La hipótesis de este teorema es que contamos con dos funciones F y G que son continuas en un intervalo cerrado [a,b] y derivables en el intervalo abierto (a,b).

La tesis del teorema es que, en tal caso, existe algún valor x en (a,b) para el cual m_F G'(x) = m_G F'(x).

Las constantes m_F y m_G son las pendientes medias (tasas de variación media) de F y G en [a,b].
 

Este teorema es una consecuencia del teorema de Rolle, una generalización del teorema del valor medio y es clave para demostrar la Regla de l'Hôpital.

Preguntas

1. Sea F una función continua en [a,b] y derivable en (a,b). Elijamos la función G(x) = x - a, que también es continua en [a,b] y derivable en (a,b). ¿Cuánto vale en este caso m_G? ¿Cuánto vale G'(x)?

2. Aplicando a F y G el teorema de Cauchy, obtenemos que tiene que existir un valor x en el intervalo (a,b) tal que m_F G'(x) = m_G F'(x). ¿Es esta la tesis del teorema del valor medio? ¿Por qué? ¿Es entonces el teorema del valor medio un caso particular del teorema de Cauchy?

3. Las funciones F (verde) y G (naranja) de la escena son continuas en el intervalo [0,11] y derivables en (0,11). ¿Cuánto valen en este caso m_F y m_G?

4. Si los valores de cada función los multiplicamos por la pendiente media de la otra función y los restamos, obtenemos la gráfica de la función azul (que llamaremos H, una particular combinación lineal de F y G):
   
   H(x) = m_G F(x) - m_F G(x)
   
   Esta función coincide con la obtenida para demostrar el teorema del valor medio: H(x) = F(x) - m_F (x-a) si elegimos G(x) = x - a. ¿Por qué?

5. ¿Cuál es el valor general de H en a? ¿Y en b?

6. ¿Cuáles son los valores concretos H(0) y H(11) en la escena?

7. ¿Cumple H la hipótesis del teorema de Rolle? ¿Por qué?

8. Aplicando el teorema de Rolle a H, obtenemos que tiene que existir al menos un valor de x en (a,b) para el cual se cumple que H'(x) = 0. Esto coincide con la tesis del teorema de Cauchy, que es lo que queríamos demostrar. ¿Por qué?

9. Varía las expresiones de F y G para proponer otros ejemplos en los que se verifique el teorema de Cauchy.

10. Podríamos pensar que hay una demostración del teorema de Cauchy todavía más rápida y mucho más evidente. Aplicando el teorema del valor medio a F y a G, obtenemos F'(x) = m_F y G'(x) = m_G lo que parece implicar directamente la tesis del teorema de Cauchy. ¿Por qué?
    
    Ahora bien, observa que hemos hecho trampa, jugando con las letras. El valor x para el cual se cumple F'(x) = m_F no tiene por qué ser el mismo para el cual se cumple G'(x) = m_G. Así que, en realidad, al aplicar el teorema del valor medio a F y G por separado obtendríamos que existen x₁ y x₂ en (a,b) tales que F'(x₁) = m_F y G'(x₂) = m_G lo que por sí solo no demuestra el teorema de Cauchy.