Preguntas dirigidas

Muchas veces una misma construcción puede usarse en distintos niveles o para distintos objetivos simplemente reformulando el tipo de preguntas o las ayudas ofrecidas para poder contestarlas adecuadamente.

Algunos ítems didácticos no precisan de preguntas porque la propia construcción se encarga de realizarlas y evaluarlas. Algunas de estas actividades de autoevaluación se pueden ver (son las cuatro primeras) en el apartado Otros modelos de este módulo.

Otras veces tampoco son necesarias las preguntas, al tratarse de actividades en las que haya que reproducir un modelo o mostrar la habilidad en un juego de estrategia.

Vamos a ver un ejemplo de construcción de una batería completa de preguntas a partir de un applet y un objetivo concretos. Para ello, hemos elegido el tipo de contenido matemático más difícil de interpretar: una demostración formal.

La demostración

Si algo eleva a las Matemáticas entre todas las áreas del conocimiento es su poder para alcanzar un grado de certidumbre superior a cualquier otro. Cualquier teorema demostrado hace muchos siglos continúa siendo verdadero y sus aplicaciones mejoran nuestras vidas. Esto no sucede en arquitectura, ingeniería, pintura, astronomía, música, lingüística, química, historia, derecho, biología o medicina (afortunadamente), por ejemplo.

La demostración matemática es el invento que permite lograr esa imperturbabilidad en el tiempo, esa seguridad en el conocimiento, independiente de costumbres, tecnologías y aspiraciones. Es el triunfo del razonamiento puro frente a los prejuicios, creencias y deseos.

Sin embargo, demostrar matemáticamente exige entrenamiento y disciplina mental. Por ello su introducción en la enseñanza es y debe ser muy gradual.

Gracias a las preguntas dirigidas, los ítems didácticos pueden servir para aproximarnos a la naturaleza de las demostraciones matemáticas de una manera más visual, menos abstracta, sin perder por ello la esencia del método demostrativo.

A continuación detallaremos un ejemplo. Se trata de una demostración de que, en una circunferencia (cualquiera), el valor de un ángulo central (cualquiera) siempre es el doble que el del ángulo inscrito que abarca el mismo arco. El applet que usaremos es el siguiente:

Clic en esta imagen abre la construcción de GeoGebra

Observemos que el applet se encuentra dividido en diferentes escenas sucesivas. Cada una corresponde a un paso hacia la demostración completa. Veremos cada paso por separado, qué se pretende con él, y qué preguntas nos pueden ayudar a dirigir la atención hacia el razonamiento clave en cada caso.

Paso 0: comprobación

Antes de demostrar nada habrá que ver si lo que queremos demostrar tiene algún viso de ser cierto. Por eso, en la primera escena del applet aparece el transportador de ángulos, lo que nos permite efectuar las mediciones oportunas.

Por lo tanto, las primeras preguntas deben invitar a esa comprobación:

Sitúa C de forma que el ángulo central azul tome distintos valores. ¿Qué valores toma, en cada caso, el ángulo amarillo? ¿Encuentras alguna relación que se cumpla siempre entre el ángulo central azul y el ángulo inscrito amarillo?

Observemos que primero preguntamos por lo que pasa en casos particulares, y solo después se pregunta acerca de alguna relación común a todos los casos observados.

Los alumnos tienden a pensar que esta comprobación por sí sola ya vale como demostración. "Lo estoy viendo, ¿no basta?" En este punto es importante remarcar que solo hemos "visto" algunas posiciones, pero que aunque hubiésemos comprobado mil millones de ellas todavía quedaría una infinidad de posiciones sin comprobar. Es necesario añadir un motivo a nuestras observaciones, un porqué, un razonamiento que valga para cualquier posición, para estar realmente seguros de que siempre se mantendrá esa relación.

Un ejemplo. Hoy sabemos que una cierta propiedad de los números naturales (conocida como "conjetura de Pólya" ) es cierta para los cien primeros números, y para los mil primeros, y los diez mil, y los cien mil, y para el primer millón de números, y para los primeros diez millones, y para los primeros cien millones... Nuestra intuición parece gritarnos que entonces la conjetura tiene que ser cierta. Sin embargo, la conjetura de Pólya resultó ser falsa (el primer número que la incumple es el 906150257). Nuestra intuición falla porque no está habituada a comparar cantidades grandes pero finitas de ensayos con cantidades infinitas de posibilidades.

Paso 1: primera posición

En la primera (dis-, com-, su-, pro-) posición, observamos que el punto C se mantiene siempre opuesto al punto A. Esto supone que el ángulo inscrito está formado por un diámetro y una cuerda. Esta disposición tiene la ventaja de ser más fácil de analizar que otras, ya que en este caso los ángulos que queremos comparar se apoyan en un mismo lado, el diámetro.

Razonamiento: el ángulo azul es lo que le falta al naranja para llegar a 180º, pero por otra parte los ángulos amarillos también son lo que le falta al naranja para llegar a 180º, así que el ángulo azul equivale a los dos ángulos amarillos iguales.

