REPRESENTACIONES Y SISTEMAS DINÁMICOS

con GeoGebra

 

geogebra.es/060419/

 

Presentación de Rafael Losada Liste

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Resumen

GeoGebra permite representar rápidamente conjuntos de objetos matemáticos, como familias de funciones (a partir de uno o más parámetros) o familias de curvas y superficies (a partir de sus parametrizaciones). También nos permite perfilar imágenes o recorridos dados mediante poligonales y splines.

Pero, además, gracias a la incorporación de los guiones, podemos crear escenarios en los que los objetos interactúen, ya sea buscando por sí mismos posiciones óptimas según el criterio deseado, ya sea adecuando su comportamiento a la posición de los demás objetos. Activando el rastro de algunos puntos, podemos visualizar su comportamiento en estos sistemas dinámicos, lo que favorece su análisis y comprensión.

En las construcciones que presentaré resultará clave la noción de "movimiento", tanto desde el punto de vista matemático (vectores y parámetros) como de uso de GeoGebra (deslizadores, rastros, animaciones automáticas y guiones de GeoGebra).

Además, se ofrecerá a los profesores información técnica no documentada sobre parametrizaciones de los lugares geométricos empleados por GeoGebra.

 

 

Información

 

Procedimientos pautados

procedimientos pautados.ggb

Para exponer algunos procedimientos usados en GeoGebra, resulta muy útil disponer de una plantilla ya preparada, como la que se muestra aquí, en la que lo único a variar en cada caso sea la lista de textos con las instrucciones. Los objetos usados por la propia plantilla son auxiliares, para ocultarlos de la Vista Algebraica.

Nota: Para saltar de línea en un texto de la lista de instrucciones se usa \\n.

 

Contenidos relevantes

Las construcciones hacen uso de diversos comandos y herramientas de GeoGebra. Sin embargo, algunos tipos de objetos resultan de especial interés por su versatilidad y funcionalidad:

• Puntos, vectores y curvas paramétricas.
• Deslizadores y animaciones.
• Listas y secuencias. La hoja de cálculo.
• Guiones básicos. Guiones en deslizadores.

En este documento (PDF, DOC) se puede consultar información técnica detallada para los profesores sobre las parametrizaciones que rigen los objetos (rectas, cónicas, funciones, listas...) de GeoGebra.

 

Alugnos ejemplos prácticos de la utilidad de las parametrizaciones

circuferencias e hiperboloide reglado

En este ejemplo, parametrizando las circunferencias de las bases, podemos conseguir la superficie reglada simplemente retorciendo (es decir, desfasando) la circunferencia superior respecto a la inferior.

 

estadio.ggb

Gracias a las parametrizaciones, podemos conseguir rápidamente curvas y superficies sofisticadas, como estas superelipses de un estadio. La clave está en definir la superficie entre dos curvas paramétricas, tal y como se muestra en esta construcción y en la anterior.

 

funciones vectoriales.ggb

Si redefinimos vectorialmente una función f(x) como O + t i + f(t) j, donde {O, i, j} constituyen el sistema referencial, basta intercambiar de posición los vectores i, j para obtener la gráfica de la función inversa (cuyo dominio tal vez se deba restringir, según los casos, para que sea efectivamente una función).

elipse vectorial.ggb

También resulta mucho más sencilla la manipulación de objetos geométricos como las elipses si las definimos vectorialmente sobre un sistema referencial relativo. De hecho, es lo que hace el propio programa GeoGebra (ver PDF anterior).

 

 

Representaciones matemáticas y estética

 

Vista 2D

teorema de Pitágoras: una comprobación dinámica

Una misma construcción puede ser útil para más de un fin. En esta construcción se visualizan tres teoremas: el segundo teorema de Tales (todo ángulo inscrito que abarque un diámetro es recto), el teorema del cateto (el cateto es la media proporcional de la hipotenusa y su proyección sobre ella) y el teorema de Pitágoras.

 

La construcción anterior es un ejemplo de cómo usar GeoGebra para comprobar visualmente una relación. Pero también podemos crear construcciones cuya visualización ayuden a demostrar tal relación.

