un día tiene 86 400
segundos). Como ves, la longitud de la varilla es casi un metro exacto. No
es casualidad. Esta medida fue originalmente propuesta, a finales del siglo
XVII, como medida estándar de longitud, hasta convertirse en nuestro
metro actual, del que difiere en poco más de medio centímetro.
Nota: Veremos más adelante, en la actividad Péndulo cicloidal, cómo Huygens se las ingenió para evitar la pequeña diferencia de tiempo entre el
período del péndulo y el período del MAS, logrando construir relojes de
péndulo precisos.
GUION DEL DESLIZADOR anima
# Calcula los segundos dt transcurridos; para
ello, suma un segundo si t1(1) < tt
Valor(tt, t1(1))
Valor(t1, Primero(TomaTiempo(), 3))
Valor(dt, (t1(1) < tt)
+ (t1(1) − tt)/1000)
# Mueve M
Valor(aux, vt)
Valor(v, vt + dt gt)
Valor(M, M + dt v)
# Registra el tiempo del período y el número de
oscilaciones completas
Gracias al péndulo de segundos, se consiguieron
fabricar los primeros relojes precisos. Y también los primeros metrónomos.
GUION DEL DESLIZADOR anima
# Calcula los segundos dt transcurridos; para
ello, suma un segundo si t1(1) < tt
Valor(tt, t1(1))
Valor(t1, Primero(TomaTiempo(), 3))
Valor(dt, (t1(1) < tt)
+ (t1(1) − tt)/1000)
# Mueve M. Aviso visual y acústico
al pasar por la vertical
Valor(v, vt + dt gt)
Si(x(M − O) x(M + dt v − O) < 0 ∧ toca, TocaSonido(sen(440 2Pi x), 0,
0.1))
Valor(p, Si(x(M − O) x(M + dt v − O) < 0, p + 1, p))
Valor(M, M + dt v)
Péndulo doble
Si colocamos un péndulo en el extremo móvil de otro,
obtenemos un péndulo doble. Aunque cada uno de ellos se sigue
rigiendo por el período estable de un movimiento ordenado, su movimiento
combinado resulta caótico.
Podemos aprovechar la poligonal generada por el
rastro para estimar la longitud recorrida por el segundo péndulo.
GUION DEL DESLIZADOR anima
# Calcula los segundos dt transcurridos; para
ello, suma un segundo si t1(1) < tt
# Añade la posición M2 al registro
para el rastro poligonal
Valor(reg, Añade(reg, M2))
Tirolina
La carga de una tirolina ideal (es decir, sin
rozamiento) se comporta de modo similar al del péndulo doble. La diferencia
estriba en que ahora la polea (el primer péndulo) no traza un arco de circunferencia, sino
un arco de elipse, pues su recorrido está determinado por la longitud del
cable, que es la suma de las distancias de la polea a los extremos A y B.
Hemos aprovechado el guion del deslizador anima para
registrar la máxima velocidad alcanzada (con o sin carga). Así, podemos
observar que la carga (punto rojo) puede llegar a moverse más rápido que
la polea de enganche al cable (punto azul). En la realidad, la carga suele
estar muy cerca de la polea, lo que minimiza, junto con el rozamiento, los
vaivenes producidos por la carga.
GUION DEL DESLIZADOR anima
# Calcula los segundos dt
transcurridos; para ello, suma un segundo si t1(1) < tt
Valor(tt, t1(1))
Valor(t1, Primero(TomaTiempo(), 3))
Valor(dt, (t1(1) < tt) + (t1(1) − tt)/1000)
# Mueve M y M' y registra la
velocidad máxima
Valor(v1, vt1 + dt gt1)
Valor(v2, vt2 + dt gt2)
Valor(M1, M1 + dt v1)
Valor(M2, M2 + dt v2)
Valor(vMax1, Máximo(abs(v1), vMax1))
Valor(vMax2, Máximo(abs(v1 + v2),
vMax2))
# Añade las posiciones M1 y M2 a los
registros para el rastro poligonal
Valor(reg1, Añade(reg1, M1))
Valor(reg2, Añade(reg2, M2))
La cicloide
Un cuenco en Cuenca
Imagina una rueda que gira sobre un plano horizontal,
sin deslizarse. Un punto de su circunferencia realizará una combinación de dos movimientos: el rectilíneo uniforme (MRU)
del centro de la rueda (punto blanco) y el circular uniforme (MCU) del
punto que gira alrededor de ese centro (punto verde). El recorrido
curvo resultante se llama cicloide.
