Livro de GeoGebra (português)

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FACILIDADE: Geometria CAS Distâncias Equidistâncias Distâncias constantes Eqs. algébricas e inequações Ângulos Distância do táxi Corpos   VERSATILIDADE Listas de poligonais   FLEXIBILIDADE: Geometria Elástica Geometria elástica Newton's Principia Tensegridades

Resumo   Desde o seu início, o GeoGebra foi projetado especificamente para mostrar a representação dual, gráfica e algébrica, dos objetos matemáticos. Nesta apresentação, com foco central, vou destacar alguns procedimentos que exploram as possibilidades didáticas dessa dualidade.   Esses procedimentos, apresentados a estudantes de 15 ou 16 anos, são tão simples, atraentes e rápidos de criar que permitem que os próprios alunos os gerem e utilizem do zero... com grande sucesso!   Apesar de sua simplicidade, veremos que são tão poderosos que nos permitem mergulhar em profundidades matemáticas praticamente inabordáveis na sala de aula do ensino médio sem a ajuda do GeoGebra, desde estruturas algébricas (como corpos) até métricas não euclidianas (como a distância do táxi).

Nota: Todas as construções GeoGebra vinculadas a esta página web foram criadas pela pessoa que as apresenta aqui. Nenhuma delas, exceto a construção Bolhas, faz uso de programação JavaScript.

O autor

Em meus 40 anos de ensino como Professor de Ensino Médio, na busca por incentivar o interesse dos alunos, pesquisei a relação das Matemáticas com outras áreas tão diversas quanto Jogos , Percepção e Música . A chegada da Geometria Dinâmica trouxe novas e grandes oportunidades para atrair os estudantes e promover a criação de suas próprias construções.

 

Minha relação com o GeoGebra remonta a 2005, quando conheci este programa criado por Markus Hohenwarter [7], embora já tivesse trabalhado com outros programas de geometria dinâmica. Dois anos depois, em 2007, o professor Tomás Recio me convocou para o Centro Internacional de Encontros Matemáticos (CIEM , Cantábria) que reuniu, entre outros, vários professores de ensino médio espanhóis pioneiros no uso educacional da geometria dinâmica. Nessa reunião, defendi a eficácia do GeoGebra [10] em comparação com outros programas como o Cabri. Uma consequência desse encontro foi a formação do grupo G⁴D , composto por J.M. Arranz , J.A. Mora , M. Sada  e eu  .

 

Dois anos depois, a partir do Ministério da Educação da Espanha, Antonio Pérez , na época diretor do Instituto de Tecnologias Educacionais (ITE, hoje INTEF ), me encarregou de realizar cursos de formação em GeoGebra para professores do Ensino Fundamental e Médio [11, 13], bem como a criação de um conjunto de atividades completas (introdução ao tópico, construção a ser explorada e questionário) para os alunos, classificadas por temas e níveis, que denominamos Projeto Gauss [14, 1]. Simultaneamente, Tomás Recio lançou o primeiro Instituto GeoGebra em língua espanhola, o Instituto GeoGebra de Cantábria , do qual sou instrutor desde sua fundação.

 

Introdução

O principal objetivo desta conferência é mostrar a estreita relação entre procedimentos algébricos e geométricos usando o GeoGebra. Grande parte do tempo será dedicada à apresentação de atividades que podem ser abordadas por estudantes do ensino secundário por meio de construções feitas por eles mesmos. Além de poderem ser usadas esporadicamente para explorar conteúdos específicos, esse tipo de construção ganha todo o seu poder educacional em um ensino de matemática baseado na aquisição de competências.

Na primeira parte desta apresentação, detalharei procedimentos muito simples que exploram a forte interconexão entre geometria e álgebra que dá nome ao GeoGebra (daí o título de Principia) e permitem que estudantes do ensino secundário (por volta dos 15 ou 16 anos) realizem explorações matemáticas que, "em princípio", estão além de seu alcance, deixando as poderosas ferramentas do GeoGebra realizarem os cálculos álgebro-geométricos complexos, da mesma forma que atualmente deixamos calculadoras e folhas de cálculo realizar cálculos aritméticos complexos e tediosos.

 

Especificamente, a facilidade com que podemos criar retas e circunferências paralelas nos ajudará a construir um offset dinâmico cujo traço colorido permite visualizar uma variedade de lugares geométricos. Ao mesmo tempo, o CAS (Sistema de Álgebra Computacional), aplicado a distâncias euclidianas, nos auxiliará na criação de curvas implícitas que se ajustam a esses lugares. Também veremos como, em algumas ocasiões, essas curvas implícitas podem ser convertidas em equações e inequações.

 

Ampliaremos o uso do CAS para lidar com ângulos e também abordaremos outras distâncias não euclidianas, como a distância do táxi.

 

Encerraremos esta primeira parte com um exemplo recíproco, no qual recorrer à geometria nos ajudará a visualizar e manipular os conceitos e propriedades inerentes à estrutura algébrica de um corpo.

 

Na segunda parte, apresentarei algumas ideias para realizar construções um pouco mais sofisticadas, mas não menos atrativas, que podem servir como modelos a serem analisados ou modificados pelos alunos.

 

Primeiro, veremos como as listas no GeoGebra facilitam a incorporação de uma grande quantidade de dados. Como exemplo, representaremos a linha costeira dos continentes em uma única lista, criando um modelo da Terra.

 

Em seguida, usaremos vetores para modificar instantaneamente a posição dos pontos de acordo com nossos interesses, graças aos scripts do GeoGebra. Esses vetores podem ser usados para combinar forças repulsivas (como partículas com a mesma carga), forças atrativas (como as usadas por Newton para formular sua lei da gravitação universal) ou simplesmente forças reativas (como em colisões elásticas).

 

Além disso, podemos usar vetores para criar uma "geometria elástica". Nessa abordagem, os pontos não têm uma posição definida, mas sua posição em cada momento é o resultado da aplicação das forças mencionadas. Por exemplo, na geometria elástica, um ponto não "está" em uma circunferência, mas é irresistivelmente atraído por ela, tendo "seu limite" nela.

 

Por fim, como aplicação desse tipo de geometria elástica, veremos exemplos de construção de tensegridades.

 

FACILIDADE: Geometria CAS

GeoGebra: Geometria e Álgebra

Desde o seu nascimento, o GeoGebra permite a construção rápida e simples de modelos geométricos, o que facilita tanto a aprendizagem quanto o ensino e a pesquisa. Essa facilidade promove o efeito IKEA (valorizamos mais o que somos capazes de construir por nós mesmos, daí o sucesso dos jogos clássicos de construção, como o Meccano ou o Lego). Aqui é mostrada uma das construções que apresentei na reunião de 2007 no CIEM [9] e que usei para defender o uso deste programa no ensino. Escolhi esta construção porque Markus a popularizou, mantendo-a por anos como parte do cabeçalho do site oficial do GeoGebra .

 

Desde então, o GeoGebra se desenvolveu enormemente. Podemos construir uma infinidade de modelos e aplicativos relacionados a áreas como Aritmética, Equações, Funções, Isometrias, Variável Complexa, Estatística, Probabilidade...

 

A variedade de procedimentos também é enorme: desde cortar um hipercubo em fatias [15] até demonstrar automaticamente uma proposição [12, 17, 18, 28].

 

É evidente que o que caracteriza a geometria dinâmica é precisamente o seu dinamismo. Assim como na maioria dos animais que possuem um sistema visual, a evolução levou a que um alerta mental seja acionado quando qualquer objeto ou ser em nosso ambiente entra em movimento. Portanto, o movimento é um meio natural e excelente para focar a atenção.

 

No entanto, como podemos visualizar facilmente lugares geométricos sem recorrer a construções complexas ou usar equações algébricas complicadas? Veremos que uma possível resposta é usar o CAS.