 

teorema de Pitágoras: una demostración simple y profunda

Antes de mostrarles esta construcción a mis alumnos, suelo predisponerlos con la siguiente pregunta a debate: La fracción que Asturias ocupa en un mapa de toda España, ¿depende de la escala del mapa, es decir, varía al hacer una ampliación o reducción del mapa?

Demostración: En la figura, los tres triángulos rectángulos son semejantes. Por tanto, ocupan la misma proporción (k) de cada cuadrado construido sobre sus hipotenusas. Como el triángulo mayor es la suma de los otros dos, los cuadrados correspondientes guardan la misma relación.

 

Vista 3D

Esta vista, sola o en combinación con la Vista Gráfica, añade más posibilidades de representación y, por lo tanto, nuevos retos estéticos. Veamos algunos ejemplos.

 

poste de barbero.ggb

No todo el mundo percibe igual las mismas imágenes, incluso aunque sean representaciones animadas en un escenario 3D. Por eso es importante tener presente que cualquier dibujo, boceto, esquema... no es evidente por sí mismo, necesita ser interpretado (la animación anterior del teorema de Pitágoras es un excelente ejemplo del significado oculto tras una imagen).

 

Dandelin.ggb

La combinación de las vistas 2D y 3D nos proporciona más oportunidades para aprovechar la estética subyacente a muchas construcciones matemáticas. En este ejemplo aparecen las esferas de Dandelin.

 

 

 

teoremas del centroide de Pappus-Guldin.ggb

Los teoremas de Pappus-Guldin facilitan el cálculo de áreas y volúmenes de cuerpos de revolución (siempre que la recta o curva generatriz no corte al eje de rotación). Inversamente, también se pueden emplear estos dos teoremas para determinar la posición del centroide (o baricentro) de una curva o superficie plana (como en el caso de la semicircunferencia y el semicírculo).

1. El área de una superficie de revolución es igual al producto de la longitud de la curva generatriz por la distancia recorrida por el centroide de esa curva al generar la superficie.

2. El volumen de un cuerpo de revolución es igual al producto del área de la superficie generatriz por la distancia recorrida por el centroide de esa superficie al generar el cuerpo.

 

cortes del hipercubo.ggb

Incluso podemos representar los cortes de un hipercubo (en este ejemplo, las secciones poliédricas son perpendiculares a la diagonal principal del hipercubo).

 

 

criba de Eratóstenes.ggb

La vista 3D también puede ayudar a visualizar algunas distribuciones. En este ejemplo, podemos observar como la disponer los números naturales en una estructura cilíndrica, todos los múltiplos de un número primo quedan atrapados en la misma espiral.

 

cuadrados mágicos impares en el toro.ggb

Construir un cuadrado mágico de un número impar (n) de filas es muy fácil siguiendo el siguiente procedimiento: primero, colocamos el número 1 en el centro de la primera columna.

Después, los siguientes números consecutivos (2, 3... hasta n2), se colocan en el elemento de la tabla situado justo abajo y a la izquierda del anterior, es decir, en la fila siguiente y la columna anterior. Si no se puede porque:

a) No hay fila siguiente. En este caso, se toma la primera fila.
b) No hay columna anterior. En este caso, se toma la última columna.
c) La posición indicada ya ha sido ocupada anteriormente. En este caso, el siguiente número se coloca en la posición justo a la derecha del último colocado y se prosigue el procedimiento mencionado.

 

Los dos primeros pasos del procedimiento anterior nos hacen saltar abruptamente de la primera a la última columna y de la última a la primera fila. Sin embargo, imaginando que la parte superior de la tabla estuviera pegada a la parte inferior y que la parte izquierda estuviera pegada a la parte derecha, la columna anterior a la primera sería la última y la fila siguiente a la última sería la primera.

Así, en el toro, las líneas diagonales que antes eran discontinuas se transforman en líneas continuas.

 

Representaciones de la realidad

 

GeoGebra permite la representación gráfica de la estructura y el comportamiento de muchos objetos, mecanismos y situaciones reales. He aquí algunos ejemplos.