En la construcción, hemos
limitado la curva a los valores de un ángulo
β entre −2𝜋 y 2𝜋. Para
cada valor de
β, el ángulo del punto verde es −β
− 𝜋/2. Así
que su posición es: (r ; −β − 𝜋/2). Para ese mismo
valor
β, el punto blanco se desplaza en horizontal, a una altura
r, la longitud del arco de rueda correspondiente:
β r.
Así que su posición es (β r, r). Por lo tanto, la
posición del punto naranja es:
(β r, r) +
(r ; −β − 𝜋/2)
Esta es la ecuación de la cicloide (apodada "La
Helena de los Geómetras" según unos porque, al igual que Helena de Troya,
fue fuente de numerosas discusiones entre los matemáticos del siglo XVII,
y según otros, por la belleza de sus propiedades). En las siguientes actividades
haremos uso de esta curva, pero invertida. En la cicloide invertida, la posición del punto naranja viene
dada, para el ángulo
β, por:
(β r, r) +
(r ; β + 𝜋/2)
Caída por una cicloide
Al igual
que hemos hecho con el péndulo, la animación varía en cada instante tanto
el vector velocidad v como
la posición M de la masa m, debido a
la acción de la gravedad, cuya aceleración
constante está representada por el vector
g (en línea discontinua).
Este vector se puede descomponer como suma de dos: uno tangente al
recorrido (gt)
y otro en la dirección perpendicular (este otro vector no interviene en el
movimiento porque su efecto queda anulado por la resistencia del material,
con forma de cicloide, que sostiene a la masa).
Deducimos entonces que
el período de la caída por la cicloide no
depende de la masa, solo del radio de la rueda que genera la cicloide y de
la gravedad. Cualquier masa siempre tardará lo mismo en realizar una
oscilación completa. Como ya hemos visto, esta propiedad se denomina
isocronismo.
GUION DEL DESLIZADOR anima
# Calcula los segundos dt transcurridos; para
ello, suma un segundo si t1(1) < tt
Valor(tt, t1(1))
Valor(t1, Primero(TomaTiempo(), 3))
Valor(dt, (t1(1) < tt)
+ (t1(1) − tt)/1000)
# Mueve M
Valor(aux, vt)
Valor(v, vt + dt gt)
Valor(M, M + dt v)
# Registra el tiempo del período y el número de
oscilaciones completas
Se dejan caer por su propio peso las masas en
M, A y
B, todas ellas sobre la cicloide. Cabría
suponer que B llegará antes al punto más bajo
de la cicloide que A, y a su vez
A llegará antes que M.
¡Pero no es así! Las tres masas llegan a la vez.
La cicloide es la única curva
que tiene la propiedad de ser una curva tautócrona,
es decir, el tiempo que le lleva a una masa que se desliza sin rozamiento en
gravedad uniforme hasta su punto más bajo es independiente de su punto de
partida. Es decir, el período de oscilación de los tres puntos es siempre el
mismo.
GUION DEL DESLIZADOR anima
#
Calcula los segundos dt transcurridos; para ello, suma un segundo si t1(1)
< tt
Valor(tt,
t1(1))
Valor(t1,
Primero(TomaTiempo(), 3))
Valor(dt,
(t1(1) < tt) + (t1(1) − tt)/1000)
# Mueve
M, A y B
Valor(aux, vt)
Valor(v, vt + dt gt)
Valor(vA,
vtA + dt gtA)
Valor(vB,
vtB + dt gtB)
Valor(M,
M + dt v)
Valor(A,
A + dt vA)
Valor(B,
B + dt vB)
#
Registra el tiempo del período y el número de oscilaciones completas
El péndulo simple no puede ser considerado como una medida del
tiempo segura y uniforme, porque las oscilaciones amplias tardan más
tiempo que las de menor amplitud; con ayuda de la geometría he encontrado
un método, hasta ahora desconocido, de suspender el péndulo; pues he
investigado la curvatura de una determinada curva que se presta
admirablemente para lograr la deseada uniformidad. Una vez que hube
aplicado esta forma de suspensión a los relojes, su marcha se hizo tan
pareja y segura, que después de numerosas experiencias sobre la tierra y
sobre el agua, es indudable que estos relojes ofrecen la mayor seguridad a
la astronomía y a la navegación. La línea mencionada es la misma que
describe en el aire un clavo sujeto a una rueda cuando esta avanza
girando; los matemáticos la denominan cicloide, y ha sido
cuidadosamente estudiada porque posee muchas otras propiedades; pero yo la
he estudiado por su aplicación a la medida del tiempo ya mencionada, que
descubrí mientras la estudiaba con interés puramente científico, sin
sospechar el resultado.
