Objetivos

Las fotografías suelen presentar problemas de exactitud al trabajar directamente sobre ellas. El punto de vista, la perspectiva, la óptica, el desvío de la frontal o del cenit... son características que perjudican seriamente una medición precisa. Sin embargo, resultan excelentes puentes entre la realidad y la abstracción. Un boceto de unos cuantos segmentos y arcos realizado sobre el papel en blanco carece, para muchas personas, del atractivo que aporta una fotografía concreta (seguramente más de un matemático opinará lo contrario, pero es porque ya está habituado a apreciar la belleza de las formas abstractas, algo poco habitual entre los alumnos).

En este ejemplo hemos elegido la foto de un faro. La usaremos para comprobar que con un medidor de ángulos y un poco de trigonometría (teorema del seno ) podemos calcular fácilmente la altura del faro.

Herramientas y comandos

Usaremos los comandos Segmento y Semirrecta, junto con las siguientes herramientas.

	Punto		Intersección		Centro
	Segmento		Ángulo		Texto
	Imagen

Construcción paso a paso

Antes de empezar, puede ser buena idea echar un vistazo al "Ejemplo de construcción" que se encuentra en esta página. Incluso podemos ayudarnos de la Barra de Navegación para realizar un rápido recorrido por los pasos.

Primero prepararemos el escenario.

Insertaremos a continuación la imagen del faro.

El faro mide unos 32 metros de altura. Preparamos la escala para que se ajuste aproximadamente a ese dato, haciendo zoom. Centramos la imagen de forma que el origen de coordenadas se sitúe en la base del faro. Para que la imagen no ralentice el funcionamiento de GeoGebra, la convertimos en fondo. Esto hará que no responda al clic derecho, por lo que si posteriormente deseamos modificar alguna propiedad de ella o eliminarla, tendremos que buscarla abriendo el cuadro de diálogo Propiedades de un objeto cualquiera o en el Protocolo de la Construcción.

Abrir el archivo de GeoGebra que aparece en el "Ejemplo de construcción".

Ejemplo de construcción

Comentarios

Hemos añadido a la construcción de ejemplo otro procedimiento de cálculo, suponiendo que el faro no tuviese grosor. Podemos comprobar que el error cometido es considerable. También podemos aprovechar este cálculo para hallar el radio de la base del faro.

De manera similar, se pueden realizar otras construcciones basadas en la semejanza de triángulos o en procedimientos trigonométricos. Algunas de estas situaciones, muy conocidas, se exponen a continuación como propuestas de construcción.

 Investigación:

• Nos encontramos en la costa justo frente a un barco y deseamos saber a qué distancia se encuentra de nosotros. Nos movemos hacia un lado en línea recta unos cuantos pasos. Dejamos una señal (una piedra, por ejemplo) y seguimos andando, recorriendo la misma distancia de nuevo, de forma que la señal quede justo a mitad del trayecto. Después, giramos 90° hacia el interior y contamos los pasos hasta que vemos la señal alineada con el barco. El número de pasos contados nos dará la distancia que deseábamos conocer.
• Vemos una torre al otro lado de un río y queremos saber la distancia que nos separa de ella. Colocamos dos señales a nuestro lado del río, separadas unos cuantos pasos, que medimos. Desde cada una, medimos el ángulo que forma la torre con la otra señal. Con esta información, una distancia y dos ángulos, podemos averiguar la distancia desde cualquiera de las señales a la torre.
• Vemos dos torres al otro lado de un río y queremos saber la distancia que las separa. Colocamos dos señales a nuestro lado del río, separadas unos cuantos pasos, que medimos. Desde cada una, medimos el ángulo que forma cada torre con la otra señal y las dos torres entre sí. Con esta información, una distancia y cuatro ángulos, podemos averiguar la distancia entre las torres.