La mitad de un cuadrado

Dado un cuadrado, una forma de construir, dentro de él, un polígono cuya área sea la mitad, consiste en tomar los puntos medios de dos lados opuestos y unirlos con un segmento:

Ahora bien, ¿habrá alguna otra forma de hacerlo? A poco que nos pongamos a pensar, seguramente nos surgirán múltiples ideas. Algunas de ellas podrían ser:

     

En un amplio trabajo de José Antonio Mora titulado "La mitad de un cuadrado" (SUMA 8, 1991 y La Gaceta de la RSME 10.3, 2007 ) se cuenta la experiencia llevada a cabo con alumnos de ESO a los que se les propone que investiguen diferentes formas de dividir un cuadrado en dos zonas de igual área. Este trabajo será nuestra referencia para esta investigación. Consultar en los anteriores enlaces para más información.

El problema

El enunciado del problema que abordaremos es el siguiente:

Dado un cuadrado, una forma de partirlo en dos partes de igual área consiste en tomar los puntos medios de dos lados opuestos y dar el corte mediante el segmento que los une. Investiga otros procedimientos.

El problema, como comentábamos más arriba, es muy abierto, dado que no se precisa si puede dividirse con un único corte (un segmento) o pueden emplearse más; tampoco nos dicen si los trozos en los que lo dividimos tienen que ser exactamente iguales (congruentes) o no, solamente se impone la condición de que han de tener igual área; tampoco se indica de forma expresa que los cortes tengan que ser rectilíneos. De modo que tendremos que empezar acotando un poco la situación para ir, posteriormente, abriendo nuevas vías de investigación.

Empezaremos por el caso más sencillo:

Dado un cuadrado, divídelo mediante un segmento en dos polígonos de igual área.

Primero preparamos el escenario:

• Usando la Barra de menús seleccionamos la opción Geometría en el menú Disposiciones.

Comenzamos la construcción:

• Con la herramienta Polígono regular construimos un cuadrado ABCD. Podemos ayudarnos de la cuadrícula y colocar los puntos A y B al menos a dos centímetros de distancia.
• Con la herramienta Punto medio o Centro localizamos el centro E del cuadrado: seleccionamos la herramienta y señalamos uno a uno los dos extremos de una diagonal del cuadrado.
• Usamos ahora la herramienta Punto para crear un punto F sobre el lado AB del cuadrado: seleccionamos la herramienta y hacemos clic en un punto cualquiera del segmento AB.
• Con la herramienta Refleja Objeto por Punto hallamos el punto F', simétrico de F con respecto al centro del cuadrado.

Lo que vamos a hacer ahora es dividir el cuadrado ABCD en dos partes mediante el segmento FF'.

• Usamos la herramienta Polígono para crear el polígono AFF'D.

Vamos a mejorar el aspecto de los objetos que hemos creado.

• Usando la Barra de Estilo eliminamos el sombreado del cuadrado ABCD. Para el polígono AFF'D elegimos un color azul, un grosor de línea algo mayor que el estándar y un sombreado de un 25%.

Probamos ahora la consistencia de la construcción: movemos el punto F y observamos el resultado que obtenemos. Según el lugar que ocupa F, ¿en qué tipos de polígonos queda dividido el cuadrado ABCD?

Pero ya hemos podido apreciar más arriba que un cuadrado puede dividirse en dos partes de igual área utilizando otros procedimientos. Así que vamos a investigar alguno más:

Dado un cuadrado, divídelo mediante dos segmentos en dos partes de igual área.

Trabajaremos con una copia del cuadrado:

• Seleccionamos el cuadrado ABCD. Usando la Barra de menús abrimos el menú Edita y seleccionamos la opción Copia.
• A continuación abrimos nuevamente el menú Edita y seleccionamos la opción Pega. Hacemos clic en una zona libre de la Vista Gráfica para pegar el cuadrado sobre el que vamos a trabajar ahora: el A₁B₁C₁D₁.

Realizamos la nueva construcción:

• Usamos la herramienta Punto para crear un punto G sobre el lado C₁D₁.
• Con la herramienta  Polígono creamos el triángulo A₁B₁G.

El área de este triángulo es justamente la mitad de la del cuadrado en el que se inscribe: en efecto, la longitud de su base y la de su altura son iguales a la longitud del lado del cuadrado.

• Usando la Barra de Estilo elegimos para el triángulo A₁B₁G el mismo color, grosor de línea y sombreado que el que habíamos elegido para el cuadrilátero AFF'D.

Probamos ahora la consistencia de la construcción: movemos el punto G y observamos el resultado que obtenemos. Según el lugar que ocupa G, ¿podemos obtener en algún caso una disección que ya hubiéramos obtenido en el caso anterior?

Sigamos cambiando las condiciones iniciales. Vamos a tratar de dividir ahora el cuadrado utilizando una línea poligonal:

Dado un cuadrado, divídelo mediante una poligonal en dos polígonos de igual área.

Realizamos otra copia del cuadrado:

• Seleccionamos el cuadrado ABCD. Usando la Barra de menús abrimos el menú Edita y seleccionamos la opción Copia.
• A continuación abrimos nuevamente el menú Edita y seleccionamos la opción Pega. Haz clic en una zona libre de la vista gráfica para pegar el cuadrado sobre el que vamos a trabajar ahora: es el A₂B₂C₂D₂.

Iniciamos la nueva construcción:

• Con la herramienta Punto medio o Centro localizamos el centro H del cuadrado: seleccionamos la herramienta y señalamos uno a uno los dos extremos de una diagonal del cuadrado.
• Usamos ahora la herramienta Punto para crear un punto I sobre el lado A₂B₂ del cuadrado.
• Con la herramienta Refleja Objeto por Punto hallamos el punto I', simétrico de I con respecto al centro del cuadrado.
• Usamos ahora la herramienta Punto en objeto para crear un punto J en el interior del cuadrado A₂B₂C₂D₂.
• Con la herramienta Refleja Objeto por Punto hallamos el punto J', simétrico de J con respecto al centro del cuadrado.
• Ahora vamos a dividir el cuadrado A₂B₂C₂D₂ en dos partes mediante la línea poligonal IJHJ'I'. Seleccionamos la herramienta Polígono para crear el polígono A₂IJHJ'I'D₂.
• Usando la Barra de Estilo elegimos para el polígono A₂IJHJ'I'D₂ el mismo color, grosor de línea y sombreado que el que habíamos elegido para el cuadrilátero AFF'D.

Probamos ahora la consistencia de la construcción: movemos el punto I y el punto J y observamos el resultado que obtenemos. ¿Podemos obtener en algún caso una disección que ya hubiéramos obtenido en los casos anteriores?

Podemos mejorar la estética de la construcción que hemos realizado ocultando todos los puntos, excepto aquellos que podemos mover para modificar la disección, que son el F, G, I y J. Para los puntos que quedan a la vista elegimos un color amarillo y un tamaño algo mayor que el estándar.

Ejemplo de construcción

Pártelo por la mitad   Tres formas diferentes de dividir un cuadrado en dos partes de igual área.

Clic en esta imagen abre la construcción de GeoGebra

Propuesta de trabajo

Trata de realizar las siguientes disecciones del cuadrado:

       

Comentarios

 Investigación:

• Hemos utilizado en la disección siempre cortes rectilíneos. ¿Podríamos dividir el cuadrado utilizando curvas? Investiga alguna forma de hacerlo.
• Del mismo modo que hemos planteado el problema en torno al cuadrado podríamos abordarlo con otras figuras planas. Investiga cómo dividir en dos partes de igual área un rectángulo o un hexágono o un triángulo isósceles o un círculo...