Christian Huygens, Horologium
oscillatorium (1673)
Se dejan
caer por su propio peso las masas en M y
A, ambas sobre la cicloide (verde), generada
por un círculo de radio r. Como hemos visto (y Huygens descubrió),
esta curva es tautócrona, así que ambas masas tienen el mismo
período. Comprobarás que A
cruza a la vez que M el punto más bajo de ella.
Observa también que el hilo que sostiene a las masas, de longitud 4r,
en este péndulo cicloidal, se curva en la cicloide amarilla (generada por un
círculo de radio r), enrollándose y desenrollándose, de modo que su
extremo traza la cicloide verde (o un arco de ella).
Nota: la curva verde, trazada por el punto M
al desenrollarse o enrollarse en la curva amarilla, se denomina involuta (o evolvente)
de la amarilla. En la construcción se observa que la
involuta de la cicloide es la misma cicloide (amarilla) de
la que proviene, trasladada. Otro modo de decir lo mismo es que la curva
que recoge los centros de curvatura (evoluta)
de la cicloide verde es, trasladada, la misma cicloide (amarilla). Activa
la casilla Círculo osculador (cuyo centro es, en cada instante, el centro de curvatura del punto
M) para comprobarlo. Esto se debe a que, para
cualquier curva, "la evoluta de la
involuta"
es la propia curva (amarilla).
GUION DEL DESLIZADOR anima
# Calcula los segundos dt transcurridos; para
ello, suma un segundo si t1(1) < tt
Valor(tt, t1(1))
Valor(t1, Primero(TomaTiempo(), 3))
Valor(dt, (t1(1) < tt)
+ (t1(1) − tt)/1000)
# Mueve M y A
Valor(v, vt + dt gt)
Valor(vA, vtA + dt gtA)
Valor(M, M + dt v)
Valor(A, A + dt vA)
Braquistócrona ("tiempo mínimo")
Supón que quieres que una bola
vaya de un punto elevado H hasta otro a menor altura P (fuera de la vertical
de H) en el menor tiempo posible. En principio, tal vez pienses que seguir
la línea recta, al ser la trayectoria más corta, será también la más rápida.
Es decir, seguir el plano inclinado de H a P (línea naranja). Pues no.
¿Qué
curva debe seguir, entonces? Esta curva se llama braquistócrona
y está relacionada con la famosa frase de Bernoulli,
refiriéndose a Newton: Por sus garras
se conoce al león. La curva de descenso más rápido no es otra, una
vez más, que la cicloide invertida.
Hemos
añadido la circunferencia que pasa por H, S y P, pues Galileo
creía que la braquistócrona debería ser esa circunferencia (línea verde),
pero se equivocó (aunque no por mucho). En realidad, el punto verde realiza
un movimiento pendular, como ya hemos visto, cuyo período de oscilación es
algo mayor que el de la cicloide.
La
imagen muestra la
pista de skate en la obra titulada Cycloïde Piazza, con motivo de los Juegos
Olímpicos de París 2024. Su creador es el artista (y skater) Raphaël Zarka. Se
halla
instalada junto al Centro Pompidou.
Es la primera vez que se crea una pista de skate cuyo perfil es el más rápido del mundo
(una cicloide). Normalmente, el perfil de estas pistas está formado
por un trayecto horizontal con cuartos de circunferencia en sus extremos (en
inglés, half-pipe, es decir, medio tubo), mucho más sencillo de
construir.
