En vez de sucesiones de valores, podemos crear sucesiones de puntos. Una forma de hacerlo es iterando una transformación de los puntos del plano.

En esta actividad partimos del punto A₀ = O = (0,0) y calculamos cada nuevo punto A_n+1 mediante la siguiente transformación del término anterior A_n:

• Sea r la longitud del vector OA_n y α el ángulo que forma ese vector con el semieje positivo OX.
  Nota: Si has estudiado coordenadas polares, esto equivale a decir que A_n = (r; α).
• Nos desplazamos a otro punto P tal que la longitud de OP es r² y el ángulo que forma OP con OX es 2α.
  Nota: En coordenadas polares, P = (r²; 2α).
• Pues bien, para obtener el nuevo término A_n+1, a las coordenadas de P le sumamos las del punto azul C (lo que equivale a trasladar P mediante el vector OC).

Nota: Si has estudiado números complejos, esta transformación equivale a elevar al cuadrado el número complejo z_n cuyo afijo es el punto A_n y sumarle el número complejo c cuya afijo es C: z_n+1 = z_n² + c. Obtenemos así la sucesión de números complejos {0, c, c² + c, (c² + c)² + c, ((c² + c)² + c)² + c, ...}.

Los trazos rojos indican el salto de un término al siguiente. Dependiendo de las coordenadas del punto azul C, la sucesión resultante puede estar o no estar acotada, es decir, puede existir un círculo de radio finito en el que se sitúen todos los puntos de la sucesión o puede que no.

Es más, se puede probar que si la sucesión está acotada entonces todos los puntos tienen estar en el círculo de radio 2 centrado en el origen de coordenadas. Así que basta que un término de la sucesión escape de ese círculo para que a partir de él los siguientes puntos se alejen del origen más y más, tanto como queramos.

El conjunto de Mandelbrot (figura blanca y su interior) es un fractal formado por todos los puntos C para los cuales esa sucesión está acotada. En cada uno de esos puntos C, la sucesión puede tener un punto como límite, caer en un ciclo, o comportarse caóticamente siguiendo un atractor. Exploraremos estas tres posibilidades.

Preguntas

1. Al iniciarse la aplicación el punto C es (0.282, 0.53). Observa los trazos rojos (recuerda que indican el salto de un término al siguiente). Para ese punto C, la sucesión está acotada y entra en un ciclo. ¿De qué orden?

2. Mueve el punto azul hasta C = (0.33, 0.33). (Puedes usar las teclas flecha para mover el punto azul con precisión, después de seleccionarlo.) Para este punto, ¿la sucesión tiene límite, cae en un ciclo o forma un atractor?

3. Pulsa el botón Transformación. Verás una animación en que se representa cómo se obtiene cada término a partir del anterior. Intenta describir qué significado tiene cada uno de los elementos que aparece en la animación: las circunferencias concéntricas grises, el ángulo verde y el vector naranja.

4. Si no ha acabado, pulsa el botón Terminar para finalizar la transformación. Activa la casilla "C en eje X". ¿Qué ocurre cuando C = (0.25, 0)?  ¿Por qué? ¿Cómo se denomina a este tipo de sucesión?

5. Selecciona C y mantén pulsada la tecla flecha izquierda hasta llegar a (-2, 0). ¿Qué relación existe entre el comportamiento de las diferentes sucesiones que aparecen en ese viaje de C y el que se muestra en la actividad Orden y caos?

6. Desactiva las casillas "C en eje X" y "Trazado" y activa la casilla Automático. El punto C realizará un recorrido cercano a la frontera fractal del conjunto de Mandelbrot. Observa los diferentes tipos de atractores que se forman e intenta describir algunos de ellos. (En cualquier momento puedes parar la animación con el botón de Pausa y mover el punto manualmente. También puedes controlar la velocidad de la animación con el deslizador "v".)