La forma más sencilla de averiguar aproximadamente a qué valor se aproxima una función F cuando x se acerca a un  valor determinado c, consiste simplemente en averiguar el valor de la función para valores muy próximos a c, como F(c + 0.0001) o como F(c - 0.0001).

Si c = ∞, hallamos F(10³), F(10⁴), F(10⁵)... para ver si se aproxima a algún valor determinado.

Si c = -∞, hallamos F(-10³), F(-10⁴), F(-10⁵)... para ver si se aproxima a algún valor determinado.

Pero a veces el cálculo del límite es solo una operación intermedia, por lo que necesitamos valores exactos, no aproximados.

Gracias al concepto de límite podemos hablar de derivadas. Tal vez como muestra de gratitud, las derivadas, a su vez, facilitan el cálculo de los propios límites (en funciones derivables, como son prácticamente todas las funciones elementales: polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas...).

La regla de l'Hôpital es de gran ayuda para deshacer indeterminaciones del tipo 0/0 e ∞/∞ en el cálculo de límites.

Además, veremos que ciertas propiedades de los límites nos permiten convertir cualquier otro tipo de indeterminación (0 ∞, ∞-∞, ∞⁰, 0⁰ y 1^∞) en uno de esos dos tipos.

Veremos un ejemplo de cada tipo. Comprueba, en cada caso, tu respuesta introduciendo el valor de F(x) en la aplicación (que usa el comando Límite[F(x), c] de GeoGebra para calcular el límite de F(x) cuando x tiende a c).

Pulsa la tecla Intro para actualizar cada expresión en las casillas de entrada. Puedes copiar las expresiones (en naranja) de las funciones desde aquí. También puedes introducir símbolos como ∞ o π usando el cuadro de símbolos.

Preguntas

1. Un límite de especial relevancia, con indeterminación del tipo 0/0, es "la razón del seno al arco", es decir, el límite cuando x tiende a 0 del cociente sin(x)/x. Usa la regla de l'Hôpital para encontrar su valor.

2. La regla también se puede aplicar a indeterminaciones del tipo ∞/∞. Aplica la regla tres veces seguidas para encontrar el límite, cuando x tiende a ∞, del cociente (6x^³+2x^²+3)/(2x^³+x^²+x).

3. Si la indeterminación es del tipo 0 ∞, basta redisponer esa expresión como 0/(1/∞) o como ∞/(1/0) para convertirla en una indeterminación del tipo 0/0 o ∞/∞ (entre las dos opciones, hay que escoger la que parezca más adecuada, y si no sirve, la otra).
   
   Por ejemplo, el producto x ln(x²), cuando x tiende a 0, se puede expresar (prescindiendo del valor absoluto, que en este caso no afecta al resultado) como ln(x²)/(1/x) que produce una indeterminación del tipo ∞/∞. Aplica la regla de l'Hôpital para encontrar su límite.

4. Si la indeterminación es del tipo ∞ - ∞, se puede convertir la diferencia en cociente dependiendo de la naturaleza de las funciones. Si son racionales (o funciones formando una fracción), se efectúa la resta. Si son radicales, se multiplica y divide por el factor necesario para convertirlo en el tipo 0 ∞.
   
   La diferencia 1/x-1/sin(x) es equivalente a (sin(x)-x)/(x sin(x)). Encuentra el límite de este cociente, cuando x tiende a 0.
   
   La diferencia sqrt(x^²+1)-x es equivalente a x(sqrt(1+1/x²)-1), que es del tipo 0 ∞ cuando x tiende a ∞. A su vez, este producto equivale a (sqrt(1+1/x²)-1)/(1/x), del tipo 0/0. Observa que, cuando x tiende a ∞, h=1/x tiende a 0. Aplica ahora la regla de l'Hôpital para encontrar el límite de (sqrt(1+h²)-1)/h cuando h tiende a 0.

5. Si la indeterminación es de tipo exponencial (∞⁰, 0⁰ y 1^∞), la expresión de F será de la forma G^H. Llamando k al límite que deseamos calcular, y "aplicando logaritmos", se cumple que ln(k) es el límite de H ln(G). Aplicamos la regla de l'Hôpital a este producto para obtener ln(k). El límite buscado k será entonces el número e elevado al exponente ln(k).
   
   Tipo ∞⁰. Calcula el límite cuando x tiende a 0 de (1/x²)^(x²).

6. Tipo 0⁰. Calcula el límite cuando x tiende a 0 de (x²)^(x²).

7. Tipo 1^∞. Calcula el límite cuando x tiende a 0 de (1+x^²)^(1/x).