GUION DEL DESLIZADOR anima
# Calcula los segundos dt transcurridos; para ello,
suma un segundo si t1(1) < tt
Valor(tt, t1(1))
Valor(t1, Primero(TomaTiempo(), 3))
Valor(dt, (t1(1) < tt) + (t1(1) − tt)/1000)
# Mueve M, A y B
Valor(v, vt
+ dt gt)
Valor(vA,
vtA + dt gtA)
Valor(vB,
vtB + dt gtB)
Valor(M, M +
dt v)
Valor(A, A +
dt vA)
Valor(B, B +
dt vB)
Una cronología
del cronómetro
En la siguiente tabla cronológica podemos apreciar cómo cuatro
monstruos de la ciencia (GALILEO, HUYGENS, HOOKE y NEWTON) resultan esenciales en la
historia de la medición precisa del tiempo.
Antecedentes
- XVI
Clepsidra (reloj de agua)
Algún egipcio...
VIII
Clepsamia (reloj de arena)
Algún europeo...
Fecha
1589
Caída libre (experimento mental
de Pisa)
GALILEO
+ 10
1599
Cicloide
GALILEO
+ 3
1602
Péndulo simple
GALILEO
+ 2
1604
Movimiento Unif. Acelerado
(MUA)
GALILEO
+ 33
1637
Idea del reloj de
péndulo
GALILEO
+ 7
1644
Péndulo de segundos
Mersenne
+ 12
1656
Reloj de péndulo
HUYGENS
+ 3
1659
Tautócrona
HUYGENS
+ 1
1660
Péndulo cónico
HOOKE
+ 0
1660
Ley de elasticidad
(MAS)
HOOKE
+ 11
1671
Coordenadas polares
NEWTON
+ 2
1673
Péndulo cicloidal.
Evoluta
HUYGENS
+ 2
1675
Volante regulador
(sustituto del péndulo)
HOOKE, HUYGENS
+ 12
1687
Leyes del movimiento
NEWTON
+ 9
1696
Precursor del metrónomo
Loulié
+ 1
1697
Braquistócrona
NEWTON
Escalas de tiempo
El problema de la mosca y
los trenes
El movimiento a velocidad constante es muy frecuente
en muchos problemas de persecución o enfrentamiento entre dos móviles.
Aunque en los libros de texto suelen resolverlos como sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas (el espacio recorrido y
el tiempo
transcurrido hasta el encuentro), basta un simple razonamiento
basado en la relatividad del movimiento (relatividad de Galileo
respecto al sistema de referencia).
Para el observador que esté en uno de los móviles, el móvil en el que se
halla permanece quieto, mientras que el otro se mueve con la diferencia
(vectorial, es decir, considerando el sentido de cada uno) de las
velocidades de ambos. Gracias a este razonamiento, es fácil deducir el tiempo de
alcance.
Seguramente, el ejemplo más famoso de este tipo de problemas sea el de la mosca y los
trenes:
Dos trenes se hallan en la misma vía separados 100
km. Se dirigen uno hacia el otro, cada uno a 50 km/h. Una mosca parte del
morro de un tren y vuela hacia el otro, a 75 km/h. Al llegar al otro tren,
la mosca da media vuelta y continúa hacia el primer tren. ¿Cuántos
kilómetros recorre la mosca antes de quedar aplastada en la colisión de
los dos trenes?
Comentario: Naturalmente, este enunciado, como muchos otros en matemáticas, hay
que asignarlo a la categoría de "experimentos mentales", por lo que no
ha de ser juzgado con "sentido común" (¿Desde cuándo las moscas vuelan a velocidad constante y sin
quiebros? ¿A 75 km/h, más de 10 veces lo normal? ¿Qué oscuro motivo tiene la mosca para realizar esos absurdos vaivenes? ¿Los
dos maquinistas están ciegos y no frenan al ver el otro tren? ¿Cómo se
conocen esos datos, lleva la mosca un GPS ultraligero? etc.)
