Punto fijo O

Circunferencia

Punto fijo I

Simetría central

Mediatriz

Punto medio

Perpendicular

Paralela

Inversión

Si fijamos un punto O del plano, 
podemos considerar la distancia (euclídea) 
del resto de los puntos a O. 
Denotaremos OP a la distancia de O a P.

Al fijar otro punto I distinto de O, establecemos 
una DIRECCIÓN, una ORIENTACIÓN O→I y una RECTA r.
Tomaremos la distancia OI como UNIDAD.
Además, dos puntos de la recta limitan una semicircunferencia.

Dado un punto A de la recta, en esta solo existe 
otro punto A' a la misma distancia de O que A

Dados dos puntos distintos A y B, podemos 
encontrar todos los que equidistan de ellos.

Intersecando la mediatriz con la recta r,
obtenemos el punto medio

La mediatriz nos permite 
trazar perpendiculares
(basta trazar la
circunferencia con 
centro P a un punto
cualquiera de r)

Con dos perpendiculares
obtenemos una paralela
por P a r

Con la circunferencia y la perpendicular
obtenemos la inversión

Si A=O, tomamos A'=O

Si B=A, tomamos A como punto medio

El punto O no tiene inverso.
I e I' son inversos de sí mismos.
El inverso del inverso de A es A.

Los puntos que equidistan de O
conforman una CIRCUNFERENCIA

$\textsf{\LARGE O}$

$\textsf{\LARGE I}$

$\textsf{\LARGE r}$

$\textsf{\LARGE I'}$

$\textsf{\LARGE A}$

$\textsf{\LARGE B}$

$\textsf{\LARGE A'}$

$\textsf{\LARGE M_{AB}}$

$\textsf{\LARGE P}$

$\textsf{\LARGE A^{-1}}$

$\textsf{\LARGE P}$

Un punto P está en la recta r 
si cumple alguna de estas igualdades:
OI = OP + PI  (P está entre O e I)
OP = OI + IP  (I está entre O y P)
PI = PO + OI  (O está entre P e I) 

op1 = true
op2 = false
op3 = false
op4 = false
op5 = false
op6 = false
op7 = false
op8 = false
op9 = false
O = (-1.57, 1.72)
I = (0.99, 1.28)
r = Line(O, I)
I' = Mirror(I, O)
A = Point(r)
B = Point(r)
anima1 = 0.044 (slider from 0 to 1)
c4 = Circle(O, A)
c5A = Circle(A, B)
c5B = Circle(B, A)
c9 = Circle(O, I)
A' = Intersect(c4, r, 2)
F = Intersect(c5A, c5B, 1)
J = Intersect(c5A, c5B, 2)
K = Point(c4)
M = Midpoint(A, B)
r5 = Line(F, J)
n = Segment(O, K)
P_1 = (2.580092482807683, 2.44326535451743)
Q1 = Point(r)
c7 = Circle(P_1, Q1)
Q0, Q2 = Intersect(c7, r)
q = LineBisector(Q0, Q2)
s = OrthogonalLine(P_1, r)
t = OrthogonalLine(P_1, s)
scOA = Semicircle(O, A)
C = Intersect(c9, scOA, 1)
f = OrthogonalLine(C, r)
r6 = LineBisector(A, B)
g = OrthogonalLine(A, r)
G = If(abs(A - I) > abs(I - O), Intersect[c9, g, 1], Intersect[c9, g, 2])
h = Segment(O, G)
i = OrthogonalLine(G, h)
D = If(abs(A - O) > abs(I - O), Intersect[f, r], If[abs(A - O) ≟ abs(I - O), A, Intersect[i, r]])
j = Segment(G, D)
c = Semicircle(O, D)
d = Circle(O, I)
P: (2.5, 3.25)
c3 = Semicircle(O, I)
anima3 = 0.784 (slider from 0 to 1)
anima4 = 0.359 (slider from 0 to 1)
anima5 = 0.5235 (slider from 0.3 to 0.85)
s3a = Sequence(O + ((k * anima3) * (I - O) / abs(I - O)), k, 1, 50)
s3b = Sequence(O + ((k * anima3) * (I - O) / abs(I - O)), k, -50, -1)
s1 = Sequence(Circle[O, k + (anima1 * abs(P - O))], k, -5, 20, 0.5)
A1: O + (anima1 * (P - O))
H = Point(r5, anima5)
k = Segment(A, H)
l = Segment(B, H)
K2 = Point(Circle[M, A])
m = Segment(K2, M)
c6 = Circle(M, A)
K3 = Point(c7)
p = Segment(P_1, K3)
anima8 = 0.076 (slider from 0 to 1)
L = Intersect(r, s)
s8 = Sequence(Segment[P_1 + ((k * anima8) * (I - O) / abs(I - O)), L + ((k * anima8) * (I - O) / abs(I - O))], k, -50, 50)
a = PathParameter(A)
anima9 = 0.3 (slider from 0 to 1)
a1 = Segment(O, A1)
b = Segment(Q1, P_1)
e = Segment(P_1, Q2)
s4a = Sequence(Point[c4, Mod[anima4 + k, 2] / 2], k, 0, 2, 0.1)
s4b = Sequence(Point[d, Mod[anima4 + k, 2] / 2], k, 0, 2, 0.1)
c2 = Circle(O, A)