Propiedad Color Dinámico en GeoGebra
La propiedad Color Dinámico que poseen los objetos creados con GeoGebra permite visualizar fácilmente lugares geométricos desconocidos, siempre que sepamos expresar la condición que deben cumplir los puntos del mismo.
Este modo de empleo del color dinámico es realmente potente. Simplemente
"barriendo" la pantalla el lugar geométrico aparece, como por arte de magia,
ante nuestros ojos.
Esta propiedad Color Dinámico asigna al objeto tres valores numéricos, cada uno de ellos variable entre 0 y 1, que corresponden a la intensidad de Red, Green y Blue (color RGB) presentes en su color-luz combinado.
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En la siguiente tabla se puede apreciar (agrupados por complementarios) el resultado de la elección de algunos colores básicos.
| Red | Green | Blue | Color | Nombre |
| 0 | 0 | 0 | Negro | |
| 1 | 1 | 1 | Blanco | |
| 0.33 | 0.33 | 0.33 | Gris oscuro | |
| 0.67 | 0.67 | 0.67 | Gris claro | |
| 1 | 0 | 0 | Rojo | |
| 0 | 1 | 1 | Cian | |
| 0 | 1 | 0 | Verde | |
| 1 | 0 | 1 | Magenta | |
| 0 | 0 | 1 | Azul | |
| 1 | 1 | 0 | Amarillo |
Cuando el valor numérico "c" no esté entre 0 y 1, GeoGebra sigue la siguiente norma:
1) Si el valor numérico no está entre 0 y 2, toma su resto módulo 2.
2) Si el valor numérico "c" obtenido está entre 1 y 2, toma "2 - c".
O, si se prefiere, sigue la siguiente función:
c(x) = 1 - abs(1 - x + 2 floor(x/2))
cuya gráfica es:
El motivo de este comportamiento es evitar cambios bruscos de color entre dos valores numéricos próximos. Obsérvese el periodo 2.
Así, si construimos un punto A y una paralela al eje Y que contenga a A y le asignamos a esta recta el color dinámico que denotaremos como RGB = [0, x(A), 0]:
entonces, al activar el rastro de la recta y moverla obtendremos una distribución de color que sigue el patrón que muestra la siguiente imagen.
Si se quiere evitar la periodicidad, podemos optar por sustituir la expresión x(A) por la expresión e^(-abs(x(A)-1)).
La gráfica de la función y = e^(-abs(x-1)) es la siguiente:
por lo que al realizar la sustitución obtenemos una distribución de color del siguiente tipo:
El método del barrido manual
Supongamos que tenemos dos puntos fijos A y B y queremos encontrar el lugar geométrico de los puntos que equidistan de ambos (la mediatriz) usando la propiedad Color Dinámico.
Colocamos un punto C libre e introducimos los valores a=Distancia[C,A], b=Distancia[C,B].
El lugar geométrico buscado estará formado por las posiciones del punto C para las cuales a=b.
Ahora buscamos expresiones algebraicas que tomen el valor 1 cuando a=b. Por ejemplo, a/b, b/a, 1+a-b, 1+abs(a-b), e^-abs(a-b), etc.
Colocamos cualquiera de esas expresiones (puede haber hasta 3 diferentes, una para cada valor R, G, B) como propiedad de Color Dinámico del punto C.
Supongamos, por ejemplo, que asignamos al punto C el color dinámico RGB=[a/b, a/b, a/b]. Al mover el punto C, con la traza activada, el rastro que deja va “pintando” la pantalla. Cuando se cumpla la condición a=b el valor RGB será [1,1,1], es decir, blanco:
Además de la mediatriz buscada, aparecen unas circunferencias no concéntricas rodeando al punto B. Cada circunferencia reúne a los puntos C que cumplen que "a es un múltiplo impar de b".
Esto es debido, como hemos visto, a la periodicidad del Color Dinámico. Si queremos eliminar esos otros lugares geométricos, basta reasignar el valor:
RGB = [e^(-abs(a-b)), e^(-abs(a-b)), e^(-abs(a-b))]
Probamos a mover C por toda la pantalla y observamos el resultado:
Si deseamos la aparición de colores, basta asignar diferentes expresiones algebraicas a cada R, G, B. Por ejemplo:
RGB = [e^(-abs(a-b)), e^(-2 abs(a-b)), e^(-abs(a-b)/(a+b))]
Obsérvese que cuando "a" sea igual a "b" el valor numérico RGB continuará siendo [1, 1, 1], es decir, blanco:
El color refleja la expresión matemática subyacente
En los siguientes applets veremos dos ejemplos sencillos que muestran cómo las expresiones introducidas en cada celda RGB del color dinámico quedan "visualizadas" mediante esta técnica.
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En el siguiente applet usamos esta técnica para revelar los puntos de corte de las bisectrices de un triángulo.
