Esta animación simula el
movimiento de un péndulo simple
en tiempo real, despreciando el peso de la varilla y el rozamiento.
La animación no hace uso de fórmulas (ni trigonometría ni
ecuaciones ni cálculo diferencial), solo realiza las variaciones
necesarias en los vectores que dirigen el movimiento.
Una masa, representada por el
punto azul, se encuentra en el extremo de la varilla, cuya posición
inicial puedes colocar en cualquier lugar de la parte izquierda de la
circunferencia, hasta una amplitud de 175º. (Se llama amplitud angular
al ángulo máximo que alcanza el péndulo respecto a su posición vertical.)
La animación varía en cada
instante tanto el vector velocidad v
(en rojo) como la posición M de la masa,
debido a la acción de la gravedad, cuya
aceleración constante está representada por el
vector g (en
línea verde discontinua). Este vector se puede descomponer como
suma de dos: uno perpendicular a la varilla (en verde,
gt) y otro en la dirección de la
varilla (este otro vector no interviene en el movimiento porque su efecto
queda anulado por la rigidez de la varilla o, en el caso de un hilo, por
la tensión del hilo).
Adecuamos el guion del deslizador
anima:
Valor(v,
vt + dt
gt)
Es decir, cada vez que pasa una
cantidad de tiempo dt muy pequeña, por definición de aceleración,
la velocidad aumenta dt gt.
-
Nota: vt
es un vector con el mismo módulo que v,
pero que conserva siempre la misma dirección perpendicular a la varilla;
es necesario cambiar v
por vt ya
que si sumásemos directamente v
con dt gt,
el vector v
perdería paulatinamente esa perpendicularidad, pues la dirección de
v un instante
antes ya no es perpendicular a la varilla un instante dt
después.
Observa que para amplitudes pequeñas (menores de 10º, aproximadamente),
el período T es prácticamente constante e igual al período T0
del movimiento armónico simple (MAS).
El resultado se ajusta bastante bien a la realidad, incluso para
amplitudes angulares grandes, para las que no es buena la aproximación del
movimiento pendular al de un movimiento armónico simple, como puedes
comprobar. A partir de 130º, el cálculo del período teórico conlleva
trabajar con números demasiado elevados, por lo que GeoGebra no lo puede
calcular con suficiente precisión, mientras que el período de la animación
sigue ajustándose bastante bien al modelo ideal. Para amplitudes mayores de
175º, el período seguiría aumentando y tiende a infinito al acercarse la
amplitud a 180º.
Atención: puedes detener la animación en cualquier momento, pero si lo
haces deberás pulsar el botón Reinicia para actualizar el contador de
tiempo, en caso contrario el péndulo puede "despendolarse".
GUION DEL DESLIZADOR anima
# Calcula los segundos dt transcurridos; para
ello, suma un segundo si t1(1) < tt
Valor(tt, t1(1))
Valor(t1, Primero(TomaTiempo(), 3))
Valor(dt, (t1(1) < tt) + (t1(1) - tt)/1000)
# Mueve M
Valor(aux, vt)
Valor(v, vt + dt gt)
Valor(M, M + dt v)
# Registra el tiempo del período y el número de
oscilaciones completas
Valor(reg, Si(x(aux) < 0 ∧ x(vt) >
0, Añade(t, reg), reg))
Valor(osci, Si(x(aux) < 0 ∧ x(vt) > 0, osci + 1, osci))