Esta animación simula el movimiento
de una masa cayendo por una superficie esférica
en tiempo real, despreciando el rozamiento. La animación (casi) no
hace uso de fórmulas (ni trigonometría ni ecuaciones de movimiento ni
cálculo diferencial), solo realiza las variaciones necesarias en los
vectores que dirigen el movimiento.
Una masa, representada por el
punto azul M, se encuentra en la parte superior
de una esfera de radio r (que incluye la distancia del centro de
masas a la superficie esférica), es decir, en su semiesfera superior. La
animación varía en cada instante tanto el vector velocidad
v (en rojo) como la posición
M de la masa, debido a la acción de la gravedad,
cuya aceleración constante está representada
por el vector g (en
línea verde discontinua).
El movimiento seguido por
M se compone de dos tramos. En el primero (que
llamaré tramo1), cae por la circunferencia de la esfera en un
movimiento circular (acelerado). Es el movimiento que seguirá el punto
MM en el guion del deslizador anima. En el segundo tramo, se despega
de la superficie esférica para caer en un movimiento de caída libre
con la velocidad inicial que tenga en el instante de separación.
El vector
g se puede descomponer como suma de dos:
uno tangente a la esfera, gt, y otro
perpendicular a él, gn. Este último
vector no interviene en el movimiento, como hemos visto en la actividad
anterior del plano inclinado, pero es clave para determinar en qué punto la
masa se despega de la esfera y diferenciar así ambos tramos.
Recuerda que, tal como hemos
visto en la actividad de la "aceleración centrípeta del MCU", para que la
masa no se despegue de su recorrido circular es necesario aplicar una
aceleración mayor o igual que esa aceleración centrípeta, cuyo módulo valía
v2/r, siendo
v la velocidad tangencial. La condición
entonces para permanecer en el tramo1 es:

Esto es todo lo que necesitamos para escribir el guion del deslizador
anima. Cuando el módulo de gn sea
menor que el de la aceleración centrípeta, esa componente de la gravedad
será insuficiente para mantener a la masa pegada a la esfera, así que esta
abandonará el movimiento circular para iniciar, en un segundo tramo, un
movimiento de caída libre con velocidad inicial igual a la que llevaba en el
momento de despegarse.
En la construcción, hemos centrado la esfera en el origen de coordenadas.
Puedes colocar la posición inicial en cualquier punto del arco del primer
cuadrante.
- Nota: En realidad, ese arco no corresponde a
90º, sino a 89.99º. El motivo es impedir que elijas 90º como posición
inicial (el "polo norte" de la esfera), ya que en tal caso la masa estaría
en equilibrio (inestable), pues gn
sería nula y no comenzaría el movimiento.
Si llamamos h0 a la altura de la posición inicial,
puedes comprobar en la construcción que el tramo1 siempre corresponde a
la tercera parte de h0. No importa la masa, el radio
de la esfera, o incluso el valor de la gravedad: la masa (sin rozamiento) se
mantendrá pegada a la esfera siempre durante 1/3 de la altura inicial.
-
Nota: Para demostrarlo, activa la casilla
Esquema. La masa ha descendido una altura h desde su
posición inicial, situada a una altura h0. Observa que
el triángulo rectángulo amarillo, de hipotenusa |g|
y cateto |gn|
es semejante al verde, de hipotenusa r y cateto h0−h.
Así que |gn|/|g|
= (h0−h)/r.
Sabemos que, en el momento de despegarse, se ha
de cumplir |gn|
= v2/r.
Además, como el módulo de la velocidad (recuerda que es la misma que en la
caída libre) era
tenemos que |gn|
= 2 |g|
h/r, es decir, |gn|/|g|
= 2h/r. Igualando las dos igualdades anteriores, (h0−h)/r
= 2h/r, de donde h = h0/3.
GUION
DEL DESLIZADOR anima
#
Calcula los segundos dt transcurridos; para ello, suma un segundo si t1(1)
< tt
Valor(tt,
t1(1))
Valor(t1,
Primero(TomaTiempo(), 3))
Valor(dt,
(t1(1) < tt) + (t1(1) - tt)/1000)
# Mueve
MM y M (r es la distancia del centro de M al centro de la esfera)
Valor(tramo1, abs(M) < r)
Valor(v,
Si(tramo1, vt + dt gt, v + dt g))
Valor(MM,
MM + dt v)
Valor(M,
Si(tramo1, MM, y(M + dt v)>0, M + dt v, Interseca(Recta(M, M + v), EjeX)))
IniciaAnimación(anima, y(M)>0)