Distâncias

O conceito matemático sobre o qual vou me concentrar é um conceito fundamental: a distância.

 

Ao colocar um ponto em um espaço, o conceito de distância a ele se comporta como o que os físicos chamam de "campo": não se manifesta até que introduzamos outro objeto nele.   Usaremos dois procedimentos simples para visualizar lugares geométricos relacionados com a distância: a criação de curvas implícitas e o uso do offset dinâmico com traço ativado.

 

Método clássico: sequências de curvas paralelas (offset estático)

Utilizando o comando VetorUnitárioPerpendicular (e seu vetor oposto), é simples criar sequências de retas paralelas a uma reta, a distâncias progressivas. Para cada reta r, encontramos um par de sequências:

 

 

Sequência(Translação(r,  k VetorUnitárioPerpendicular(r)), k, 0, 20, 0.2)

Sequência(Translação(r, –k VetorUnitárioPerpendicular(r)), k, 0, 20, 0.2)

 

Graças ao comando VetorCurvatura e à ferramenta Lugar Geométrico, podemos generalizar o paralelismo para muitas curvas (offset ). Se P é um ponto na curva c, as duas curvas paralelas a uma distância k serão dadas pelo lugar geométrico dos pontos:

 

P ± k VetorUnitário(VetorCurvatura(P, c))

 

Note que, em geral, as curvas offset não são congruentes com a curva original. Ou seja, as curvas paralelas não são simples translações, a menos que sejam retas.

 

Mas, no caso da circunferência (com centro em O e raio 4), cujo offset também é uma circunferência, não precisamos do comando VetorCurvatura ou da ferramenta Lugar Geométrico, pois basta variar adequadamente o raio da circunferência original:

 

Sequência(Circunferência(O, 4 + k), k, 0, 20, 0.2)

Sequência(Circunferência(O, 4 – k), k, 0, 20, 0.2)

 

Além disso, se considerarmos um ponto O como uma circunferência de raio 0, obtemos uma única sequência de offsets centrados nele:

 

Sequência(Circunferência(O, k), k, 0, 20, 0.2)

 

Resumindo: podemos facilmente criar sequências de curvas paralelas a retas, circunferências e pontos.

Offset dinâmico com traço ativado

Agora, substituiremos cada sequência de curvas paralelas por uma única curva paralela dinâmica. Como antes, usando o comando VetorUnitárioPerpendicular (e seu vetor oposto), é simples criar curvas paralelas a uma reta, a uma distância d dada.

 

Para cada reta r, encontramos um par de curvas paralelas:

 

Translação(r,  d VetorUnitárioPerpendicular(r))

Translação(r, –d VetorUnitárioPerpendicular(r))

 

Graças ao comando VetorCurvatura e à ferramenta Lugar Geométrico, podemos generalizar o paralelismo para muitas curvas (offset). Se P é um ponto na curva c, as duas curvas paralelas a uma distância d serão determinadas pelo lugar geométrico dos pontos:

 

P ± d VetorUnitário(VetorCurvatura(P, c))

 

Observemos que, em geral, as curvas offset não são congruentes com a curva original. Ou seja, as curvas paralelas não são simples translações, a menos que sejam retas.

 

Mas, no caso da circunferência (com centro em O e raio 4), cujo offset também é uma circunferência, não precisamos do comando VetorCurvatura ou da ferramenta Lugar Geométrico, pois basta variar adequadamente o raio da circunferência original:

 

Circunferência(O, 4 + d)

Circunferência(O, 4 – d)

 

Além disso, se considerarmos um ponto O como uma circunferência de raio 0, obtemos um único offset centrado nele:

 

Circunferência(O, d)

 

Resumindo: podemos facilmente criar offsets de retas, circunferências e pontos.

 

Também podemos criar os pontos de interseção entre dois objetos e o Lugar Geométrico (Locus) correspondente. O problema com o uso do comando ou da ferramenta Lugar Geométrico é que, em muitas situações mais complicadas do que a mostrada aqui, não é possível utilizá-los adequadamente.

 

Como o GeoGebra é um programa de Geometria Dinâmica, não apenas podemos mover objetos geométricos à vontade, mas também podemos estabelecer animações automáticas [22].

 

Para fazer isso, ativamos o traço do offset e escolhemos um valor d decrescente (oposto a um seletor "incrementar uma vez"). Nota: alternativamente, podemos escolher um valor de d crescente (incrementar uma vez) e atribuir a ele uma velocidade de -1 em vez de 1.

 

Dessa forma, ao fazer offset simultaneamente em um ponto e uma reta, por exemplo, podemos visualizar a parábola por contraste de cor.

 

A vantagem do offset em relação à curva implícita, que veremos a seguir, é que nos permite interromper a reprodução do procedimento a qualquer momento e observar como os traços das linhas se cruzam para entender por que esses pontos de interseção fazem parte do lugar geométrico procurado.

 

Curvas implícitas a partir de definições em CAS

Uma parábola pode ser definida como o lugar geométrico dos pontos no plano que estão equidistantes de uma reta (diretriz) e um ponto externo a ela (foco). Localizar um ponto (o vértice) é fácil, mas como localizar os outros?

 

 

Com o GeoGebra, podemos criar um ponto livre para explorar o terreno e marcar as posições onde as distâncias são iguais. Isso é muito didático, mas depois de vários exercícios pode se tornar tedioso.

 

Alternativamente, podemos construir um ponto genérico que crie o lugar geométrico, mas essa construção só servirá para este caso ou casos semelhantes.

 

Também podemos criar a curva implícita definindo, na folha CAS, um ponto arbitrário X(x,y):

 

X:= (x, y)

 

a distância de X ao foco F:

 

XF(x,y):= Distância(X, F)

 

 

a distância de X à diretriz r:

 

Xr(x,y):= Distância(X, r)

 

 

e igualando ambas distâncias:

 

XF – Xr = 0

 

 

O GeoGebra utiliza algoritmos numéricos para criar essa curva implícita, portanto, em alguns casos, podem ocorrer pequenos erros ou omissões.

Nota: Pelo menos por enquanto, o GeoGebra não representa equações desse tipo em três variáveis. Ou seja, ele reconhece  x² + y² + z² = 16 como uma esfera, mas não reconhece como tal a equação equivalente (sqrt(x² + y² + z²))² = 16.

 

Equidistâncias

Agora só precisamos usar essas ferramentas simples para investigar uma variedade de situações com sua ajuda.

 

Daqui para frente, consideramos definidas as distâncias de um ponto arbitrário X(x,y) a A e B como:

 

XA(x,y):= Distância(X, A)

XB(x,y):= Distância(X, B)

 

a uma reta r como:

Xr(x,y):= Distância(X, r)

 

e a uma circunferência c como:

 

Xc(x,y):= Distância(X, c)

Equidistância a dois ou três pontos

Ao contrair as circunferências com o traço ativado, em cada ponto do plano permanece a cor correspondente ao centro mais próximo, assim obtemos a mediatriz.

 

A curva implícita da mediatriz de AB tem a seguinte equação:

 

XA – XB = 0

 

No caso de três pontos, podemos visualizar o circuncentro [2] do triângulo que eles determinam.

 

Equidistância a um ponto e uma circunferência

Se o ponto estiver dentro do círculo, obtemos uma elipse, e se estiver fora, obtemos um braço de hipérbole.

 

A curva implícita da elipse ou do braço de hipérbole tem a seguinte equação:

 

XA – Xc = 0

 

Note que uma construção semelhante à da parábola também nos permite gerar esse lugar geométrico.

 

Equidistância entre duas retas

Ao aproximar simultaneamente retas paralelas, com o traço ativado, a cor correspondente à reta mais próxima é preservada, resultando nas bissetrizes. No caso de três retas, podemos visualizar o incentro e os exincentros do triângulo que elas formam.