 

Funcionamiento de máquinas

compresor de aire de paletas.ggb

El dinamismo de GeoGebra puede ser usado para modelizar el funcionamiento de diversos mecanismos y aparatos. En este ejemplo visualizamos el esquema de un compresor de paletas. El aire entra por la parte superior y las paletas lo arrastran hacia la parte inferior. Como el disco interior está descentrado, el aire queda comprimido antes de salir con fuerza. Obsérvese el movimiento centrífugo, debido al giro, de las paletas. (También se puede ver esta versión 3D, pero, por algún motivo, actualmente resulta inestable.)

 

Estructura de las conchas

Las superficies se pueden parametrizar y también se pueden crear familias de superficies cuyas formas varían al variar los parámetros que las definen.

 

conchas.ggb

Un caso espectacular es el de las conchas, que sigue un patrón de crecimiento definido por la autosemejanza. Los moluscos que crean estos caparazones deben ampliarlos según van creciendo. En muchos casos, esto significa sellar el habitáculo anterior cuando la nueva cámara ya esté lista para residir en ella. Como todas las cámaras varían de tamaño pero conservan la forma, se produce una estructura espiral con patrón autosemejante que se puede modelizar.

Nota: a pesar de la aparente dificultad, esta construcción resulta sencilla debido a que se reducen las fórmulas a una lista de parámetros dados. La parametrización parte del artículo Modells for mollusc shell shape de M.B. Cortie (1989).

 

La Tierra y el Sol

Tierra y Sol.ggb

Complementariamente a la realización de construcciones sencillas, resulta muy interesante intentar destripar escenarios complejos, analizando cada parte y su funcionamiento. En esta, podemos distinguir la incorporación del tiempo real UTC (hora, día, mes, año), la latitud y longitud, el movimiento aparente del Sol, el ángulo que forma la eclíptica respecto al ecuador, los trópicos y los círculos polares, la causa de las estaciones, los equinoccios y solsticios, el Punto Aries, la ascensión recta y la declinación, el orto y el ocaso, y la analema del sol, entre otros conceptos.

 

Conmutatividad de los epiciclos

conmutatividad.ggb

En las tres construcciones siguientes aparecerán epiciclos. Antes de verlas, resulta conveniente tener presente lo siguiente:

Debido a la conmutatividad de la suma vectorial, el lugar geométrico generado por un punto en un epiciclo no se altera si intercambiamos el deferente (1ª circunferencia) y el epiciclo (2ª circunferencia), o si intercambiamos epiciclos sucesivos. Esto significa que podemos ordenar los epiciclos por radios ascendentes sin que esto afecte al resultado final.

 

La cuerda vibrante

vibración punto medio cuerda.ggb

La historia del problema de la cuerda vibrante, que implicó a algunos de los mejores matemáticos del siglo XVIII y principios del XIX (Taylor, d'Alembert, Daniel Bernouilli, Euler, Fourier, Lagrange, Laplace, Abel y Dirichlet, entre otros) en una discusión tan vibrante como la cuerda.

 

Finalmente, se concluyó que la vibración de la cuerda es el resultado de una suma (serie convergente de Fourier) de movimientos sinusoidales (armónicos). En esta construcción, además del movimiento de la cuerda, podemos apreciar como su punto medio es insensible a los armónicos pares (ya que no vibra en ellos). El movimiento de este punto medio lo podemos visualizar también como resultado de una serie de epiciclos.

 

Versatilidad de los epiciclos

versatilidad.ggb

En realidad, cualquier trayectoria puede ser representada con un número (tal vez infinito) de epiciclos, ya que estos pueden ser representados como series de Fourier; en este ejemplo, podemos ver como con 39 epiciclos podemos aproximar la forma de un objeto muy asociado a Jerez. Gracias a la conmutatividad de los epiciclos, podríamos (aquí no lo hemos hecho) disponer los círculos en orden ascendente de sus radios.

