La forma más sencilla de averiguar aproximadamente a qué valor se aproxima una sucesión {a_n} cuando n toma valores arbitrariamente grandes, es decir, cuando n tiende a infinito, consiste simplemente en averiguar el valor de algún término muy avanzado, como el término n=1000 o el término n=10000.

Pero a veces el cálculo del límite es solo una operación intermedia, por lo que necesitamos valores exactos, no aproximados.

Gracias al concepto de límite podemos hablar de derivadas. Tal vez como muestra de gratitud, las derivadas, a su vez, facilitan el cálculo de los propios límites de funciones (en funciones derivables, como son prácticamente todas las funciones elementales: polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas...).

La regla de l'Hôpital es de gran ayuda para deshacer indeterminaciones del tipo 0/0 e ∞/∞ en el cálculo de límites.

Además, veremos que ciertas propiedades de los límites nos permiten convertir cualquier otro tipo de indeterminación (0 ∞, ∞-∞, ∞⁰, 0⁰ y 1^∞) en uno de esos dos tipos.

Además, el cálculo del límite de funciones puede ayudar a calcular límites de sucesiones. Podemos considerar la sucesión {a_n} como los valores {F(1), F(2), F(3)...} de la correspondiente función F(x). Si existe el límite de esta función, cuando x tiende a infinito, entonces la sucesión {a_n} tendrá el mismo límite.

Veremos un ejemplo de cada tipo. Comprueba, en cada caso, tu respuesta introduciendo el valor del término general a_n en la aplicación.

Pulsa la tecla Intro para actualizar cada expresión en las casillas de entrada. Puedes copiar las expresiones (en naranja) de las funciones desde aquí.

Preguntas

1. La sucesión {(3^(1/n)-1)/(2^(1/n)-1)} coincide con los valores de la función F(x)=3^(1/x)/(2^(1/x)+1) en x = 1, 2, 3... Halla el límite de la sucesión aplicando la regla de l'Hôpital a esta función para deshacer la indeterminación 0/0.

2. La regla también se puede aplicar a indeterminaciones del tipo ∞/∞. Aplica la regla de l'Hôpital tres veces seguidas para encontrar el límite, cuando n tiende a ∞, del cociente (6n^³+2n^²+3)/(2n^³+n^²+n). ¿Cuál será, en general, el límite de una sucesión cuyo término general sea cociente de dos polinomios? Compruébalo con varios ejemplos.

3. Si la indeterminación es del tipo 0 ∞, basta redisponer esa expresión como 0/(1/∞) o como ∞/(1/0) para convertirla en una indeterminación del tipo 0/0 o ∞/∞ (entre las dos opciones, hay que escoger la que parezca más adecuada, y si no sirve, la otra).
   
   Por ejemplo, la función correspondiente al término general (2^(1/n)-1) n se puede expresar como (2^(1/x)-1)/(1/x), que produce una indeterminación del tipo ∞/∞. Aplica la regla de l'Hôpital para encontrar su límite.

4. Si la indeterminación es del tipo ∞ - ∞, se puede convertir la diferencia en cociente dependiendo de la naturaleza de las funciones. Si son racionales (o funciones formando una fracción), se efectúa la resta. Si son radicales, se multiplica y divide por el factor necesario para convertirlo en el tipo 0 ∞.
   
   Reduce a una fracción la diferencia n² / (n + 1) - n² / (n - 1) para calcular su límite.
   
   La diferencia sqrt(n^²+1)-n corresponde a la función equivalente x(sqrt(1+1/x²)-1), que es del tipo 0 ∞ cuando x tiende a ∞. A su vez, este producto equivale a (sqrt(1+1/x²)-1)/(1/x), del tipo 0/0. Observa que, cuando x tiende a ∞, h=1/x tiende a 0. Aplica ahora la regla de l'Hôpital para encontrar el límite de (sqrt(1+h²)-1)/h cuando h tiende a 0.

5. Si la indeterminación es de tipo exponencial (∞⁰, 0⁰ y 1^∞), la expresión de F será de la forma G^H. Llamando k al límite que deseamos calcular, y "aplicando logaritmos", se cumple que ln(k) es el límite de H ln(G). Aplicamos la regla de l'Hôpital a este producto para obtener ln(k). El límite buscado k será entonces el número e elevado al exponente ln(k).
   
   Tipo ∞⁰. Calcula el límite de n^(0.5^n).

6. Tipo 0⁰. Calcula el límite de (1/n)^(1/n).

7. Tipo 1^∞. Calcula el límite de (cos(2/n)+sin(2/n))^n.

8. La función F(x) = sin(π x) no tiene límite cuando x tiende a ∞. ¿Por qué? Sin embargo, la sucesión {sin(π n)} tiene límite 0. ¿Por qué? ¿Contradice este ejemplo lo que estamos asegurando? ¿Por qué? ¿Qué sucede si cambiamos en las expresiones anteriores el seno por el coseno?