 

Como caso particular, podemos visualizar o eixo medial de um polígono como uma fronteira (composta por segmentos e arcos de parábolas) entre os traços sobreviventes.

 

Da mesma forma que mencionado anteriormente, também podemos visualizar e construir facilmente o lugar geométrico correspondente à bissetriz.

Equidistância entre reta e circunferência e entre duas circunferências

O lugar geométrico dos pontos que equidistam de uma reta e de uma circunferência é geralmente formado por uma parábola, ou, se elas se interceptam, por duas parábolas.

 

O lugar geométrico dos pontos que equidistam de duas circunferências é geralmente formado por um braço de hipérbole ou, se elas se interceptam, por uma elipse.

 

Diagrama de Voronoi e mapas similares

Embora a curva implícita seja mais rápida de criar e usar, o método de offset permite lidar com problemas que a curva implícita não pode abordar. Por exemplo, se em vez da equidistância entre dois pontos (mediatriz), aplicarmos o método de offset a vários pontos, obtemos o diagrama de Voronoi (ou polígonos de Thiessen).

 

Da mesma forma, também podemos criar o mapa das regiões mais próximas a uma coleção de retas ou circunferências.

Nota: O comando Voronoi no GeoGebra não colore cada região. É possível ver uma maneira dinâmica de fazê-lo aqui .

Equidistância entre duas curvas

Podemos aplicar o método de offset a duas curvas, desde que possamos calcular o vetor normal em cada ponto de ambas.

 

No caso em que não possamos calcular os vetores normais, sempre podemos criar um mapa de calor usando a técnica do scanner de cores dinâmicas [3, 19, 26, 27, 31].

 

Distâncias constantes

Ponto-Ponto

Quando a soma das distâncias dos pontos do lugar desejado aos pontos A e B é constante, obtemos uma elipse.

 

Quando a diferença das distâncias dos pontos do lugar desejado aos pontos A e B é constante, obtemos um braço de hipérbole. (No caso em que a constante seja 0, obtemos a mediatriz.)

 

Quando o produto das distâncias dos pontos do lugar desejado aos pontos A e B é constante, obtemos um oval de Cassini . Se a constante coincidir com o quadrado da metade da distância AB, obtemos uma lemniscata de Bernoulli .

 

Quando o quociente das distâncias dos pontos do lugar desejado aos pontos A e B é constante, obtemos, surpreendentemente , uma circunferência. (No caso em que a constante seja 1, obtemos a mediatriz.)

 

Quociente constante ponto-reta

Quando a razão das distâncias dos pontos do lugar procurado ao ponto A e à reta r é uma constante k, obtemos uma cônica, que será uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole, dependendo do valor de k (excentricidade) ser menor, igual ou maior que 1, respectivamente .

 

Combinação linear constante

Podemos generalizar as somas e diferenças para qualquer combinação linear de distâncias entre pontos, ponto e reta, ponto e circunferência, etc.

 

Dessa forma, surgem cônicas e quárticas (ovais cartesianos, produtos de retas...), o caracol de Pascal , bem como curvas de grau superior resultantes das anteriores.

 

Soma constante de três ou quatro pontos

No caso da soma constante k das distâncias aos três pontos A, B e C, basta introduzir:

 

XA + XB + XC = k

 

Para realizar o offset, o que fazemos é sobrepor o traço das elipses Elipse(A, B, (k–h)/2) com as circunferências Circunferência(C, h), onde h é um parâmetro real positivo que diminui do valor k até zero. Os pontos de fronteira coloridos serão então exatamente os pontos que satisfaçam:

Elipse(A, B, (k–h)/2) = Circunferência(C, h)

Isso é equivalente a que a soma das distâncias desses pontos a A, B e C seja exatamente a quantidade pré-determinada k (pois XA + XB = k – h, XC = h). Dessa forma, conseguimos mostrar uma 3-elipse . No caso de quatro pontos, os traços de duas elipses se sobrepõem, determinando uma 4-elipse.

Nota: Uma abordagem algébrica dessa situação, também com o GeoGebra, pode ser vista neste artigo [8] de Zoltán Kovács.

Eqs. algébricas e inequações

Equidistância a um ponto e uma circunferência: equação algébrica

Anteriormente, definimos diretamente a distância de um ponto X(x,y) à circunferência c como:

 

Xc(x,y):= Distância(X, c)

 

Com isso, a equação para os pontos equidistantes de um ponto e uma circunferência se reduz a:

 

XA – Xc = 0

 

Se a circunferência tem centro O e raio s, podemos redefinir a equação anterior como:

 

|XO – s| = XA

 

Essa redefinição nos permitirá visualizar as duas ramificações da hipérbole. Para isso, basta transformar a equação irracional anterior em uma equação algébrica, elevando ao quadrado para eliminar as raízes (atingir a expressão a seguir é fácil, pois não requer processos de agrupamento, simplificação ou cancelamento, mas também não há problema em ajudar estudantes com poucos recursos em álgebra a resolver este pequeno exercício, o resultado vale a pena):

 

(XA² – XO² – s²)² = 4s² XO²

 

As equações algébricas também têm a vantagem de permitir representar as respectivas inequaçãos sem recorrer ao offset. Para isso, basta definir:

 

XA2(x,y) := Simplificar(XA^2)

 

XO2(x,y) := Simplificar(XO^2)

 

Dessa forma, podemos introduzir as inequaçãos:

 

(XA2 – XO2 – s²)² < 4s² XO2

(XA2– XO2 – s²)² > 4s² XO2

Restrições na representação de desigualdades

No entanto, nem sempre a equação algébrica permite que o GeoGebra represente as inequaçãos correspondentes. Conforme aparece no manual oficial , essa representação está limitada aos seguintes casos:

 

 

• inequaçãos polinomiais em uma variável, como x³ > x + 1

• inequaçãos quadráticas em duas variáveis, como x² + y² + x y < 4

• inequaçãos ineares em uma das variáveis, como 2x > sen(y)

 

Ao encontrar a equação algébrica correspondente a XA – XB = k, obtemos a mesma equação correspondente a XA + XB = k:

 

4 XB2 XA2 = (k² – XA2 – XB2)²

 

Esta equação se reduz a uma equação quadrática em duas variáveis, o que permite ao GeoGebra representar suas inequaçãos correspondentes.

Nota: A equação quadrática comum à elipse e à hipérbole não é nada mais do que a equação geral da cônica:

a x² + b x y + c y² + d x + e y + f = 0

na qual a elipse e a hipérbole se distinguem apenas pelo sinal do discriminante b² – 4 a c.

No entanto, a equação algébrica correspondente a XA XB = k não representa uma cônica, portanto, o GeoGebra não pode representar as inequaçãos correspondentes. Por outro lado, a equação algébrica correspondente a XA = k XB novamente é uma cônica, o que permite ao GeoGebra representar as inequaçãos correspondentes.

 

Somas iguais de distâncias a dois pares de pontos

Se introduzirmos XA + XB = XC, o lugar geométrico resultante corresponde à interseção de uma família de elipses XA + XB = k e uma família de circunferências XC = k, à medida que o parâmetro k varia.

 

No caso de quatro pontos, XA + XB = XC + XD corresponderá à interseção de duas famílias de elipses.

Nota: Os valores mínimo e máximo de k que garantem a existência de interseção não são simples de calcular. Um enfoque aproximado pode ser visto em [6].

Também é mostrado o caso XA + XB = XR, assim como a representação das equações algébricas correspondentes.

 

Famílias de curvas

Em resumo, o campo a explorar pode ser expandido indefinidamente. Como últimos exemplos envolvendo distâncias, aqui podemos observar alguns resultados com potências.

