En las actividades I a V hemos visto la relación entre una función F y la función área de su función derivada F'.

Pero el conocimiento de esta relación no resuelve dos problemas:

1. Dada la expresión algebraica de una función F, ¿cuál es la expresión algebraica de su función derivada? Solo conociéndola podremos averiguar la ecuación de la recta tangente en cualquier punto.

2. Dada la expresión algebraica de una función f, ¿cuál es la expresión algebraica de una de sus funciones primitivas? Solo conociéndola podremos averiguar el área entre la curva y el eje X.

La respuesta general a la primera pregunta requiere el aprendizaje de una tabla de derivadas (tabla que recoge las funciones derivadas de las funciones elementales) y de unas reglas de derivación (procedimientos para derivar cualquier operación con funciones elementales, incluida la composición). Con ese conocimiento, encontrar la función derivada es un simple ejercicio de aplicación de esas reglas, algo mecánico. Por eso los ordenadores las realizan con la misma precisión y seguridad que multiplicar dos números de cuatro cifras.

En esta actividad, por ejemplo, se comprueba, sin usar la tabla de derivadas ni las reglas de derivación, que la función derivada de una cuadrática F(x) = a (x - x₀)² + y₀ es exactamente F'(x) = 2a (x - x₀).

La respuesta general a la segunda pregunta es mucho más complicada. No siempre es posible encontrar esa expresión de una primitiva. Incluso en los casos que es posible, muchas veces se requieren técnicas complejas para lograrlo. Sin embargo, a partir de la tabla de derivadas podemos crear una tabla de primitivas.

Por ejemplo, sabemos que la derivada de una recta F(x) = m x + n es su pendiente F'(x) = m, así que las primitivas de una función constante f(x) = m son las rectas F(x) = m x + C (con C constante).

Con la tabla de primitivas y algunos métodos ingeniosos, podemos recuperar muchas primitivas. De nuevo, actualmente los ordenadores facilitan mucho este pesado trabajo de cálculo simbólico.

En el caso de que no se pueda encontrar una función primitiva, se usan métodos de aproximación numérica para calcular el área como suma de muchas varillas (de forma diversa: rectángulos, trapecios, cuadráticas...) muy finas. Esto se conoce como integración numérica.

En esta actividad veremos, aplicados a un sencillo ejemplo, estos dos problemas de cálculo simbólico.

Preguntas

1. La función F (verde) es una parábola, de la que vemos representada solo el arco correspondiente al intervalo [0, 11]. Observa su gráfica y su expresión algebraica. ¿Cuál es el vértice de esta parábola?

2. ¿Es este vértice un extremo relativo? ¿De qué tipo (máximo o mínimo)? ¿Qué valor toma la función derivada F' (violeta) en el punto correspondiente (es decir, en esa misma abscisa)?

3. ¿Cuál es el recorrido o rango de F?

4. ¿Cuál es la Tasa de Variación Media de F?

5. Observa la gráfica de F'. ¿Qué pendiente tiene? ¿Cuál es su ordenada en el origen? Por tanto, ¿cuál es la ecuación de la función derivada F'? Ve al menú "Primera derivada" y activa la casilla Función derivada para comprobarlo.

6. Hemos encontrado la expresión algebraica de la derivada de F, sin necesidad de conocer las reglas de derivación, porque es una recta. Si fuera una curva, tendríamos que usar la tabla de derivadas y las reglas de derivación, que en este caso nos aseguran que la derivada de la expresión F(x) = 0.2(x - 5)² - 3 es F'(x) = 0.4(x - 5). ¿Equivale esta expresión a la que aparece en la aplicación?
    

7. Ahora intentaremos el proceso inverso, es decir, a partir de F' intentar descubrir la expresión primitiva de F (que suponemos desconocida). Este proceso se conoce como integración. Esto es mucho más difícil, así que vamos a suponer que contamos con la pista añadida de que la función primitiva es una parábola. Sabemos que F' se anula en x = 5. ¿En qué abscisa debe tener entonces la parábola F su vértice? ¿Por qué?

8. Ya sabemos que la expresión algebraica de la parábola primitiva debe ser de la forma F(x) = a (x - 5)² + constante. ¿Por qué?

9. Solo nos queda averiguar el valor del coeficiente a. Para ello usaremos la función área. El área del primer triángulo que forma F' con el eje X es de 5 unidades. ¿Por qué? Así que la función área alcanzará el valor -5 al llegar a x = 5. ¿Por qué? Compruébalo con la casilla Función área del menú Integral.

10. Pero entonces, esto significa que F(5) - F(0) = -5. ¿Por qué?

11. Ahora bien:
    
     F(5) - F(0) = [a (5 - 5)² + constante] - [a (0 - 5)² + constante] = -25 a
    
    Así que -25a = -5, y por lo tanto a = 0.2, que es lo que queríamos hallar. Observa que la "constante" de la primitiva no importa. ¿Por qué?

Nota: Las primitivas de f(x) = 0.4(x - 5), han resultado ser F(x) = 0.2(x-5)² + constante. Pero hemos encontrado estas primitivas usando la función área, es decir, resulta que normalmente tenemos que hallar una primitiva para conocer el área y aquí hemos recurrido al área para encontrar una primitiva. ¡Esto no tiene sentido! Por eso es necesario poder encontrar una primitiva sin recurrir a la función área. Es decir, es necesario disponer de una tabla de primitivas y de métodos de integración.