MÓDULO 12

Introducción

Proyección

Toro

Otros modelos

 

 


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    ► 12. Proyecciones 3D

           ► 12.2 Proyección

    Objetivos

    Un punto tridimensional {px, py, pz} se puede proyectar en la vista gráfica como:

    (px sin(β) + py cos(β), -px cos(β) sin(α) + py sin(β) sin(α) + pz cos(α))

    donde α y β son los ángulos de inclinación y rotación del objeto.

    Veremos cómo podemos usar esta proyección para crear modelos tridimensionales.

    Construcción paso a paso

    Antes de empezar, puede ser buena idea echar un vistazo al "Ejemplo de construcción" que se encuentra en esta página.

    Primero guardamos una imagen que usaremos como icono de una herramienta personal que crearemos más adelante.

     Preparación

    Sí

    No

    Automático

    Creamos dos ángulos independientes, α y β, que harán el papel de ángulo de inclinación y ángulo de rotación, respectivamente.

     Etapa 1

    • Punto A (libre)
    • Circunferencia c: Circunferencia con centro A y radio 1
    • Punto B: A + (3, 0)
    • Circunferencia d: Circunferencia con centro B y radio 1
    • Punto C: A + (1, 0)
    • Punto D: A + (4, 0)
    • Punto E: Punto en c
    • Punto F: Punto en d
    • Ángulo α: Ángulo CAE
    • Ángulo β: Ángulo DBF

    Creamos las proyecciones i, j, k de los vectores de la base canónica {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} en función de α y β:

     Etapa 2

    • i = (sin(β), -cos(β) sin(α))
    • j = (cos(β), sin(β) sin(α))
    • k = (0, cos(α))

    Ahora ya podemos realizar muy fácilmente la proyección al plano del punto espacial que queramos, por ejemplo el punto P(4,4,4), simplemente escribiéndolo como combinación lineal de las proyecciones de la base:

     Etapa 3

    • P444 = 4 i + 4 j + 4 k

    Así, al mover los ángulos α y β, los puntos proyectados simulan las tres dimensiones.

    Ejemplo de construcción

     Proyección

    Clic en esta imagen abre la construcción de GeoGebra

     Propuesta de construcción

    Realizar una construcción similar que permita rotar el cubo alrededor de su centro, en vez de alrededor de una arista.
    Comentarios

    En la construcción de ejemplo hemos creado más puntos hasta completar los vértices de un cubo y hemos completado la figura con los polígonos de algunas caras. También hemos añadido algún texto.

     Investigación:

    • Al tratarse de proyecciones, los ángulos que se puedan medir en la pantalla no corresponderán, en general, con los verdaderos ángulos de entre los puntos tridimensionales. Por ejemplo, cada ángulo de cada dos aristas contiguas en cada cara del cubo es siempre constante (90°) pero varía en la proyección al rotar el cubo. La geometría analítica puede ayudarnos a crear una herramienta para medir el verdadero valor de esos ángulos. ¿Cómo?