Imagina una rueda que gira sobre
un plano horizontal, sin deslizarse. Un punto de su circunferencia
realizará una combinación de dos movimientos: el rectilíneo uniforme (MRU)
del centro de la rueda (punto blanco) y el circular uniforme (MCU) del
punto que gira alrededor de ese centro (punto verde). Esta combinación da
lugar al recorrido del punto de la rueda (punto naranja), un recorrido
curvo denominado cicloide
(también conocida como la Helena de la Geometría, por las muchas
discusiones físico-matemáticas que generó a lo largo de la historia).
Pulsa el botón
para ver esta
curva.
Como puedes observar, a partir de su definición, hay
dos consecuencias evidentes. La primera es que la cicloide una curva
periódica, pues, a cada vuelta de rueda, el punto comienza el mismo
trazado. La segunda es que su período es la longitud de la circunferencia
(2𝜋r, siendo r el radio de la rueda), pues
en cada vuelta la rueda recorre su perímetro. Varía el valor de r
para comprobarlo.
En la construcción, hemos
limitado la curva a los valores de un ángulo
β entre -2𝜋 y 2𝜋. Para
cada valor de
β, el ángulo del punto verde es -β -
𝜋/2. Así
que su posición es (recuerda lo que hemos visto sobre las coordenadas polares): (r ; -β -
𝜋/2). Para ese mismo
valor
β, el punto blanco se desplaza en horizontal, a una altura
r, la longitud del arco de rueda correspondiente:
β r.
Así que su posición es (β r, r). Por lo tanto, la
posición del punto naranja es:
(β r, r) +
(r ; -β - 𝜋/2)
Esta es la ecuación de la
cicloide. Con GeoGebra, podemos representar los dos arcos mostrados de la
curva como:
c(β) = (β r, r) + (r ; -β -
𝜋/2),
-2𝜋 ≤
β ≤ 2𝜋
o bien, usando el comando Curva:
Curva((β r, r) + (r ; -β -
𝜋/2),
β, -2𝜋, 2𝜋)
En las siguientes actividades
haremos uso de esta curva, pero invertida. Activa la casilla "Invierte"
para verla. En la cicloide invertida, la posición del punto naranja viene
dada, para el ángulo
β, por:
(β r, r) +
(r ; β + 𝜋/2)