Queremos encontrar la expresión algebraica de cualquier función cuya gráfica corresponda a una recta que no sea una vertical (pues en tal caso no sería función). Tales funciones se llaman funciones afines.

En esta actividad encontraremos un caso particular: las funciones correspondientes a las gráficas de rectas que pasan por el origen de coordenadas. Estas funciones se llaman funciones lineales.

Para ello, partiremos de que podemos considerar cualquier recta como una mediatriz, es decir, como el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de dos puntos fijos dados (como puedes ver en la segunda escena de esta otra actividad). Encontraremos que cualquier recta que pase por el origen queda determinada por un solo número (parámetro) "a", que denominamos pendiente de la recta.

Preguntas

1. Observa detenidamente la figura. La recta roja pasa por el origen de coordenadas (0, 0) y por un punto A situado en la recta paralela al eje OY por el punto (1,0). En esta paralela todos los puntos tienen abscisa 1, así que ha de existir un cierto valor "a" para el cual las coordenadas de A serán (1, a). ¿Dónde ha de estar A situado para que el valor de "a" sea positivo? ¿Y para que sea negativo? ¿Y para que sea cero?

2. ¿Qué ángulo formará la recta con la horizontal cuando A se encuentre en la posición (1, 1)?

3. En la aplicación aparece el triángulo de vértices O, (1, 0) y (1, a). Pero también aparecen otros dos triángulos. ¿Con qué movimiento plano se han obtenido esos dos triángulos a partir del primero?

4. ¿Por qué las coordenadas de uno de esos triángulos son O, (0, 1), (a, -1) y las del otro O, (0, -1), (-a, 1)?

5. Los puntos (a, -1) y (-a, 1) son simétricos respecto a la recta roja. ¿Por qué?

6. Debido a esa simetría, cualquier punto P (x, y) de la recta roja debe equidistar de esos dos puntos. Es decir, la distancia de (x, y) a (a, -1) debe ser igual a la distancia de (x, y) a (-a, 1). Expresa la ecuación correspondiente a esa igualdad de distancias y después eleva ambos miembros al cuadrado para eliminar las raíces cuadradas. Debes obtener: (x - a)² + (y + 1)² = (x + a)² + (y - 1)².

7. La ecuación anterior parece muy complicada, pero es pura apariencia. Si la desarrollas, quitando los paréntesis, llegarás rápidamente a una ecuación muy sencilla: y = a x. Compruébalo. Esta es la ecuación de la función lineal cuya gráfica es la recta que pasa por O y A.

8. El parámetro "a" se denomina pendiente de la recta. Observa que el punto A se encuentra siempre una unidad a la derecha de O, así que la pendiente representa lo que ascendemos (si es positiva) o descendemos (si es negativa) al pasar de un punto de la recta a otro situado una unidad a su derecha. El valor de la pendiente no depende del punto que elijamos de partida, sea O u otro distinto, como puedes comprobar deslizando por la recta el punto azul, ya que ambos triángulos son congruentes. ¿Cuál es la pendiente de la recta que, además de pasar por el origen, pasa por el punto (1, 3)? ¿Y la que pasa por el punto (2, 8)? ¿Y la que pasa por el punto (-2, 6)?

Nota: La pendiente es una forma de expresar la inclinación de la recta, es decir, el ángulo que forma la recta con la horizontal. Si ya tienes nociones de trigonometría tal vez puedas contestar alguna pregunta más: ¿al valor de qué razón trigonométrica de ese ángulo corresponde la pendiente?