 

É fácil demonstrar que a representação de XA2 + XB2 = k, com k constante, é uma circunferência centrada no ponto médio de A e B.

Nota: O raio dessa circunferência é sqrt(k/2 − (x(A-B)/2)² − (y(A-B)/2)²).

Disso, concluímos que o lugar onde a soma dos quadrados das distâncias a vários pontos é constante é uma circunferência centrada no ponto médio desses pontos.

 

Além disso, tomando D = XA2, podemos observar que a representação no plano real de qualquer polinômio p(D) é composta exclusivamente por uma ou mais circunferências.

Nota: Isso é uma consequência do teorema fundamental do álgebra, uma vez que p(D) pode ser decomposto em fatores (D − c), onde c é um número complexo. Se c for real e não negativo, então D − c = 0 corresponde a uma circunferência com raio igual à raiz quadrada de c; caso contrário, nada é visualizado.

Aqui também vemos que podemos representar várias curvas de uma mesma família, como, por exemplo, XAⁿ = XB, e observar seu comportamento simultaneamente.

 

 

 

Ângulos

A seguinte é uma das imagens geradas usando o scanner de cores dinâmico que mais gosto. O scanner possui uma versatilidade incrível e é capaz de criar um mapa de calor de praticamente qualquer situação. [3, 19, 26, 27, 31].

 

 

Neste caso, o primeiro ponto isogónico I₁ é visualizado através da interseção dos lugares geométricos dos pontos a partir dos quais se vê sob o mesmo ângulo cada par de lados do triângulo.

Nota: I₁ coincide com o ponto de Fermat quando o maior ângulo do triângulo não excede 120º; caso contrário, o ponto de Fermat coincide com o vértice correspondente a esse ângulo. Pode ser calculado diretamente como o centro X(13) do triângulo:

 

I₁ = PontosNotáveisdoTriângulo(O, A, B, 13).

 

Entretanto, construir o scanner demanda algum trabalho. No entanto, podemos usar o CAS para não apenas definir distâncias, mas também ângulos. Se alguém ainda acha que usar a expressão XA em vez da expressão sqrt((x − x(A))² + (y − y(A))²) também não economiza tanto trabalho, talvez agora repense, já que pode usar a expressão OXA, definida na folha CAS como:

 

 

OXA(x,y):= Ângulo(O, X, A)

 

 

em vez de sua equivalente algébrica (sendo O=(a, b) e A=(c, d)):

cos^–1((a c – a x + b d – b y – c x – d y + x² + y²) sqrt(a² c² – 2a² c x + a² d² – 2a² d y + a² x² + a² y² – 2a c² x + 4a c x² – 2a d² x + 4a d x y – 2a x³ – 2a x y² + b² c² – 2b² c x + b² d² – 2b² d y + b² x² + b² y² – 2b c² y + 4b c x y – 2b d² y + 4b d y² – 2b x² y – 2b y³ + c² x² + c² y² – 2c x³ – 2c x y² + d² x² + d² y² – 2d x² y – 2d y³ + x⁴ + 2x² y² + y⁴) / (a² c² – 2a² c x + a² d² – 2a² d y + a² x² + a² y² – 2a c² x + 4a c x² – 2a d² x + 4a d x y – 2a x³ – 2a x y² + b² c² – 2b² c x + b² d² – 2b² d y + b² x² + b² y² – 2b c² y + 4b c x y – 2b d² y + 4b d y² – 2b x² y – 2b y³ + c² x² + c² y² – 2c x³ – 2c x y² + d² x² + d² y² – 2d x² y – 2d y³ + x⁴ + 2x² y² + y⁴))

Naturalmente, essa expressão não passa de um desenvolvimento deduzido do produto escalar de dois vetores:

vO(x,y):= Vetor(X, O)
vA(x,y):= Vetor(X, A)
OXA(x,y):= acos((vO vA)/(|vO|*|vA|))

A grande vantagem, além da conveniência, reside no fato de que o comando Ângulo nos permite explorar as relações angulares sem precisar conhecer sequer as operações básicas com vetores, como o produto escalar.

 

Aqui, por exemplo, podemos ver o lugar geométrico correspondente aos pontos que formam com o segmento OA um ângulo igual (em radianos) à distância até o ponto A:

 

OXA − XA = 0

Nota: As circunferências cujos arcos abrangem um ângulo OXA equivalente a XA radianos têm centros em:

 

(O + A)/2 ± VetorPerpendicular(OA)/(2 tan(XA))

E aqueles que veem os segmentos OA e OB do mesmo ângulo:

 

OXA − OXB = 0

 

Finalmente, a interseção deste último lugar geométrico com o correspondente à equação OXA – AXB = 0 é o ponto de Fermat procurado.

Distância do táxi

Nota: Esta seção surgiu devido ao confinamento decretado em Espanha em 2020, em resposta à pandemia de covid-19. A Conselharia de Educação das Astúrias, onde eu trabalhava como professor, decidiu substituir as aulas presenciais por aulas remotas, ao mesmo tempo que decretou a proibição de avançar com o currículo em qualquer disciplina. Isso me levou a buscar um campo de exploração matemática fora do currículo oficial, mas acessível aos alunos do 4º ano do Ensino Secundário (com 15 ou 16 anos). Para os alunos, foi um incentivo saber que estavam investigando um tópico praticamente desconhecido para a grande maioria dos professores de matemática. Além disso, a mudança na métrica trouxe muitas surpresas e perguntas. Uma festa matemática.

Agora, vamos sair da métrica euclidiana familiar:

 

A distância do táxi (ou Manhattan) é especialmente simples de introduzir como projeto de pesquisa no ensino secundário, uma vez que sua forma algébrica se reduz a equações lineares.

 

Distâncias de Minkowski

A forma da circunferência é determinante em qualquer geometria plana. Aqui vemos a definição da distância de Minkowski de um ponto arbitrário X(x, y) até a origem O.

 

XO(x,y):= (|x|^p+|y|^p)^1/p

 

Para p = 2, temos a distância euclidiana. Para p = 1, temos a distância do táxi. Variando p, podemos observar como a forma da circunferência evolui em cada caso.

Geometria do Táxi

Efetivamente, como Magritte diria, C'eci n'est pas un disque (isto não é um disco) , mas veremos que pode ser a representação de um círculo se considerarmos a métrica do Táxi.

 

Vou usar os prefixos T e E para distinguir a métrica do Táxi da métrica Euclidiana.

Nota: Embora um T-círculo tenha uma forma quadrada, Magritte ainda afirmaria, com razão, que o T-círculo que vemos é apenas uma representação, uma imagem do disco; mas aqui, ao contrário de uma pipa, o disco representado é uma abstração mental (uma forma matemática ideal) em vez de algo material, o que torna a possível confusão ainda maior.

Na métrica do Táxi (ou Manhattan ) as distâncias são medidas na horizontal e vertical, nunca na diagonal. Assim, a T-distância de um ponto arbitrário (x, y) ao ponto O é a soma das diferenças horizontais e verticais, em valor absoluto, de suas coordenadas:

 

XO(x,y) := |x – x(O)| + |y – y(O)|

 

Ao contrário do que ocorre na métrica euclidiana, o GeoGebra não possui o comando T-distância implementado, portanto, teremos que formular "manualmente" tanto a distância entre dois pontos quanto a distância entre um ponto e uma reta, fornecendo ambas as fórmulas aos alunos.

 

Assim como o GeoGebra representa um segmento ajustando-o à grade de pixels da tela, podemos imaginar um segmento na diagonal composto por segmentos horizontais ou verticais tão pequenos quanto desejarmos: a T-distância entre dois pontos B e C não mudará.

 

A T-distância entre B e C também será a mesma para qualquer arco crescente ou decrescente de uma função cujo gráfico vá de B a C.

