La hipótesis de este teorema es que contamos con una función F que es continua en un intervalo cerrado [a,b].

La tesis afirma que, en tal caso, existe al menos un máximo y un mínimo absolutos que la función alcanza en [a,b].

Es decir, existen en [a,b] al menos dos valores m y M tales que F(m) ≤ F(x) ≤ F(M) para todo valor x de [a,b].

Preguntas

1. La función F es continua en el intervalo [0,11]. La banda horizontal recorre el rango de F, en este caso el intervalo [1, 5]. ¿Qué puntos de la gráfica determinan esos valores? ¿A qué valores del intervalo [0,11] corresponden?

2. Se puede realizar una demostración de este teorema usando el mismo método de intervalos encajados que se esbozó en el teorema de Bolzano. Por ejemplo, para demostrar que alcanza el máximo, tomamos el valor medio del intervalo (5.5). Pueden suceder dos cosas, que el máximo se alcance en [5.5, 11] (con lo cual ya estaría demostrado) o que no. Supongamos que no. Volvemos a dividir en dos el intervalo restante [0, 5.5] y repetimos el proceso, convergiendo inexorablemente al valor 5 en donde la función alcanza el máximo.
   
   Escribe la lista de los cinco intervalos siguientes de la sucesión de intervalos encajados que vamos obteniendo en el caso de F: [0, 11], [0, 5.5], [2.25, 5.5], ...

3. Observa que el teorema dice que, si F es continua en el intervalo [a,b], entonces alcanza el máximo y el mínimo absolutos en ese intervalo, pero no ofrece información sobre cuáles son.
   
   ¿Cómo los podemos calcular? Para ello, debemos considerar tres clases de puntos y comparar los valores que alcanza F en ellos:
   
   i) Los extremos a y b.
   ii) Las soluciones de igualar la derivada a 0 (puede tratarse de un extremo relativo no anguloso).
   iii) Los valores de (a,b) para los que no exista derivada de F (puede tratarse de un extremo relativo anguloso).
   
   Los extremos absolutos deben estar en alguna de estas tres clases.
   
   En nuestro ejemplo, ¿a qué tipo pertenecen los extremos absolutos de F?

4. Cambia la expresión de la función F para proponer otros ejemplos en los que se verifique el teorema de Weierstrass.

5. Escribe como expresión de la función F:

   1/x

   (Puedes copiar la expresión usando Ctrl C y pegarla en el casilla de la función con Ctrl V.) Aparecerá la gráfica de la función F(x) = 1/x, que no tiene máximo absoluto en el intervalo [0,11]. ¿Falla el teorema de Weierstrass? ¿Por qué? ¿Qué hipótesis no se cumple?