La fama de este problema se debe a que cuando se lo
propusieron al gran matemático John von Neumann (1903-1957, Johnny
para los amigos),
sustituyendo
los trenes por bicicletas, dio inmediatamente el resultado correcto.Oh, ya has oído el truco
antes, dijo el interrogador, decepcionado. ¿Qué truco? preguntó
el desconcertado Johnny, simplemente sumé la serie infinita.
En un rápido cálculo mental, Johnny
determinó la longitud del primer tramo recorrido por la mosca (75 t = 100
− 50 t, de donde t= 4/5, y entonces tramo1 = 75 4/5 = 60 km). En ese
tiempo (4/5 h), cada tren habrá recorrido 40 km, así que la
separación entre los trenes es solo de 20 km, es decir, 1/5 de la
separación inicial. Por lo tanto, los tramos que recorre la mosca
forman una progresión geométrica decreciente, de razón 1/5 y primer
término 60, cuya suma de infinitos términos, que es
60/(1−1/5) = 75 km.
La alternativa, "el truco", muchísimo más simple, consiste en
desplazar el foco de atención del espacio al tiempo. Desde el punto de vista
de uno de los trenes, el otro tren se acerca a 100 km/h, por lo que
tardará 1 hora en recorrer los 100 km de separación hasta colisionar. Así
que la mosca estará volando 1 hora. A la velocidad de 75 km/h, habrá recorrido 75 km.
Observemos que como la velocidad se expresa en km/h,
elegimos el kilómetro como unidad de distancia en la construcción. Pero
como no queremos esperar una hora a que se complete el experimento,
escalamos el tiempo (1:180), de modo que cada segundo de ejecución
equivalga a 3 minutos de tiempo "real". Naturalmente, escalar el
tiempo también implica escalar el error cometido en la simulación.
Nota: en la construcción, es evidente que lo que no
está a escala son las
locomotoras.
GUION DEL DESLIZADOR anima
# Calcula los segundos dt transcurridos; para ello,
suma un segundo si t1(1) < tt
Valor(tt, t1(1))
Valor(t1, Primero(TomaTiempo(), 3))
Valor(dt, (t1(1) < tt) + (t1(1) − tt)/1000)
# Mueve la mosca M (a velocidad v) y
los trenes (a velocidad vTren)
Valor(M, M + dt v)
Valor(Tren1, Tren1 + dt vTren)
Valor(Tren2, Tren2 − dt vTren)
# Establece los límites de
cada movimiento
Valor(v, Si(x(M − Tren1) < 0, (abs(v), 0), x(Tren2 − M) < 0, −(abs(v), 0),
v))
IniciaAnimación(anima, x(Tren2 − Tren1) > 0)
Péndulo de Foucault
Si aplicamos al tiempo una escala 1:3600, podemos visualizar una vuelta
completa de la Tierra en solo 24 segundos. Esta escala de tiempo nos
permite observar el comportamiento del péndulo de Foucault en cualquier
punto terrestre. Si lo colocamos en el hemisferio norte, la rotación
aparente del plano del péndulo se realizará de modo retrógrado (sentido
horario), mientras que el hemisferio sur se realizará de modo directo
(sentido antihorario).
GUION DEL DESLIZADOR anima
# Calcula los segundos dt transcurridos; para ello,
suma un segundo si t1(1) < tt
Valor(tt, t1(1))
Valor(t1, Primero(TomaTiempo(), 3))
Valor(dt, (t1(1) < tt) + (t1(1) − tt)/1000)
# Mueve M
Valor(v, vt + dt gt)
Valor(M, M + dt v)
# Gira la Tierra y añade la posición M' al registro
para el rastro poligonal
Valor(f, f + dt 15°)
Valor(reg, Añade(reg, (abs(M'); arg(M') − f; alt(M'))))
# Detiene la rotación tras una
vuelta completa del péndulo
IniciaAnimación(k f < 360°)
Órbita circular
Hasta ahora hemos supuesto que la
aceleración gravitatoria g se medía en
la superficie terrestre, con el módulo igual a 9.81 m/s2. Pero
un satélite artificial M orbitando alrededor
de la Tierra está sometido a una aceleración menor.
