Objetivos

Simularemos la superficie de un toro creando familias de curvas que descansan sobre él.

Un punto tridimensional {p_x, p_y, p_z} se puede proyectar en la vista gráfica como:

(p_x sin(β) + p_y cos(β), -p_x cos(β) sin(α) + p_y sin(β) sin(α) + p_z cos(α))

donde α y β son los ángulos de inclinación y rotación.

Para simplificar, definimos:

sb = sin(β), cb = cos(β), cs = -cos(β) sin(α), ss = sin(β) sin(α), ca = cos(α)

Con lo que la expresión anterior queda así:

(p_x sb + p_y cb, p_x cs + p_y ss + p_z ca)

Ahora bien, si conocemos las ecuaciones paramétricas de una superficie en el espacio:

 (x(u,v), y(u,v), z(u,v))

podemos generar dos familias de curvas sin más que sustituir estas coordenadas en vez de (p_x, p_y, p_z) en la proyección anterior.

• L1 = Secuencia[Curva[x(u,v) sb + y(u,v) cb, x(u,v) cs + y(u,v) ss + z(u,v) ca, v, v1, v2], u, u1, u2, paso]
• L2 = Secuencia[Curva[x(u,v) sb + y(u,v) cb, x(u,v) cs + y(u,v) ss + z(u,v) ca, u, u1, u2], v, v1, v2, paso]

En la primera lista de curvas, cada curva hace variar únicamente el parámetro v en cada punto. La familia de curvas se obtiene al secuenciar el parámetro u. En la segunda lista, viceversa.

Las constantes u1, u2, v1 y v2 son los valores mínimo y máximo para los que hacemos variar u y v. La constante “paso” se añade para hacer más o menos densa la red de curvas.

En el caso del toro , la parametrización empleada es:

x(u,v) = (R + r cos(u)) cos(v)

y(u,v) = (R + r cos(u)) sin(v)

z(u,v) = r sin(u)