Esta
animación compara el movimiento de caída de masas por una cicloide, una
recta y una circunferencia, en tiempo real, despreciando el
rozamiento. La animación no hace uso de fórmulas (ni trigonometría ni
ecuaciones ni cálculo diferencial), solo realiza las variaciones necesarias
en los vectores que dirigen el movimiento.
Supón que quieres que una bola
vaya de un punto elevado H hasta otro a menor altura P (fuera de la vertical
de H) en el menor tiempo posible. En principio, tal vez pienses que seguir
la línea recta, al ser la trayectoria más corta, será también la más rápida.
Es decir, seguir el plano inclinado de H a P (línea naranja). Pues no.
¿Qué
curva debe seguir, entonces? Esta curva se llama braquistócrona
,
y tiene una historia muy curiosa. A finales del siglo XVII, el matemático
suizo Johann Bernoulli
lanza un desafío a los matemáticos más importantes de la época, dando seis
meses de plazo para resolver dos complicados problemas. Cumplido el plazo,
solo Leibniz
había resuelto uno de los dos, y por medios matemáticamente penosos, así que
se amplió el plazo otros seis meses.
Casi pasado el año, uno de los
problemas seguía sin ser resuelto, y el otro esperaba aún una solución
elegante y referida al caso general. Fue entonces cuando Newton
fue informado de ambos problemas. Newton tardó una noche en resolver los dos
problemas y publicó las soluciones en forma anónima. Al conocerlas Bernoulli,
este declaró estar seguro de que las había escrito Newton. Cuando le
preguntaron cómo lo sabía, respondió con una locución latina (Tanquam ex
ungue leonem) que desde entonces se hecho célebre: Por sus garras
se conoce al león. Bernoulli quería decir que solo Newton podría
resolver tales problemas con el estilo claro, conciso y brillante
característico de este genio.
Pues bien, como ya habrás supuesto, uno de los
dos problemas era justamente hallar la curva braquistócrona, la curva
de descenso más rápido. Y la solución no es otra, una vez más, que la
cicloide invertida. Concretamente, la que tiene al punto más elevado (H)
como extremo superior, tal como muestra la construcción.
En la construcción,
puedes variar la posición del punto menos elevado (P). La cicloide será
siempre la curva de descenso más veloz para ir desde H hasta P. Hemos
añadido la circunferencia que pasa por H, S y P, pues Galileo
creía que la braquistócrona debería ser esa circunferencia (línea verde),
pero se equivocó (aunque no por mucho) como puedes comprobar en la
construcción. En realidad, el punto verde realiza un movimiento pendular,
como ya hemos visto, cuyo período de oscilación es algo mayor que el de la
cicloide. Lo que resulta muy evidente es que la línea recta está muy lejos
de ser la mejor opción (aunque mejora cuanto mayor sea su pendiente, es
decir, cuanto más próximo se encuentre P de H).
GUION DEL DESLIZADOR anima
# Calcula los segundos dt transcurridos; para ello,
suma un segundo si t1(1) < tt
Valor(tt, t1(1))
Valor(t1, Primero(TomaTiempo(), 3))
Valor(dt, (t1(1) < tt) + (t1(1) - tt)/1000)
# Mueve M, A y B
Valor(v, vt
+ dt gt)
Valor(vA,
vtA + dt gtA)
Valor(vB,
vtB + dt gtB)
Valor(M, M +
dt v)
Valor(A, A +
dt vA)
Valor(B, B +
dt vB)