Na geometria do táxi, pode haver infinitos caminhos mínimos entre dois pontos diferentes.

Tudo isso não simplifica a geometria, mas a complica. Isso ocorre porque o comprimento de cada segmento não é uniforme na direção, mas depende de sua inclinação.

 

Na E-ilusão mostrada [21], o quadrado azul parece variar de tamanho, mas isso é apenas um problema de percepção que desaparece quando vemos completamente seus lados (clique no quadrado azul). Explicação: quando os cantos são visíveis, estimamos o tamanho do quadrado pela diagonal; quando não são visíveis, o avaliamos pela distância entre lados opostos (comprimento do lado).

 

No entanto, na geometria do táxi, o quadrado azul realmente varia sua área dependendo da inclinação de seus lados (enquanto o T-comprimento de seus lados e seus ângulos permanecem constantes).

 

Analisando o quadrado em detalhes, vemos que o T-perímetro do quadrado azul e do quadrado amarelo é o mesmo, mas a área não é: a área do quadrado amarelo é (b + c)², mas a área do quadrado azul é b² + c², que é mínima quando b = c. Portanto, na geometria taxista, as T-áreas coincidem com as E-áreas, mas:

A área de um T-quadrado NÃO é igual, em geral, ao quadrado do lado.

Podemos imaginar a T-circunferência como uma compressão da E-circunferência. Devido ao fato de que o T-comprimento não é uniforme em cada direção, a T-circunferência é comprimida em uma forma quadrada, com suas diagonais paralelas aos eixos cartesianos.

 

T-construções básicas

Se fixarmos um ponto O no plano, podemos considerar a distância do táxi do restante dos pontos para O.

 

Como vimos, os pontos que estão T-equidistantes de O formam um quadrado (com diagonais paralelas aos eixos). Se o raio for r, o perímetro é 8r, então a razão entre a T-circunferência e o seu T-diâmetro é 4 (em vez de 𝜋).

 

Ao fixar outro ponto I diferente de O, estabelecemos uma orientação de O→I e uma reta. Tomaremos a T-distância de O a I como unidade. Podemos continuar pensando nas T-retas como se fossem E-retas, já que apenas o modo de medir cada segmento muda. Lembre-se de que os pixels fazem com que a própria reta desenhada pelo GeoGebra seja composta por segmentos horizontais e verticais!

 

Dado um ponto A na reta r, existe apenas um outro ponto A' a mesma distância de O que A. Este T-simétrico coincide com o E-simétrico.

 

Dado dois pontos distintos A e B, podemos encontrar todos os pontos que estão equidistantes deles.

 

Essa T-mediatriz não coincide com a euclidiana.

 

Ao intersectar a T-mediatriz com a reta, obtemos o ponto médio, que coincide com o ponto médio euclidiano.

 

As perpendiculares e paralelas são as mesmas da geometria euclidiana, mas a projeção ortogonal de um ponto em uma reta não fornece, em geral, o ponto mais próximo na reta. (Além disso, "o ponto mais próximo" também não está unicamente determinado quando a reta tem declive 1 ou -1.)

 

Para realizar uma T-inversão , levamos A e I até a linha horizontal que passa por O, invertemos (x(A), y(O)) na E-circunferência pontilhada, com centro em O que passa por (x(I), y(O)), e criamos triângulos semelhantes que garantem a nova inversão.

 

O T-inverso de A não coincide com o E-inverso de A.

T-ângulos

No T-círculo unitário, podemos definir o T-radiano da mesma forma que definimos um E-radiano no E-círculo. Para T-medir um ângulo, basta medir o T-comprimento do arco (reto) correspondente no T-círculo unitário. Um T-círculo tem 8 T-radianos.
 

 

A perpendicularidade e a paralelismo são preservados sob rotações, mas, em geral, as T-distâncias não são invariantes em relação às E-rotações... nem em relação às T-rotações! De fato, uma das peculiaridades da T-distância é que ela é sensível à orientação das retas: um segmento, quando T-girado, já não mede o mesmo.

 

Quadrinho de Mafalda, por Quino
"Olha, eu penso nisso, e não há jeito!
Como diabos o tempo dobra as esquinas nos relógios quadrados?"

 

A soma dos ângulos de qualquer T-triângulo é de 4 T-radianos. Um T-triângulo pode ser equilátero ou equiangular, mas nunca pode ser regular.

Qualquer E-quadrado também é um T-quadrado. No entanto, como a distância do táxi não é uniforme em qualquer direção, esses dois T-quadrados têm o mesmo perímetro (embora não a mesma área):

 

O quadrado à esquerda é também um T-círculo.
O da direita não o é.

 

As T-funções trigonométricas são muito mais simples do que suas equivalentes euclidianas. Por exemplo, a função T-seno não é apenas transcendental, mas é linear por partes. A função T-tangente é formada, por partes, por E-hipérboles euclidianas.

Nota: Uma possível expressão para a função T-seno é: tsen(x) = 1 - 2 |1/2 - x/4 + 2 floor(1/4 + x/8)|. Assim, a função T-cosseno pode ser definida como tcos(x) = tsen(x+2). A função T-tangente é, por partes, uma função homográfica .

T-equidistâncias

Ao encurtar as T-circunferências com o traço ativado, em cada ponto do plano permanece a cor correspondente ao centro mais próximo.

 

Com vários pontos, podemos visualizar o diagrama de Voronoi e compará-lo com o correspondente à distância euclidiana.

 

Para analisar a equidistância ponto-reta, precisamos conhecer a distância de um ponto (x, y) a uma reta r: a x + b y + c = 0. Essa distância é (esta fórmula é fornecida aos alunos e pode ser introduzida diretamente na folha algébrica):

 

Xr(x,y) = |a x + b y + c| / Máximo(|a|, |b|)

 

Da equidistância ponto-reta surge a T-parábola, enquanto da equidistância ponto-circunferência surgem a T-elipse e a T-hipérbole.

 

Se considerarmos a equidistância em relação aos lados de um polígono, surge o seu esqueleto e o seu eixo medial. Podemos percorrê-lo com um disco bitangente para verificá-lo.

 

Finalmente, também podemos encontrar o caminho T-equidistante entre duas curvas, seja por meio de offset (como mostrado aqui) ou gerando um mapa de calor.

T-cônicas

Como já vimos, a T-circunferência tem a forma quadrada (com as diagonais paralelas aos eixos).

 

A T-elipse tem, em geral, a forma de um octógono. Se A e B estiverem na mesma vertical ou horizontal, ela assume a forma de um hexágono. Quando a soma constante coincide com a T-distância de A para B, a elipse degenera em um retângulo com diagonal AB.

 

A T-parábola é formada, em geral, por duas semirretas (horizontais ou verticais) e dois segmentos.

 

Por último, cada braço da T-hipérbole é formado, em geral, por duas semirretas (horizontais ou verticais) e um segmento.

T-esfera

Uma T-esfera é formada pelos pontos do espaço que estão T-equidistantes do seu centro. Ela tem a forma de um E-octaedro regular (que não é T-regular, já que triângulos T-regulares não existem), com suas diagonais paralelas aos eixos. Também pode ser gerada T-rotacionando uma T-circunferência ao longo do diâmetro horizontal ou vertical.

 

Os lugares geométricos que surgem na geometria do táxi nos convidam a perguntar: o que "algo" precisa ter para ser esse "algo"? O que caracteriza um objeto? Por exemplo, a E-esfera é considerada redonda porque seus pontos estão equidistantes de seu centro, ou ela é redonda devido à uniformidade na direção da distância euclidiana?

T-elipsoide

Um T-elipsoide é o lugar geométrico dos pontos no espaço cuja soma das T-distâncias aos focos é constante (k). Em geral, ele tem a forma de um poliedro com 18 faces retangulares e 8 faces triangulares (E-regulares, mas não T-regulares).

