Transformaciones

Además de las isometrías, la homotecia y la inversión, que se detallan a continuación, podemos realizar cualquier transformación lineal o afín con ayuda del comando AplicaMatriz.

Traslación

La imagen de cada punto P en una traslación es:

P' = P + v

donde v es el vector de traslación.

Rotación

La imagen de cada punto P en una rotación es (isometrias.ggb):

P' = O + M (P - O)

donde O es el centro de rotación, α es el ángulo de rotación y M es la matriz de rotación:

M = {{cos(α), -sin(α)}, {sin(α), cos(α)}}

Casos particulares:

• Una rotación de 180° equivale a una simetría central, es decir, a reflejar sobre el centro de rotación: Refleja[A, 180°, O] equivale a Refleja[A, O]
• Si O es el origen de coordenadas, la imagen de cada punto es P' = M P

Simetría axial

La imagen de cada punto P en una simetría axial es (isometrias.ggb):

P' = O + M (P - O)

donde O es un punto cualquiera de la recta y, si α es el ángulo que forma la recta r con la horizontal, M es la matriz de simetría axial:

M = {{cos(2α), sin(2α)}, {sin(2α), -cos(2α)}}

Casos particulares:

• La imagen del eje de simetría es él mismo: Refleja[r, r] = r
• Reflejar dos veces sobre el mismo eje crea una copia del objeto: Refleja[Refleja[a, r], r] = a
• Refleja[P, EjeX] = (x(P), -y(P))
• Refleja[P, EjeY] = (-x(P), y(P))
• Si r: y = x entonces Refleja[P, r] = (y(P), x(P))
• Si r: y = -x entonces Refleja[P, r] = -(y(P), x(P))

Simetría central

Si O es el centro de simetría, la imagen de cada punto P en una simetría central es:

P' = O + (-1) (P - O) = 2O - P

Casos particulares:

• El centro se refleja en sí mismo: Refleja[O, O] = O
• Si elegimos el origen de coordenadas como centro, la imagen de cualquier punto será su opuesto: Refleja[(0,0), P] = -P

Homotecia

La imagen de cada punto P en una homotecia de centro O es:

P' = O + M (P - O)

donde M es la matriz de escala con factor k:

M = {{k, 0}, {0, k}}

Inversión

Si O es el centro de la circunferencia de radio r, la imagen de cada punto P en una inversión es la intersección de la semirrecta OP con la circunferencia de centro O y radio r²/OP (inversion.ggb).

Casos particulares:

• Si A está en c, entonces Refleja[A, c] = A
• La inversión de la circunferencia en ella misma es de nuevo ella misma: Refleja[c, c] = c
• Refleja[Refleja[A, c], c] = A
• Reflejar dos veces sobre la misma circunferencia crea una copia del objeto: Refleja[Refleja[a, c], c] = a