Recordemos que el valor del módulo de g viene dado por
la fórmula de Newton:
En esta construcción puedes
observar el MCU de un satélite artificial
(M1) alrededor de la Tierra, en una órbita
polar baja (a 1700 km de altura).
En la
animación, la Tierra tarda 23.93'' en dar una vuelta completa, es decir,
tantos segundos como horas en la realidad. Por lo tanto, gira 3600 veces más
rápido que en la realidad. Para mantener la proporción de este período de
23.93'' con los períodos de los satélites, hemos hallado el período real
(con las distancias reales y la masa real de la Tierra) de cada uno y lo
hemos dividido también entre 3600. El satélite tiene un período teórico de 2 horas (unas 12 vueltas al día),
por lo que en la
animación ese satélite dará una vuelta completa cada 2'', aproximadamente.
Además, en
la vista 3D, la distancia del satélite al centro de la Tierra, y por lo tanto su órbita, también está escalada
proporcionalmente al radio de la Tierra.
GUION DEL DESLIZADOR anima
# Calcula los segundos dt transcurridos; para
ello, suma un segundo si t1(1) < tt
Valor(tt, t1(1))
Valor(t1, Primero(TomaTiempo(), 3))
Valor(dt, (t1(1) < tt)
+ (t1(1) − tt)/1000)
# Registra el tiempo de la vuelta y el número de
vueltas realizadas
# Gira la Tierra y mueve M1
Valor(f, f
+ ω dt)
Valor(M1, M1')
Órbitas circulares
En esta construcción puedes
observar el movimiento circular uniforme de tres satélites artificiales
(M1, M2 y M3) alrededor de la Tierra. Puedes elegir la altura de cada uno,
en ciertos intervalos. El primero (M1, azul) se sitúa en una órbita
baja (a una altura entre 350 y 2000 km de la superficie terrestre). El
segundo (M2, rojo) y el tercero (M3, amarillo) se sitúan en órbitas
medias. También puedes variar el ángulo de la órbita de cada satélite
(cuando el ángulo sea de 90° o 270°, la órbita será polar).
Recordemos que el radio de cada
órbita está escalado proporcionalmente al radio de la Tierra y la
velocidad del satélite correspondiente está determinada por ese radio,
pues han de mantenerse en MCU.
GUION DEL DESLIZADOR anima
# Calcula
los segundos dt transcurridos; para ello, suma un segundo si t1(1) < tt
Valor(tt,
t1(1))
Valor(t1,
Primero(TomaTiempo(), 3))
Valor(dt,
(t1(1) < tt) + (t1(1) − tt)/1000)
# Gira la
Tierra f radianes y mueve M1, M2 y M3
Valor(f, f + ω dt)
Valor(M1,
Rota(M1, ω1 dt, eje1))
Valor(M2,
Rota(M2, ω2 dt, eje2))
Valor(M3,
Rota(M3, ω3 dt, eje3))
Satélites geoestacionarios
Un caso particular e importante
de órbita circular es la órbita geoestacionaria.
Un satélite en esa órbita orbita en el plano del ecuador con el mismo
sentido y el mismo período que el de rotación de la Tierra (23.93 horas).
Visto desde la Tierra, el satélite ocupa en todo momento la misma posición
en la bóveda celeste.
Ese período determina la distancia al centro de la
Tierra (unos 42157 km, es decir, a una altura de 35786 km sobre la superficie terrestre).
Nota:
el conjunto de satélites geoestacionarios se conoce también como
Cinturón de Clarke, ya que fue Arthur C. Clarke (famoso escritor de
ciencia ficción, autor de 2001: Una odisea espacial) el primero en
proponer, en 1945, el uso de esta órbita.
De este modo, el satélite azul se encontrará en todo instante en el cénit
del mismo punto del ecuador (hemos elegido el cruce con el meridiano de
Greenwich, es decir, el punto de longitud 0° y latitud 0°). Para resaltar
esta sincronía, hemos representado un segmento entre el centro de la Tierra
y el satélite.