 

O T-elipsoide degenera em um E-cuboctaedro quando as diferenças absolutas das coordenadas dos focos coincidem; degenera em um E-cubo quando essas diferenças também coincidem com k; e degenera em uma T-esfera (E-octaedro regular) quando os focos coincidem.

 

Para certas posições especiais dos focos, um T-elipsoide com todas as suas faces formadas por E-polígonos regulares aparece, mas ele não é um E-poliedro regular nem semirregular, pois seus vértices não são uniformes.

 

Finalmente, quando a T-distância entre os focos é igual a k, obtemos um ortoedro.

Corpos

Vamos voltar à nossa métrica euclidiana familiar. Até agora, usamos álgebra para facilitar a observação de lugares geométricos. Vamos agora ver um exemplo do processo recíproco: usar a geometria para facilitar a observação de estruturas algébricas.

Normalmente, pensamos em estruturas algébricas (grupos, anéis, corpos...) como algo inerente a certas estruturas numéricas, como números inteiros ou números reais.

No entanto, podemos criar facilmente estruturas geométricas equivalentes, com a vantagem de que assim podemos visualizar cada operação aritmética como uma construção geométrica.

Construções preliminares

Se fixarmos um ponto O no plano, podemos considerar a distância (euclidiana) do restante dos pontos até O. Denotaremos OP como a distância de O até P.

Os pontos que equidistam de O formam uma CIRCUNFERÊNCIA.

Ao fixarmos outro ponto I diferente de O, estabelecemos uma DIREÇÃO, uma ORIENTAÇÃO O→I e uma RETA r.

Tomaremos a distância OI como UNIDADE. Além disso, dois pontos na reta limitam uma semicircunferência. Um ponto P está na reta r se cumprir uma das seguintes igualdades:

OI = OP + PI (P está entre O e I)
OP = OI + IP (I está entre O e P)
PI = PO + OI (O está entre P e I)

• Simétrico: Se A está na reta, nela existe apenas outro ponto A' à mesma distância de O que A.

• Mediatriz: Dados dois pontos distintos A e B, podemos encontrar todos os pontos que equidistam deles.

• Ponto médio: Intersectando a mediatriz com a reta r, obtemos o ponto médio M_AB.

• Perpendicular: A mediatriz nos permite traçar perpendiculares (basta traçar a circunferência com centro P em um ponto qualquer de r).

• Paralela: Com duas perpendiculares, obtemos uma reta paralela à r.

• Inversão : Com a circunferência e a perpendicular, podemos construir a inversão de A, A^–1.

O corpo dos pontos de uma reta

Continuaremos com nosso processo de construção da estrutura. Agora definiremos as quatro operações elementares.

• Soma: Para obter A + B, refletimos O em M_AB para obter um novo ponto em r.
• Subtração: Para obter A − B, somamos A + B'.
• Multiplicação: Criamos o produto construindo triângulos semelhantes, obtendo um novo ponto em r.
• Divisão: Para obter A/B, multiplicamos A x B^–1. A divisão não é comutativa.
• Ordem: A simetria I' O I permite definir uma RELAÇÃO DE ORDEM:

A ≤ O :⇔AI' ≤ AI                    A ≤ B :⇔A − B ≤ O

Estrutura: Com base em tudo o que foi mencionado anteriormente, o conjunto de pontos da reta r, dotado das operações de adição e multiplicação definidas dessa maneira, constitui uma estrutura semelhante ("corpo ordenado") à dos números reais ℝ. Na verdade, podemos estabelecer uma bijeção (isomorfismo) entre essas duas estruturas:

(r, O, +, ×) → (ℝ, +, ×)

associando a cada ponto P de r o número real -OP se P<O e o número real OP se P≥O.

Nota: Observamos que não abordamos a questão mais complexa de como construir geometricamente todos os pontos da reta (completude da reta real). Assumimos que a cada ponto corresponde um número e vice-versa. No entanto, se desejarmos restringir-nos aos pontos construíveis com as operações indicadas, podemos estabelecer um isomorfismo desses pontos (que não seria toda a reta) com o corpo dos números construíveis.

Os pontos de uma reta não são os únicos objetos geométricos aos quais podemos atribuir a estrutura de corpo. Podemos aplicar isso a qualquer conjunto de objetos que compartilhem a mesma definição na qual existe apenas um ponto livre residente em uma reta. Abaixo, alguns exemplos.

VERSATILIDADE

Listas de poligonais

As listas permitem agrupar uma grande quantidade de dados em um único objeto. Neste exemplo, as poligonais simples, apesar de não terem a elegância presente em muitas curvas, compensam com a versatilidade proporcionada pela sua organização em uma única lista.

A poligonal fechada estática

Podemos importar grandes quantidades de dados para uma folha de cálculo. Neste caso, 6122 coordenadas geográficas provenientes de dados públicos da North American Cartographic Information Society que, uma vez depuradas em um processador de texto e devidamente organizadas, são convertidas em listas.

 

 

Cada lista de pontos é chamada pelo comando LinhaPoligonal, de modo que, finalmente, obtemos uma lista de poligonais cujos argumentos são listas de pontos. Lembramos que, ao contrário do polígono, os vértices da linha poligonal não precisam estar no mesmo plano. Assim, obtemos um único design: o das costas terrestres. Graças a esse design, transformamos uma esfera anódina em um modelo da superfície terrestre.

Costa = {LinhaPoligonal((5; 3.142; 1.204), (5; 3.117; 1.211), (5; 3.067; 1.22), (5; 3.031; 1.219), (5; 2.975; 1.223), (5; 2.967; 1.216), (5; 2.981; 1.204), (5; 2.96; 1.199), (5; 2.93; 1.214), (5; 2.896; 1.212), (5; 2.863; 1.216), (5; 2.832; 1.215), (5; 2.809; 1.212), (5; 2.787; 1.217), (5; 2.79; 1.23), (5; 2.775; 1.237), (5; 2.74; 1.24), (5; 2.67; 1.236), (5; 2.624; 1.25), (5; 2.609; 1.26), (5; 2.452; 1.271), (5; 2.429; 1.264), (5; 2.441; 1.248), (5; 2.413; 1.25), (5; 2.4; 1.245), (5; 2.366; 1.251), (5; 2.336; 1.246), (5; 2.308; 1.254), (5; 2.291; 1.236), (5; 2.264; 1.242), (5; 2.242; 1.256), (5; 2.252; 1.264), (5; 2.244; 1.275), ...

Com esse modelo [16], já podemos criar um cenário onde podemos realizar uma variedade de atividades. Desde observar elementos geográficos (polo, meridiano, paralelo, ponto cardeal, equador, trópico, círculo polar, fuso horário...), até realizar análises e medições (octante, latitude, longitude, rumo, loxodromia, distâncias ortodrômicas, triângulo esférico...).

Nota: Este modelo pode servir como um excelente exemplo do espírito de colaboração que caracteriza os recursos criados pela comunidade GeoGebra desde o seu início. Usando-o como modelo, Chris Cambré publicou, em neerlandês e inglês, um livro GeoGebra sobre projeções cartográficas e outro sobre Mercator . Em seguida, Carmen Mathias traduziu ambos para o português (, ). Fechando o círculo, eu os traduzi para o espanhol (, ). Esse comportamento colaborativo atinge sua expressão máxima no fórum do GeoGebra. .

 

Se adicionarmos agora a órbita solar aparente, teremos uma esfera armilar (ou astrolábio esférico) que nos permite analisar a passagem do tempo (anos, dias, horas, GMT, UTC, estações do ano, zênite, obliquidade da eclíptica, ponto Áries, equinócio, solstício, coordenada celestial, analema, horizonte celeste, nascer do sol, pôr do sol, as 88 constelações, o zodíaco, as estrelas mais brilhantes...) [20].

