La hipótesis de este teorema es que contamos con una función F que es continua en un intervalo cerrado [a,b].

La tesis afirma que, en tal caso, la función alcanzará cualquier valor intermedio, comprendido entre F(a) y F(b).

Observa que como el intervalo es cerrado, existe tanto F(a) como F(b). Si fijamos un valor concreto, digamos k, comprendido entre F(a) y F(b), el teorema nos garantiza que debe existir al menos un cierto valor x del intervalo (a,b) para el cual F(x) = k. Pero solo nos asegura que tiene que haber ese valor, no nos dice nada de cómo encontrarlo.

Veremos que este teorema es a la vez una generalización y una consecuencia del teorema de Bolzano.

Preguntas

1. Supongamos una función G continua en [a,b] y tal que G(a) y G(b) tengan signos diferentes (hipótesis del teorema de Bolzano). Un caso particular de los valores intermedios entre G(a) y G(b) es el valor k=0. ¿Por qué?

2. Aplicando a G y a k=0 el teorema de los valores intermedios, obtenemos que tiene que existir un valor x en el intervalo (a,b) tal que G(x)=0. ¿Es esta la tesis del teorema de Bolzano? ¿Es entonces el teorema de Bolzano un caso particular del teorema de los valores intermedios?

3. La función verde F de la escena es continua en el intervalo [0,11]. ¿Cuál es el intervalo comprendido entre F(0) y F(11)?

4. Este intervalo, ¿es abierto o cerrado? ¿Por qué?

5. ¿Cómo aparece representado este intervalo en la escena?

6. Puedes mover el punto rojo de forma que su altura alcance cualquier valor de ese intervalo. Si k es esa altura, la función roja (que llamaremos G) está separada k unidades de F (más abajo de ella si k es positivo y por encima si k es negativo): G(x) = F(x) - k. ¿Qué relación hay entre los puntos de corte de la recta horizontal con la gráfica verde y los puntos donde G se anula? ¿Por qué? Ayúdate del punto azul para verlo mejor.

7. La función G cumple la hipótesis del teorema de Bolzano. ¿Por qué?

8. Aplicando el teorema de Bolzano a la función G, obtenemos la tesis del teorema de los valores intermedios. ¿Por qué?

9. Cambia la expresión de la función F para proponer otros ejemplos en los que se verifique el teorema de los valores intermedios.