A partir del razonamiento, creamos las preguntas dirigidas que faciliten su descubrimiento. Por supuesto, el tipo de preguntas dependerá mucho del nivel de los alumnos para los que estamos diseñando el cuestionario:

El triángulo AOB es isósceles. ¿Por qué?
La suma de esos dos ángulos amarillos es el ángulo suplementario del ángulo naranja. ¿Por qué?
El ángulo suplementario del ángulo naranja es el azul. ¿Por qué? De aquí se deduce que el ángulo azul es igual a la suma de los ángulos amarillos, es decir, mide el doble que el ángulo inscrito en A.

Aparentemente, al demostrar el resultado en la posición 1, no hemos avanzado gran cosa para la demostración general, ya que la posición 1 es muy particular. Sin embargo, veremos que esa posición es clave, ya que nos va a permitir reconducir cualquier otra posición a ella. Veamos la posición 2.

Paso 2: segunda posición

En esta segunda posición, el diámetro que pasa por A divide en dos partes cada uno de los ángulos que queremos comparar. A cada parte le podemos aplicar el razonamiento anterior.

Razonamiento: si el centro O es interior al ángulo amarillo, este será la suma de dos ángulos apoyados en el diámetro, para los cuales ya estaba demostrado el resultado; como la "suma de los dobles" es lo mismo que el "doble de la suma", el ángulo azul será también el doble del amarillo.

A partir del razonamiento, creamos la pregunta dirigida:

Aplicando lo descubierto en la posición 1, ¿puedes deducir entonces que el ángulo central azul es el doble que el ángulo inscrito amarillo?

Paso 3: tercera posición

En esta tercera posición, cada uno de los ángulos que queremos comparar se puede poner como diferencia de dos ángulos que se apoyan en el diámetro. A cada uno de ellos le podemos aplicar el razonamiento de la posición 1.

Razonamiento: si el centro O es exterior al ángulo amarillo, este será la diferencia de dos ángulos apoyados en el diámetro, para los cuales ya estaba demostrado el resultado; como la "diferencia de los dobles" es lo mismo que el "doble de la diferencia", el ángulo azul será también el doble del amarillo.

A partir del razonamiento, creamos la pregunta dirigida:

Aplicando lo descubierto en la posición 1, ¿puedes deducir entonces que el ángulo central azul es el doble que el ángulo inscrito amarillo?

Paso 4: conclusión

Hemos terminado la demostración, pero falta explicar por qué.

Razonamiento: dado un ángulo inscrito cualquiera, el centro O puede estar en uno de los lados del ángulo, en el interior del ángulo o en el exterior del ángulo. No hay más posibilidades, y en todas ellas ha sido demostrado que el ángulo central correspondiente mide el doble.

A partir del razonamiento, creamos las preguntas dirigidas:

De estos tres casos (posiciones 1, 2 y 3), ¿puedes deducir que entonces siempre va a suceder que el ángulo central medirá el doble que el ángulo inscrito que abarque el mismo arco BC?
Otra conclusión a la que podemos llegar es que todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco BC miden lo mismo. ¿Por qué?

Paso 5: caso particular importante

Una consecuencia ("corolario") del resultado que hemos demostrado es un importante caso particular, conocido como "Teorema de Tales" en los países anglosajones (ese resultado se conoce aquí como "Segundo Teorema de Tales" o sencillamente no se le da ningún nombre, no confundir con nuestro "Teorema de Tales" , el de la canción de Les Luthiers sobre la proporcionalidad de segmentos).

Corolario: todo ángulo inscrito que abarque media circunferencia es recto.

A partir del enunciado, creamos las preguntas dirigidas:

Mueve A. ¿Cuánto vale el ángulo inscrito amarillo, con vértice en A, que abarca el arco BC? ¿Siempre mide lo mismo? ¿Es un caso particular de lo que plantea la pregunta 7?
Completa un enunciado de este importante caso particular rellenando el hueco: "Dada una circunferencia, cualquier punto de ella formará con los extremos de cualquier diámetro un ángulo de _________ grados."
Vuelve a escribir este importante caso particular de otra forma, rellenando el hueco: "Cualquier triángulo inscrito en una circunferencia que tenga su diámetro como uno de los lados será un triángulo ______________".

Ítem didáctico

Veamos nuestro ítem completo:

Clic en la imagen para abrir el ítem didáctico

Propuesta de trabajo

Crear una batería de preguntas partiendo de esta versión dinámica de la proposición 47 del libro I de los Elementos de Euclides (teorema de Pitágoras) con los colores del libro de Oliver Byrne .

Clic en esta imagen abre la construcción de GeoGebra

Comentarios

Tradicionalmente se asocia "preguntar" con "evaluar", esto es, se contempla la función de la pregunta casi exclusivamente como modo de comprobar si se conoce o desconoce alguna cosa. Sin embargo, las preguntas graduales, secuenciales, intencionadamente constructivas, resultan muy útiles para la propia adquisición del conocimiento si se realizan en un medio que permita al estudiante el ensayo y la observación, la exploración, antes de aventurar una respuesta.

Investigación:

Existe cierta similitud entre las preguntas dirigidas en un ítem didáctico y el "método socrático" para valorar la veracidad de una afirmación. Sin embargo, a diferencia de este último, los discípulos no cuentan solamente con su poder argumentativo para alcanzar el descubrimiento, sino que pueden ayudarse de las observaciones obtenidas al interactuar con el applet. Busca en Internet información sobre la naturaleza y procedimientos del método socrático y analiza en qué aspectos se asemeja y en cuáles difiere del método seguido en el ítem didáctico.