Supongamos que dos funciones F y G tienden a 0 al acercarse a un cierto valor x=c. Este teorema aprovecha la información sobre la relación de sus derivadas (es decir, de la inclinación con la que se acerca cada una al punto (c,0)) para averiguar cuál es la relación entre sus alturas cuando ambas tienden a 0.

La hipótesis de este teorema es que contamos con dos funciones F y G que tienen límite 0 en c y tales que existe el límite, cuando x tiende a c, del cociente de sus derivadas F'(x)/G'(x).

La tesis del teorema es que, en tal caso, también existe el límite (cuando x tiende a c) del cociente F(x)/G(x) y ambos límites coinciden.
 

Este teorema es una consecuencia del teorema de Cauchy.

La regla de l'Hôpital es de gran ayuda para deshacer indeterminaciones del tipo 0/0 en el cálculo de límites. Además, aunque aquí no lo demostremos, también se cumple la regla de l'Hôpital para las indeterminaciones del tipo ∞/∞, y también cuando el propio valor de c es ±∞.

Por si fuera poco, ciertas propiedades de los límites nos permiten convertir cualquier otro tipo de indeterminación (0 ∞, ∞-∞, ∞⁰, 0⁰ y 1^∞) en uno de esos dos tipos.

Preguntas

1. Antes de demostrar la regla de l'Hôpital, vamos a ver por qué es tan útil para deshacer indeterminaciones. Observa la escena, que encuadra un entorno del punto (4,0). Tanto el límite de la función F (verde) como de la función G (roja) es 0 en c = 4. ¿Por qué?

2. Por tanto, si queremos hallar el límite del cociente F(x)/G(x), cuando x tiende a 4, tropezaremos con una indeterminación del tipo 0/0. Ahora bien, las funciones derivadas de F y G son, respectivamente, F' (violeta) y G' (naranja). ¿Tienen ellas también límite 0 cuando x tiende a 4?

3. ¿Cuál es el límite, cuando x tiende a 4, de F'(x) (violeta)? Mueve el punto azul para comprobarlo.

4. ¿Cuál es el límite, cuando x tiende a 4, de G'(x) (naranja)?

5. El límite, cuando x tiende a 4, de F'(x)/G'(x) es k = 3.6. ¿Por qué? ¡Hemos resuelto la indeterminación, gracias a la regla de l'Hôpital! Ya que, según este teorema, el límite cuando x tiende a 4 del cociente F(x)/G(x) debe valer también 3.6.

6. Además, si diese la circunstancia (relativamente frecuente) de que tanto F' como G' también tendiesen a 0 al aproximarse a c = 4, la regla de l'Hôpital nos podría seguir ayudando, pues el límite del cociente F'(x)/G'(x) también será el mismo que el de F''(x)/G''(x), etc. Es decir, podemos aplicar la regla tantas veces como queramos, siempre que se cumpla la hipótesis.
   
   Por ejemplo, aplica la regla dos veces seguidas para comprobar que 1/2 es el límite, cuando x tiende a 4, del cociente de funciones (e^x-4 - x + 3)/(x - 4)².

7. Ahora demostraremos el teorema. Observemos en primer lugar que, al usar límites, no importan para nada los valores que alcancen F y G exactamente en c = 4, solo en su entorno. ¿Por qué?

8. Como los valores F(c) y G(c) no importan, los suponemos iguales a 0 para facilitar la demostración. Como por hipótesis sabemos que existen F'(x) y G'(x) en las proximidades de c, ambas funciones son derivables en un entorno de c (excepto, tal vez, en c, pero eso no importa).
   
   Tomemos pues un x cercano a c (vamos a elegirlo a la derecha de c, pero igualmente podríamos elegirlo a la izquierda para encontrar el otro límite lateral). Aplicando el teorema de Cauchy a F y G en el intervalo [c, x], tenemos que debe existir un valor x₀ en (c, x) tal que m_F G'(x₀) = m_G F'(x₀).
   
   Esa igualdad es equivalente a esta:  F'(x₀)/G'(x₀) = F(x)/G(x). ¿Por qué? (Recuerda que F(c)=G(c)=0.)

9. Ahora basta aplicar límites a la igualdad anterior, es decir, hacer tender x a c (con lo cual x₀ también tiende a c) para obtener la tesis del teorema. ¿Por qué?