Nota: Os dados de Ascensão Reta e Declinação de cada estrela foram coletados  daqui.

 

A poligonal estática autogerada

Às vezes, podemos economizar o trabalho de importar os vértices. A iteração de um script associado a um seletor animado (desenvolveremos esse procedimento mais adiante) permite criar facilmente construções em que a lista de vértices de uma poligonal seja ampliada sucessivamente por si mesma. Um exemplo típico de aplicação desse método é a geração de fractais, como este que mostra o procedimento iterativo para criar o famoso floco de neve de Koch e o correspondente antifloco [29].

FLEXIBILIDADE: Geometria Elástica

Geometria elástica

Normalmente, um ponto está ou não está em uma posição específica. No entanto, graças aos scripts e vetores, podemos flexibilizar essa situação, dando aos pontos a capacidade de se moverem livremente e, ao mesmo tempo, tentando manter uma relação constante com outros pontos.

Em vez de definir uma posição fixa para cada ponto, vamos estabelecer uma relação com os demais pontos.

Scripts e vetores

Nosso objetivo é criar um polígono equilátero com todos os seus vértices livres. Como podemos fechar a poligonal mantendo seus vértices livres (como um medidor de carpinteiro)?

 

Ou, começando com um polígono: como construir um losango mantendo o quarto vértice livre?

 

A solução está em usar scripts. Por exemplo, um ponto livre Q permanecerá sempre a 5 unidades do ponto livre P se atualizarmos a posição de P usando o seguinte script:

 

DefinirValor(Q, P + 5 VetorUnitário(Q−P))

 

e ao atualizar a posição de Q, executamos o seguinte script:

 

DefinirValor(P, Q + 5 VetorUnitário(P−Q))

 

Dessa forma, em um losango, podemos manter a distância entre os vértices A e B ao mesmo tempo em que ambos os pontos permanecem livres.

 

Ou podemos representar tipos de triângulos (retângulos, isósceles, equiláteros...) que mantenham sua tipologia enquanto podemos mover qualquer um de seus três vértices.

 

Este método também funciona para manter ângulos em vez de distâncias. Basta modificar o vetor a ser aplicado ao ponto, usando a rotação adequada para ajustar o ângulo. Como exemplo, podemos ver um pentágono equiangular com todos os seus vértices livres.

Incluímos aqui um resultado (publicado em 2015) que é um belo exemplo da estreita relação entre geometria e álgebra: "um polígono de n lados é equiangular se e somente se e^2𝜋i/n é uma raiz complexa do polinômio de grau n-1, cujos coeficientes são os comprimentos dos lados consecutivos do polígono" .

Articulações

Um exemplo no espaço. Esta construção é baseada no princípio anterior para preservar a distância (não os ângulos) entre os vértices de um cubo.

 

 

 

Isso resulta em um cubo articulado, cujas faces não são necessariamente planas, mas dobradiças formadas por dois triângulos isósceles. As possíveis posições de seus vértices são difíceis de analisar sem recorrer a esse método [4, 5, 32].

 

Scripts de seletores animados

No entanto, não podemos generalizar esse método para polígonos com mais de 4 lados, pois o ajuste do comprimento do quinto lado pode desajustar os lados já ajustados. Precisaríamos de um ajuste contínuo, iterativo, até obter o resultado desejado. Podemos conseguir esse ajuste contínuo usando um script que é executado continuamente, pois está associado à atualização do valor de um seletor animado.

 

Por exemplo, na primeira cena, parece que P é um ponto na circunferência (com raio 4 centrada em A), mas na realidade é um ponto livre. Ao puxá-lo, ele voltará à circunferência, pois o script do seletor animado é executado continuamente e é o seguinte:

 

DefinirValor(P, P + u)
 

onde:

 

u = A - P + 4 VetorUnitário(P − A)

 

Podemos adicionar um coeficiente (k) para controlar a velocidade: DefinirValor(P, P + k u)

Se adicionarmos outro vetor, P se moverá em direção à interseção mais próxima, mesmo que não haja uma interseção real!

Fazendo o mesmo com 5 pontos e 5 vetores, voilà! Agora podemos manter a equidistância em mais de quatro pontos.

 

 

Fluido

Ao mascarar o polígono ou a poligonal com curvas, como usando splines , suavizamos a percepção do efeito da soma das forças internas (que mantêm a distância entre os pontos) com as externas (que aplicam um movimento ao conjunto).

 

Amorfo

A versatilidade assim alcançada é grande. Por exemplo, podemos fazer com que as figuras "passem pelo aro". Lembre-se de que em nenhum momento determinamos a forma do conjunto, mas esta é resultado da soma vetorial correspondente à posição alcançada a cada momento.

Polígono funicular

Neste exemplo, começamos com um fio sem massa apreciável do qual pendem pesos (os vértices da poligonal). O script associado ao seletor animado faz com que esses vértices se movam verticalmente para baixo, simulando a gravidade (força externa), ao mesmo tempo em que as forças de coesão entre os vértices vizinhos (forças internas do fio) limitam esse movimento.

 

Como podemos ver, após alguns segundos, a poligonal assume a forma do polígono funicular resultante. Os vértices se ajustam muito bem a uma elipse. Se adicionarmos mais vértices, o ajuste se aproximará cada vez mais da parábola teórica (cargas pontuais infinitas distribuídas uniformemente na horizontal). A catenária também não está longe (seria o resultado de remover o peso dos vértices e adicionar peso uniforme ao fio poligonal: as cargas são distribuídas uniformemente, mas não na horizontal, mas ao longo da curva, ou seja, separadas pela mesma quantidade de arco em vez da mesma quantidade horizontal).

Newton's Principia

Se existe uma área da matemática em que a álgebra e a geometria tradicionais se fundem de forma natural, é na geometria analítica, o núcleo dos programas de geometria dinâmica como o GeoGebra.

 

Um dos conceitos-chave da geometria analítica é o de vetor. Sua representação gráfica, na forma de uma seta, convida a pensar em movimento, em dinamismo. Usaremos vetores para criar procedimentos dinâmicos, muito simples, mas ao mesmo tempo muito poderosos, para abordar algumas situações.

 

Soma vetorial

Os ponteiros de um relógio analógico podem ser usados como um exemplo de vetores. A ponta do ponteiro das horas percorre uma circunferência, assim como a ponta do ponteiro dos minutos. Se somarmos ambos os vetores, obtemos um lugar geométrico mais complexo (o locus se intersecciona em 11 pontos, desde que o ponteiro dos minutos seja mais longo que o ponteiro das horas, em 11 direções diferentes, o que significa que em 12 horas a soma vetorial dos dois ponteiros coincide até 121 vezes). Se adicionarmos o ponteiro dos segundos, a soma vetorial percorre um locus ainda mais complicado.

As somas vetoriais abrem a porta para a simulação de equilíbrios de forças. Graças aos vetores, podemos simular forças, sejam elas atrativas ou repulsivas, que fazem com que um ponto tenda a ocupar uma posição (ou um trajeto) relativamente estável, ou seja, equilibrada em relação a outras forças ou restrições.

Confinamento circular entre pontos que se repelem

Podemos imaginar os pontos como partículas carregadas que se repelem entre si e estão confinadas a um círculo. A cada ponto associamos a soma dos vetores de repulsão com os outros pontos. Assim, os pontos se reorganizam automaticamente em busca da posição de equilíbrio. Como era de se esperar, essa posição sempre corresponde aos vértices de um polígono regular inscrito na circunferência.

Confinamento quadrado entre pontos que se repelem

Se trocarmos o círculo por uma forma menos simétrica, como um quadrado, distribuições regulares já não são possíveis em todos os casos. No entanto, a posição de equilíbrio ainda é alcançada sempre na fronteira periférica.