 

Flor de Venus

flor de Venus.ggb

Cada 8 años, Venus da casi exactamente 13 vueltas alrededor del Sol. En ese tiempo, Venus adelanta 5 veces a la Tierra, generando una cáustica que recuerda a 5 cardioides entrelazadas (sería una cardioide si el año terrestre durase el doble que el venusiano).

Más precisamente, la fracción de los períodos orbitales entre ambos planetas (365,256/224,701) está muy próxima a ser 13/8 (1+5/8). Por tanto, el ciclo relativo se repite cada 8/5=1,6 años, que equivale a 576º (una vuelta y 216º) de vueltas terrestres, lo que provoca la aparición de ese patrón pentagonal conocido como pentagrama o flor de Venus.

 

Como las trayectorias de Venus y la Tierra son casi circunferencias, obtenemos el mismo diagrama sustituyendo el segmento Tierra-Venus por su punto medio PM. También obtenemos el mismo diagrama como un epiciclo de Venus visto desde la Tierra, sin más que ajustar la escala de las distancias a la mitad.  Esto se debe a que si sumamos la mitad del vector Sol-Tierra con la mitad del vector Sol-Venus, obtenemos precisamente el vector Sol-PM.

 

Suponiendo que las trayectorias de Venus y la Tierra fueran circunferencias perfectas y la relación 13/8 fuera exacta, la flor de Venus sería una epitrocoide perfecta, es decir, podría ser generada por una gigantesca rueda que rodase (sin deslizamiento) sobre un círculo centrado en la Tierra con radio 5/13 de la distancia de la Tierra al Sol.

 

 

Notas:

1. La flor de Venus se puede materializar fácilmente mediante hilos tensados (hiloramas). Es muy conocido por los aficionados a la astrología y otras pseudociencias, de modo que se pueden encontrar su diseño en todo tipo de objetos, como en joyería.

2. La imagen del diagrama que aparece en la construcción proviene de la entrada "epiciclo" en Wikipedia - Movimiento aparente (J. Ferguson 1710-1776 basado en un diagrama similar de G. Cassini 1625-1712).

3. La construcción ha sido realizada con los datos reales de la Tierra y Venus, pero se puede simplificar mucho usando circunferencias en vez de elipses, sin que se aprecie diferencia alguna dada su pequeña excentricidad. También se puede usar directamente la relación 13/8.

4. Más adelante, en la sección Autómatas, se puede ver otro ejemplo de modelización de la realidad física (órbitas elípticas.ggb).

 

 

La súper hoja de cálculo: billares dinámicos

 

La hoja de cálculo de GeoGebra no solo permite expresiones numéricas, textos y fórmulas, sino que además admite cualquier objeto de GeoGebra: puntos, rectas, curvas, funciones, listas, etc.

Como ejemplo, veremos su uso sistemático para el análisis del comportamiento de billares con diferentes formas. Considerar al billar como objeto de estudio puede que parezca algo frívolo, pero en realidad tiene mucha importancia en la física práctica; por ejemplo, en un horno microondas se intenta que los rebotes en las paredes calienten el plato del modo más uniforme posible, mientras que un cable de fibra óptica se intenta que los rebotes del láser no provoquen  interferencias. Además, los billares dinámicos sirven de modelo para importantes problemas en el estudio del caos cuántico.

 

Orden. Billar rectangular con dimensiones enteras

billar rectangular.ggb

En un billar rectangular de dimensiones enteras (es decir, como no se especifica la unidad, basta que su cociente sea racional), podemos plantear un bonito problema:

¿Cuántos rebotes dará una bola enviada con un ángulo de 45° desde una esquina antes de alcanzar otra esquina?

 

Orden. Billar cuadrado

billar cuadrado.ggb

La regularidad de las trayectorias resulta todavía más patente en un billar cuadrado. De hecho, podemos calcular fácilmente dónde se encontrará la bola al cabo de cualquier número de rebotes en las bandas.

En un billar normal, la bola rebota en la banda simétricamente respecto a su perpendicular en el punto de contacto.

 

Orden. Billar circular

billar circular.ggb

Si la banda es curva, en vez de recta, el eje de simetría es la perpendicular a la recta tangente a la curva en ese punto. En el caso de un billar circular, esa perpendicular es siempre el radio del círculo.

