Una sucesión puede ser convergente, es decir, tener límite. Por ejemplo, {5-1/n} converge a 5. Esto significa que, a partir de cierto término, todos los términos están tan cerca de 5 como deseemos.

Una sucesión no convergente (divergente) puede no estar acotada, al tender a +∞ o -∞. Por ejemplo, {(n²+1)/n} no está acotada porque tiende a +∞: no existe un término mayor (o igual) a todos los demás.

Si una sucesión es convergente, entonces está acotada (es decir, todos sus términos se encuentran entre dos valores). Pero el recíproco no es cierto: una sucesión puede estar acotada y no converger a un número. Por ejemplo, la sucesión alternante (cada término es del signo opuesto al anterior) {(-1)ⁿ} = {-1, 1, -1, 1, -1, 1, ...} entra un ciclo de orden 2 (toma dos valores).

En esta actividad exploraremos el comportamiento de las sucesiones generadas al realizar un proceso iterativo perfectamente determinado por una función concreta. Veremos que a veces convergen o entran en un ciclo (comportamiento estable) y a veces tienden al infinito (comportamiento inestable).

Pero en otros casos no sucede nada de eso: la sucesión adquiere un comportamiento caótico, impredecible con exactitud, aunque acotada en un intervalo. Esto se denomina caos determinista y una de sus características principales es la de ser muy sensible a cualquier mínima variación del punto de partida (hipersensibilidad a las condiciones iniciales). Otra característica de tales sucesiones es la de generar una estructura fractal.

El estudio del caos determinista ha resultado ser de gran utilidad, ya que se han identificado muchos procesos de tipos muy variados que se ajustan a este modelo: crecimiento animal y vegetal, variación de poblaciones de animales, tiempo atmosférico, terremotos y erupciones volcánicas, la genética, comportamiento de gases y líquidos, conexiones entre organizaciones humanas, fluctuaciones de la bolsa, el aparato circulatorio, el sistema solar ...

Preguntas

1. El procedimiento para crear la sucesión es el siguiente. Partimos de 0 y calculamos cada nuevo término elevando al cuadrado el término anterior y sumando la abscisa (c) del punto azul. Obtenemos así la sucesión {0, c, c² + c, (c² + c)² + c, ((c² + c)² + c)² + c, ...}. Los trazos rojos indican el salto de un término al siguiente.
   
   Cuando c = -0.6, la sucesión converge a un límite (punto amarillo). ¿Qué significa esto?

2. Mueve el punto azul hasta que el valor de c sea -1.81. (Puedes usar las teclas flecha para mover el punto azul con precisión, después de seleccionarlo.)
   
   Pulsa el botón Transformación. Verás una animación en que se representa cómo se obtiene cada término a partir del anterior. Intenta describir qué significado tiene cada uno de los elementos que aparece en la animación: las circunferencias concéntricas grises, el arco verde y el vector naranja.

3. ¿Qué ocurre cuando c = 0?  ¿Por qué? ¿Cómo se denomina a este tipo de sucesión?

4. ¿Qué ocurre cuando c = -2? ¿Por qué? ¿Cómo se comportan los términos de la sucesión?

5. ¿Qué ocurre cuando c es menor que -2? ¿Por qué? ¿Cómo se denomina a este tipo de sucesión?

6. ¿Qué ocurre cuando c = 0.25? ¿Cómo se comportan los términos de la sucesión?

7. ¿Qué ocurre cuando c es mayor que 0.25? ¿Cómo se denomina a este tipo de sucesión?

8. ¿Entre qué valores ha de estar c para que la sucesión sea acotada? ¿Y para que tenga límite?

9. ¿Qué ocurre cuando c = -1? ¿Por qué? ¿Cómo se denomina a este tipo de sucesión? ¿De qué orden es el ciclo en que entra esta sucesión?

10. Activa la casilla f₁(x) = x² + x. ¿Cuáles son las raíces de esta función? ¿Por qué si c es una raíz de esta función entonces la sucesión tiene que entrar en un ciclo?

11. ¿Qué ocurre cuando c = -1.755? ¿De qué orden es el ciclo en que entra esta sucesión?

12. Desactiva la casilla f₁(x) = x² + x. Activa la casilla f₂(x) = f₁(x)² + x. ¿Cuáles son las raíces de esta función? ¿Por qué si c es una raíz de esta función entonces la sucesión tiene que entrar en un ciclo?

13. ¿Qué ocurre cuando c = -1.311? ¿De qué orden es el ciclo en que entra esta sucesión?

14. ¿Qué ocurre cuando c = -1.941? ¿De qué orden es el ciclo en que entra esta sucesión?

15. Desactiva la casilla f₂(x) = f₁(x)² + x. Activa la casilla f₃(x) = f₂(x)² + x. ¿Cuáles son las raíces de esta función? ¿Por qué si c es una raíz de esta función entonces la sucesión tiene que entrar en un ciclo?

16. ¿Qué ocurre cuando c = -1.625? ¿De qué orden es el ciclo en que entra esta sucesión?

17. ¿Qué ocurre cuando c = -1.861? ¿De qué orden es el ciclo en que entra esta sucesión?

18. ¿Qué ocurre cuando c = -1.985? ¿De qué orden es el ciclo en que entra esta sucesión?

19. Desactiva la casilla f₃(x) = f₂(x)² + x. Activa la casilla f₄(x) = f₃(x)² + x. ¿Cuáles son las raíces de esta función? ¿Por qué si c es una raíz de esta función entonces la sucesión tiene que entrar en un ciclo?

20. ¿Qué ocurre cuando c toma valores entre -0.75 y -1? ¿Con respecto a qué valor son simétricos los valores a los que se ven atraídos los términos de la sucesión? (El conjunto de estos valores se llama atractor).

21. ¿De qué orden es el ciclo cuando c = -1.476? ¿Qué ocurre cuando c = -1.485? ¿Qué relación hay entre ambos comportamientos? ¿Qué pasa en c = -1.486, c = -1.487...? Intenta describir las variaciones del atractor en cada caso.