 

 

Confinamento esférico entre pontos que se repelem

Se passarmos do círculo para a esfera (problema de Thomson , um caso particular de um dos dezoito problemas matemáticos não resolvidos propostos pelo matemático Steve Smale em 2000), a regularidade perfeita já não é possível, já que não existem sólidos platônicos com 5 ou 7 vértices, por exemplo.

 

Mas, além disso, também não é verdade que o equilíbrio seja sempre alcançado na perfeição regular! Na verdade, com 8 vértices, não é o cubo a configuração que alcança o equilíbrio. Observemos também que na maioria dos casos aparecem poliedros com faces triangulares (mas em geral não equiláteras), portanto, não são deltaedros ).

Recorrido mínimo

Os vetores que governam os movimentos das partículas podem estar indefinidos. A cada passo, podemos experimentar com vários vetores e escolher aquele que melhor se adapte ao nosso objetivo.

 

 

Neste exemplo, na simulação do conhecido experimento com película de sabão, as partículas testam vários movimentos antes de decidir aqueles que minimizam o comprimento total do perfil e, portanto, a área total da superfície (neste caso, elas se dirigem aos pontos de Steiner [23] dos quatro vértices). Os ângulos das lâminas são de 120º devido à uniformidade na direção da distância euclidiana.

Órbita

Vamos ver em detalhes como é simples, graças ao seletor permanentemente animado, observar o movimento elíptico da Terra ao redor do Sol sem recorrer à análise infinitesimal [20].

 

 

Nota: Esta construção foi feita a partir da sugestão do meu colega de departamento, Julio Valbuena, que adaptou a ideia exposta por Richard Feynman em seu famoso livro The Feynman Lectures on Physics (volume I, 9-7, Planetary motions), ver Bibliografia.

Colocamos o ponto S (Sol) no centro das coordenadas e um ponto T (Terra) com velocidade inicial o vetor v. Se d for a distância TS e k for uma constante positiva, temos o vetor de força gravitacional:

 

g = k/d² VetorUnitário(S–T)

 

Agora, basta introduzir um seletor auxiliar para que, sempre que seja atualizado, ele execute o script muito simples:

 

DefinirValor(v, v + 0.03 g)

DefinirValor(T, T + 0.03 v)

 

E já temos o movimento elíptico! (Observe que não usamos nenhuma equação ou lugar geométrico.)

Caos

A construção anterior explica as órbitas quase perfeitamente elípticas dos planetas ao redor do Sol. O "quase" é determinado pela presença de outros corpos. Felizmente para os terráqueos, as órbitas dos outros planetas estão suficientemente distantes para não perturbarem muito o nosso ano solar. Aqui vemos o que aconteceria se não fosse assim. É uma simplificação (dois corpos girando em torno de outro no mesmo plano) do famoso "problema de três corpos" . É impressionante observar como uma construção tão simples pode transformar a ordem em caos [24].

Bolhas (uso de JavaScript)

Podemos usar vetores para modificar o movimento de um objeto com base na distância em relação a outro, o que permite detectar colisões, por exemplo. O problema é que se houver muitos objetos (n), o número de eventos será elevado, pois cresce com o quadrado do número de objetos: n(n–1)/2. Nestes casos, é melhor substituir os scripts do GeoGebra pelo código JavaScript, que é mais rápido, como é feito nesta construção. Nela, é mostrada uma colisão elástica, e podemos verificar a conservação da energia cinética total em todos os momentos.

 

Tensegridades

A geometria elástica nos permite encontrar situações de equilíbrio entre diferentes forças. Uma aplicação interessante são as estruturas de tensegridade, compostas por barras e cabos sob tensão que as mantêm unidas.

Tensegridade

Se conectarmos diferentes vértices, obtemos o grafo de uma rede [25]. Mas se, além disso, as conexões forem feitas com barras e molas, podemos fazer com que em posições específicas a tensão das molas se equilibre em uma estrutura estável, chamada tensegridade .

 

Aqui é mostrado um exemplo no plano. Graças ao fato de que o losango é um paralelogramo, as forças em cada vértice se anulam, de modo que a estrutura se mantém em equilíbrio estável em qualquer posição, desde que as tensões horizontal e vertical sejam iguais.

Tensegridade de prisma triangular

Vamos para o espaço. Uma das tensegridades mais simples começa com um prisma reto cujas bases são triângulos equiláteros. Colocamos barras nas suas arestas laterais e cabos no resto. Agora, ao tensionar os cabos, a tensegridade é alcançada quando uma das bases gira exatamente 150º em relação à outra.

Tensegridade icosaédrica tensionando cabos

Um dos pioneiros das tensegridades, Buckminster Fuller, mostrou um interesse especial por essa tensegridade. Consiste em uma estrutura formada por três pares de barras paralelas, perpendiculares entre si, tensionadas por cabos. O conjunto forma um icosaedro não convexo, conhecido como o icosaedro de Jessen , cujos vértices não estão nas mesmas posições do icosaedro regular.

 

Começamos com barras coladas duas a duas. Ao tensionar a estrutura, as barras se afastam até que a direção da força resultante coincida com a da barra. A proporção entre o comprimento de cada barra e cada cabo será, então, exatamente (≈1.63). Observamos que no icosaedro regular essa proporção é a do número áureo (≈1.62). Podemos observar que o ângulo das faces do icosaedro de Jessen é de 90º.

Tensegridade icosaédrica alongando barras

Podemos alcançar o mesmo resultado operando de forma inversa. Ou seja, em vez de tensionar os cabos, tentamos alongar o máximo possível as seis barras. Neste caso, partimos de um cuboctaedro. Colocamos as barras e as esticamos ao máximo, mantendo o comprimento original das arestas (os cabos) do cuboctaedro.

 

 

 

Conclusão

É verdade que a versão atual do GeoGebra é muito mais complexa do que sua primeira versão de algumas décadas atrás. Temos tantos procedimentos e comandos que é necessário um planejamento prévio para decidir, de acordo com o contexto, quais deles realmente precisamos para alcançar nossos objetivos didáticos.

 

Nesta apresentação, verificamos, com numerosos exemplos, que o GeoGebra permite enfrentar uma grande variedade de problemas com um mínimo de recursos. Enquanto os comandos CAS tornam possível superar, em alguns casos, a dificuldade de introduzir a álgebra no ensino secundário, as listas, vetores e scripts adicionam facilidade para representar situações flexíveis, dinâmicas e interativas. E, muitas vezes, tremendamente atraentes, tanto do ponto de vista estético quanto no sentido de que convidam a explorar nossas próprias construções (lembremos o efeito Ikea), o que favorece a aquisição da competência matemática.

 

 

 

Agradecimentos

Embora nesta apresentação eu não tenha pretendido seguir os passos das linhas expositivas realizadas por Tomás Recio em seu livro de 1998, Cálculo Simbólico y Geométrico [30], devo reconhecer a enorme influência que este livro, que recomendo vivamente, teve na minha forma de compreender tanto a Matemática quanto o seu ensino. Além disso, quero agradecer ao Tomás pelas suas sugestões e esclarecimentos sobre alguns dos pontos aqui abordados.

Referências

[1] Álvarez, J.L. e Losada, R. (2011). El proyecto Gauss. Revista SUMA, número 68, pp. 17-25.

[2] Arranz, J.M., Losada, R., Mora, J.A. e Sada, M. (2008). El cristo de la farola. Divulgamat, Real Sociedad Matemática Española. Livro de GeoGebra: G⁴D en Divulgamat

[3] Arranz, J.M., Losada, R., Mora, J.A. e Sada, M. (2010). De luz y de color. Divulgamat, Real Sociedad Matemática Española. Livro de GeoGebra: G⁴D en Divulgamat

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