En el billar circular, todos los segmentos entre dos rebotes consecutivos tienen la misma longitud. Dependiendo del ángulo de salida, podemos determinar con facilidad el radio del círculo interior que quedará inscrito en la trayectoria poligonal. También podemos encontrar cómo han de ser los ángulos para que la trayectoria se cierre.

Además, en la construcción se usa un guion de GeoGebra para simular el movimiento de la bola.

 

No trivial. Problema de Alhacén

problema de Alhacén.ggb

La construcción anterior nos recuerda el problema de Alhacén:

¿Hacia qué punto hay que lanzar una bola en un billar circular para alcanzar a otra después de rebotar en la banda?

Este enunciado es equivalente al siguiente: Dada una fuente de luz y un espejo esférico, encontrar el punto del espejo donde la luz se verá reflejada para el ojo de un observador dado.

 

Orden. Billar elíptico

billar elíptico.ggb

El billar elíptico resulta más entretenido... y complicado. Si apuntamos a un foco, la trayectoria irá de foco a foco. Si apuntamos entre los focos, la trayectoria será tangente a un hipérbola (cáustica). En otro caso, la trayectoria ser la cáustica de otra elipse. En este ejemplo se pueden apreciar, además, diversas trayectorias periódicas, tanto cerradas como abiertas.

(Al igual que en el billar circular, hemos incluido en la construcción un guion de GeoGebra para simular el movimiento de la bola.)

 

Caos. Billar de Sinái

billar de Sinái.ggb

Los arcos en los bordes pueden ser neutros (como en el billar cuadrado o rectangular), focalizadores (como en el billar circular o elíptico) o dispersores, según concentren o dispersen las trayectorias.

En el billar de Sinái aparece el caos determinístico debido a los arcos dispersores convexos de su agujero interior.

 

Caos. Estadio de Bunimóvich

billar de Bunimóvich.ggb

Este billar es un rectángulo limitado por semicírculos en dos lados opuestos. Antes de Bunimóvich se creía que para poder dispersar la trayectoria era imprescindible contar con dispersores convexos (como en el billar de Sinái). Sin embargo, el estadio de Bunimóvich se comporta como un dispersor, siempre que la trayectoria pase entre el borde circular cóncavo y el centro del correspondiente círculo.

 

Toro: loxodrómicas y circunferencias de Villarceau

toro y Villarceau.ggb

El toro no tiene bordes, así que cualquier bola se moverá siguiendo siempre el mismo rumbo α (línea loxodrómica). Si el radio exterior es R y el interior es r (con r<R), esta trayectoria se cierra cuando la expresión tan(α) sqrt(R2-r2)/r sea un número racional. En el caso particular de que ese cociente sea 1 (es decir, sen(α)=r/R), se forman las circunferencias de Villarceau.

 

Caos. Toro con agujero

billar toro con agujero.ggb

Para generar el caos, basta hacer un agujero en el toro. El borde creado se comporta entonces como un dispersor convexo, de forma similar al billar de Sinái.

 

 

 

Caos. Curva cerrada arbitraria

billar curvo.ggb

Desgraciadamente, a día de hoy (ver forum ), la representación del billar arbitrariamente curvo (donde el borde es un spline) presenta problemas porque a veces GeoGebra es incapaz de encontrar todos los puntos de corte del spline con algunas rectas.

 

 

 

Sistemas dinámicos

 

Existe una gran diferencia entre condición y cálculo. Por ejemplo, la condición para que un número real sea raíz de una función es que el valor numérico de la función, para ese número, sea cero. Calcular esa raíz es otro cantar.

Habitualmente los cálculos exigen procedimientos cuyo aprendizaje es largo y tedioso. Pero que no sepamos realizar esos cálculos no es impedimento para apropiarnos de la idea matemática que abordan. Estas ideas pueden parecer mucho más atractivas si sacrificamos algo de cálculo... o lo simplemente lo posponemos a un nivel más avanzado.