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El método del barrido automático
Ahora bien, aunque el lugar geométrico es visible, habitualmente deseamos un mapa más “fino”, rápido e inofensivo (pues el barrido manual continuado entraña un considerable riesgo de tendinitis). Para ello, asignamos a B1 el tamaño más pequeño posible (1 píxel) e introducimos un deslizador dinámico que lo obligue a barrer una línea horizontal. Después, usamos el procedimiento de arrastrar la celda B1 en la hoja de cálculo para crear los puntos B2, ..., B350.
Estos puntos barrerán la pantalla haciendo el papel de escáner. Como el movimiento de todos ellos depende del deslizador dinámico (parámetro t), podemos ajustar la velocidad de la animación automática de t para conseguir una imagen "limpia" dependiendo de la velocidad del procesador de nuestro equipo.
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El siguiente applet aplica esta técnica para descubrir el punto que "ve" los lados de un triángulo bajo el mismo ángulo de 120º (punto de Fermat). Las líneas roja, verde y azul representan los puntos donde se ven dos lados del triángulo bajo un mismo ángulo. Donde se corten se produce la coincidencia de los tres ángulos. Podemos apreciar la calidad estética presente en muchas de estas imágenes.
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En el siguiente applet se muestra otro ejemplo.
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Generalización del teorema de Steiner-Lehmus
Veamos cómo aplicar el método anterior a un caso no trivial (ver detalles aquí y aquí). Sea el triángulo de vértices fijos A(0,0), B(1,0) y vértice libre C(x,y). Construimos el triángulo y las bisectrices. Construyamos los bisectores interiores y exteriores en cada vértice. Llamamos aquí “bisector” al segmento o distancia entre cada vértice y el punto de corte de la bisectriz -interior o exterior- que pasa por ese vértice con el lado opuesto del triángulo.
Queremos averiguar dónde debe estar C para que en el triángulo ABC coincidan las longitudes de dos bisectores distintos.
El siguiente applet muestra cuándo coincidirán dos bisectores exteriores.
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El siguiente applet muestra cuándo coincidirán dos bisectores (interior y exterior) de un mismo vértice.
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El siguiente applet muestra cuándo coincidirán dos bisectores (interior y exterior) de distintos vértices.
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El siguiente applet muestra cuándo coincidirán dos bisectores cualesquiera (generalización completa del teorema, este lugar corresponde a un polinomio en dos variables de grado 35).
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El centro del círculo que corta un triángulo proporcionalmente
Veamos un último ejemplo de barrido automático. Sea el triángulo de vértices A, B y C Queremos encontrar los puntos en donde situar el centro de un círculo de radio dado para que corte a esos lados (o sus prolongaciones) en cuerdas proporcionales a sus longitudes.
Obtenemos una imagen que nos muestra que tal punto es la intersección de tres hipérbolas (roja, verde y azul) que pasan por los vértices de rombos centrados en los vértices.
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Otras formas de usar el rastro de color: Diagramas de Voronoi
Si tenemos varios puntos y a cada uno le asociamos una circunferencia de radio igual y suficientemente amplio, con el rastro activo y color diferenciado, al contraer simultáneamente todas las circunferencias hasta alcanzar sus centros obtendremos, finalmente, el diagrama de Voronoi correspondiente, es decir, las regiones formadas por los puntos más próximos a cada punto dado.
Esto se debe a que el color del rastro "superviviente" siempre será el correspondiente al punto que se encuentre más próximo:
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Veamos el efecto en varios puntos:
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También podemos variar la métrica, tomando por ejemplo la distancia "taxi" (distancia Manhattan o Taxicab), en donde los puntos que equidistan del centro ya no están sobre circunferencias sino sobre cuadrados. El máximo número de lados de cada celda, que antes era 6, ahora es mayor.
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Basta añadir un coeficiente variable que multiplique el radio de cada circunferencia para obtener otra generalización del diagrama de Voronoi, en donde ahora las fronteras son arcos de circunferencia.
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Por último, si en vez de contraer las circunferencias las expandimos, obtendremos el diagrama de Voronoi Lejano, es decir, las regiones formadas por los puntos que distan más de uno dado que de todos los demás. Ahora no todos los puntos iniciales tienen una celda asociada, sino que sólo la tendrán aquellos que formen parte del cierre convexo (el polígono convexo de menor área que contiene a todos los puntos).
Los puntos de ese cierre también sirven para averiguar cuál es el círculo minimal (el círculo de radio mínimo que contiene a todos los puntos). El centro de ese círculo está sobre una arista (si su diámetro une dos puntos del cierre convexo) o coincide con un vértice del diagrama (si el círculo lo determinan tres puntos del cierre convexo) y es la solución del siniestro "problema de la bomba" (dónde arrojar una bomba entre una colección de puntos-objetivo para conseguir la máxima destrucción). Videoclip.
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