GUION DEL DESLIZADOR anima
# Calcula los segundos dt transcurridos; para
ello, suma un segundo si t1(1) < tt
Valor(tt, t1(1))
Valor(t1, Primero(TomaTiempo(), 3))
Valor(dt, (t1(1) < tt)
+ (t1(1) − tt)/1000)
# Gira la Tierra (f radianes) y mueve M1, M2 y M3
Valor(f, f + ω dt)
Valor(M1, Rota(M1, ω1 dt, eje1))
Valor(M2, Rota(M2, ω2 dt, eje2))
Valor(M3, Rota(M3, ω3 dt, eje3))
Órbita elíptica
No todas las órbitas de los satélites artificiales son circulares. Por
ejemplo, la órbita de Mólniya es una elipse de gran excentricidad
(0.74),
pensada para cubrir zonas de alta latitud, donde los satélites
geoestacionarios no alcanzan.
Pero, además, ninguna órbita planetaria o lunar es circular. Los satélites
artificiales necesitan corregir a menudo el módulo y dirección de su
aceleración para mantenerse en una órbita circular, algo que no pueden
hacer los cuerpos celestes.
Hasta ahora hemos supuesto que la
aceleración gravitatoria g se mantenía
constante. Pero un planeta M alrededor del
Sol (S), debido a las fuerzas gravitatorias
de otros cuerpos celestes, no mantiene siempre la misma distancia a él, es
decir, no sigue una órbita circular, sino elíptica (aunque la elipse nunca
es perfecta y varía ligeramente cada año).
Llamaremos ahora
g a la aceleración gravitatoria provocada
por la masa del Sol. Esta aceleración varía con el cuadrado
de esa distancia d:
donde G es la constante
de gravitación universal y mS es la masa del Sol.
Ahora, en
vez de usar esta fórmula para escalar convenientemente las distancias, y
posteriormente escalar el tiempo, crearemos una construcción mucho más
abierta, que facilite la observación de la esencia del movimiento para
diferentes datos iniciales. Es decir, en vez de escalar la pantalla para que
represente la realidad, imaginaremos que la realidad se ajusta a las
dimensiones de la pantalla. Dicho de otro modo, en aras de
facilitar la visualización, aquí representaremos solo
la idea de ese movimiento. Representamos la Tierra,
inicialmente, a 9 unidades del Sol, con aceleración inicial |g|
= 1 y velocidad inicial |v| = v0.
Y dejamos, como siempre, que el deslizador anima haga su trabajo.
Observa que ahora el módulo de
g no se mantiene constante (salvo para v0
= 3), ni tampoco el del módulo de
v. Observa también que en el
punto de la órbita más cercano al Sol (perihelio), al aumentar
g, se alcanza la máxima velocidad
v, y la
mínima en el punto más lejano (afelio).
GUION DEL DESLIZADOR anima
#
Calcula los segundos dt transcurridos; para ello, suma un segundo si t1(1)
< tt
Valor(tt,
t1(1))
Valor(t1,
Primero(TomaTiempo(), 3))
Valor(dt,
(t1(1) < tt) + (t1(1) − tt)/1000)
#
Registra el tiempo de la vuelta y el número de vueltas realizadas
# Añade la posición M al registro
para el rastro poligonal
Valor(regM, Añade(regM, M))
Apolo 15
En este video podemos ver al comandante David Scott,
en la misión Apolo 15 (año 1971), realizando un experimento retransmitido
a la Tierra, en los minutos
finales de la tercera y última actividad extravehicular en la Luna. En ese
experimento, se comprueba que un martillo y una pluma, siendo cientos de
veces más pesado el primero que la segunda, llegan al mismo tiempo a la
superficie lunar, como predijo Galileo.
Unos meses después, el informe científico preliminar de la NASA comenta,
con humor, este resultado:
(...) un resultado predicho por una teoría bien establecida, pero un
resultado, no obstante, tranquilizador teniendo en cuenta tanto el número
de espectadores que presenciaron el experimento como el hecho de que el
viaje de regreso a casa se basó críticamente en la validez de la teoría
particular que se estaba probando.
Macrae, N. (1992). John von Neumann. The
Scientific Genius Who Pioneered the Modern Computer, Game Theory, Nuclear
Deterrence, and Much More. Plunkett Lake Press.
Ortega, J. C. (2013). El universo para Ulises.
Planeta. [Lo recomiendo vivamente para los jóvenes (en edad o ánimo).]
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