Puntos cargados

círculo con puntos.ggb

Crearemos un sistema dinámico que se estabilice por sí mismo:

Pongamos dos puntos en el interior de un círculo. Imaginemos que tanto los puntos como el borde del círculo están cargados eléctricamente, con la misma carga. Los dos puntos se repelen entre sí, y son repelidos por la circunferencia, con intensidad inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Inmediatamente, buscarán el equilibrio, que se alcanzará cuando los dos puntos se dispongan simétricamente respecto al centro del círculo y a una distancia entre sí igual a un tercio del diámetro.

 

círculo con 10 puntos.ggb

Si añadimos más puntos, el equilibrio dará lugar a polígonos regulares, como cabría esperar. Aquí vemos cómo 10 puntos se equilibran formando el decágono regular (dependiendo de las condiciones iniciales, podría formarse también un eneágono con su centro).

 

cuadrado con 5 puntos.ggb

No siempre resulta tan intuitivo predecir cuál serán las posiciones estables. En este caso, cinco puntos en un cuadrado encuentran, además de la distribución que cabría esperar, otras cuatro posibles distribuciones, simétricas entre sí.

 

robot sensible.ggb

Incluso pueden observarse situaciones en las que una levísima diferencia en las condiciones iniciales diferencie el orden del caos. En este ejemplo, los puntos se repelen entre ellos igual que antes, pero ahora además son atraídos, con doble intensidad, al origen de coordenadas.

 

Robot entre enemigos

robot_entre_enemigos.ggb

Ahora crearemos un sistema dinámico jugando con la atracción y la repulsión.

El robot (punto rojo P) conoce la posición final que desea alcanzar (punto verde O) pero debe esquivar una serie de enemigos (puntos azules).

Una vez colocados los puntos, llamamos atractor al vector unitario de P a O.

Como antes, creamos los vectores unitarios que van desde cada punto azul hasta P y los dividimos por el cuadrado de la distancia que los separa. Estos vectores serán las repulsiones que alejarán a P cuando esté demasiado cerca de ellos. Ahora sumamos todos estos vectores para obtener el vector avanza.

  • Creamos un deslizador t que va a servirnos para animar el punto P (al que hemos activado el rastro), de forma que varíe con bastante frecuencia, por ejemplo, entre 0 y 1 con paso 0.01.

  • Finalmente, creamos la constante inc = 0.2, que nos servirá para establecer el avance en cada paso.

Ahora escribimos el programa de nuestro robot. Cada vez que se actualice el valor de t, se ejecutará el siguiente guion con una única instrucción:

Valor(P, P + inc avanza)

Ya solo nos queda animar el deslizador t.

Nota: Si queremos volver a repetir el experimento, basta con borrar el rastro (Ctrl-F) y recolocar los puntos a nuestro antojo.

 

Modelizando la realidad física: Órbitas elípticas

órbitas elípticas.ggb

Colocamos el punto S (Sol) en el centro de coordenadas y un punto T (Tierra) con velocidad inicial el vector v. Si d es la distancia TS y k es una constante, tenemos el vector de fuerza gravitatoria:

g = k / d² VectorUnitario(Vector(T, S))

Ahora solo hay que introducir un deslizador auxiliar para que, cada vez que se actualice, ejecute el simplísimo guion:

Valor(T, T + 0.02 v)
Valor(v, v + 0.02 g)

¡Y ya tenemos el movimiento elíptico! (Obsérvese que no hemos empleado ninguna ecuación ni lugar geométrico.)

Nota: Esta construcción fue realizada en colaboración con mi compañero de departamento Julio Valbuena Herrero, quien adaptó la idea expuesta por Richard Feynman en su famoso libro The Feynman Lectures on Physics (1963, volumen I , 9-7, Planetary motions).

 

Autómatas

 

Exploraciones dinámicas

Hasta ahora, el comportamiento de los robots quedaba determinado por vectores definidos a partir de los otros puntos. En este último apartado, crearemos robots que antes de emprender un movimiento husmeen qué sucede a su alrededor y, basándose en los valores obtenidos, tomen una decisión.

