La hipótesis de este teorema es que contamos con una función F que es continua en un intervalo cerrado [a,b], derivable en el intervalo abierto (a,b) y cuyos valores en sus extremos F(a) y F(b) coinciden.

La tesis del teorema es que, en tal caso, la función derivada se anula en algún punto del intervalo (a,b).

Observa que como el intervalo es cerrado, tiene sentido hablar tanto de F(a) como de F(b). Veremos que, intuitivamente, este enunciado es muy sencillo. Además, es fácil de demostrar usando el teorema de Weierstrass.

El teorema de Rolle nos garantiza que, en esas condiciones, debe existir al menos un cierto valor x del intervalo (a,b) para el cual F'(x) = 0. Pero solo nos asegura que tiene que haber ese valor, no nos dice nada sobre su cómo encontrarlo.

Preguntas

1. La función F (verde) es continua en el intervalo [0,11]. ¿Cumple las hipótesis del teorema de Rolle? ¿Por qué?

2. ¿Verifica la función F la tesis del teorema de Rolle? ¿Por qué?

3. Intuitivamente, el teorema viene a decir que si partimos y llegamos a la misma altura (F(a)=F(b)), es porque o bien hemos mantenido esa altura constante (recta horizontal en la escena) o bien hemos subido para luego bajar (hemos alcanzado un máximo relativo) o viceversa (primero hemos bajado para luego subir, mínimo relativo). ¿Por qué cualquiera de estos comportamientos garantiza la tesis del teorema? ¿Cuál de ellos es el que se muestra en la escena?

4. La demostración del teorema es sencilla. Como F es continua en el intervalo cerrado [a,b], alcanza su valor máximo y mínimo absolutos en ese intervalo (teorema de Weierstrass). Esos valores son los que limitan la banda horizontal que ves en la escena.
   
   Si cualquiera de los dos extremos absolutos está en (a,b), es decir, en el interior del intervalo, ese extremo absoluto también será relativo, y por tanto su derivada valdrá cero, como se quería demostrar. ¿Cuál es ese valor en la escena? ¿Se cumple la tesis del teorema de Rolle en él?

5. Falta por ver, sin embargo, el caso en que los dos extremos absolutos se encontrasen en los extremos del intervalo, a y b. Pero entonces, como F(a) = F(b), los valores máximo y mínimo absolutos de F serían iguales, por lo que F sería una función constante en [a,b]. En este caso, también se cumpliría la tesis del teorema de Rolle. ¿Por qué?

6. Varía la expresión de la función para proponer otros ejemplos en los que se verifique el teorema de Rolle.

7. Introduce la expresión de F(x):

          5 - abs(x - 5.5) / 2

 

(puedes copiar la expresión desde aquí con Ctrl+C y pegarla con Ctrl+V). Observa que toma valores iguales en los extremos del intervalo [0,11] y, sin embargo, no cumple el teorema de Rolle. ¿Por qué no se verifica la tesis? ¿Qué hipótesis no se cumple?