 

robot recíproco Pitágoras.ggb

En este ejemplo, queremos demostrar de modo dinámico y automático el recíproco del teorema de Pitágoras.

Llamamos dif la expresión abs(a²+b²-c²). Objetivo: dif = 0.

  • Creamos un deslizador t que va a servirnos para animar el vértice C (al que hemos activado el rastro), de forma que varíe con bastante frecuencia.

  • Otro deslizador inc para establecer el avance en cada paso.

  • Finalmente, creamos dos objetos auxiliares: C0 y dif0 que valdrán para mantener, respectivamente, los valores actuales de C y dif.

Ahora escribimos el programa de nuestro robot. Cada vez que se actualice el valor de t, se ejecutará el este guion de instrucciones (el símbolo # sirve para añadir comentarios). Solo queda animar el deslizador t.

Nota: Si queremos volver a repetir el experimento, debemos recordar devolver inc al valor 0.1.

 

robot punto Fermat.ggb

En este otro ejemplo, queremos encontrar el punto de Fermat de un triángulo dado. Para ello, hemos sustituido el papel del vértice C del triángulo y de su alter ego C0 por un punto exterior al triángulo: F y F0.

 

Ahora, el objetivo es minimizar la expresión dif = abs(F-A) + abs(F-B) + abs(F-C).

En este caso, el mensaje de “proceso terminado” aparecerá cuando el incremento sea indistinguible de 0 (sin usar el CAS de GeoGebra, es decir, del orden de una cien millonésima).

 

robot puntos Steiner.ggb

Si generalizamos el punto de Fermat a más vértices, obtenemos el árbol de Steiner (añadiendo los puntos de Steiner que sean necesarios).

Observemos que los robots no saben dónde están los puntos A, B, C y D, basta con que sepan a qué distancia están en cada instante.

 

robot mediana geométrica cuatro puntos.ggb

Los puntos de Steiner minimizan la longitud del árbol que conecta los cuatro puntos dados, pero a costa de añadir más de un vértice. Ahora nuestro deseo es encontrar el punto que  minimiza la suma de las distancias desde él a los puntos dados (mediana geométrica).

 

robot mediana geométrica ponderada.ggb

En este otra generalización del punto de Fermat, los vértices del triángulo no pesan lo mismo, es decir, cada distancia se pondera en función de esos pesos.

 

 

robot mediana geométrica tetraedro.ggb

Esta última generalización del punto de Fermat sustituye el triángulo por su versión espacial, el tetraedro.

 

 

Problemas de optimización

robot problema nadador.ggb

Como vemos, cualquier problema de optimización del valor de una función objetivo se puede representar dinámicamente siempre que sepamos expresar analíticamente esa función objetivo. En este conocido "problema del nadador", se trata de minimizar el tiempo total para ir nadando del punto P a la orilla y después correr la distancia que falta para llegar a Q.

 

Secuencias de acciones

torres de Hanoi.ggb

Como podemos asociar un guion a  un deslizador, la simple animación de este nos permite reproducir una secuencia de acciones tantas veces como deseemos. En este ejemplo, lo usamos para resolver automáticamente el rompecabezas de las torres de Hanoi.

 

laberinto.ggb

En este último ejemplo, el robot ha de adaptarse al entorno: no tiene ninguna información sobre la forma del laberinto. Solo detecta si hay espacio libre a su derecha (en cuyo caso gira a la derecha para pegarse a la pared derecha) o si hay un obstáculo enfrente (en cuyo caso gira a la izquierda).

Esta sencilla norma basta para pegarse de su pared derecha y conseguir salir del laberinto (aunque no lo haga en el menor recorrido posible). Para ello, bastan dos instrucciones en el guion del robot:

# Si la distancia a la pared derecha es mayor que 0.4 unidades, gira a la derecha; si no es así, pero la distancia a la pared de enfrente es menor que 0.15, gira a la izquierda; en cualquier otro caso, continúa recto.

Valor(v, Si(dPD>0.4, vn, Si(dPA<0.15, -vn, v)))
Valor(P, P + v)