MÓDULO 11

► 11. Conexiones matemáticas

► 11.2 Producto

Objetivos

Queremos usar GeoGebra para proponer ejemplos de relaciones entre operaciones aritméticas y geométricas.

En este caso, nos basaremos en la consideración del producto (a b) como raíz de la recta y = -x/a + b. Se formarán dos triángulos semejantes, en "posición de Tales". La proporcionalidad de sus lados permite hallar el producto de los dos números.

Herramientas y comandos

Usaremos el comando Polígono y las siguientes herramientas.

	Punto		Intersección		Recta
	Segmento		Perpendicular		Texto

Construcción paso a paso

Antes de empezar, puede ser buena idea echar un vistazo al "Ejemplo de construcción" que se encuentra en esta página. Incluso podemos ayudarnos de la Barra de Navegación para realizar un rápido recorrido por los pasos.

Preparamos el escenario.

Preparación

Sí

Sí

Fijado

Construimos la figura (la lista en la última entrada impide la creación de los segmentos y vértices del polígono, pues no los necesitamos, solo precisamos del relleno).

Etapa 1

Herramienta Punto. Colocamos un punto A en el EjeX y un punto B en el EjeY.
Entrada: B' = B - (0, 1)
Herramienta Segmento. Creamos el segmento BB'.
Herramienta Perpendicular. Trazamos la perpendicular al EjeX por A y al EjeY por B'.
Herramienta Intersección. Indicamos el punto de corte (C) de las dos rectas anteriores.
Herramienta Recta. Trazamos la recta BC.
Herramienta Intersección. Indicamos el punto de corte (D) de la recta anterior con el EjeX.
Entrada: {Polígono[C, B, B']}

Creamos los textos dinámicos (el operador floor impide que se visualicen decimales cuando arrastramos rápidamente los puntos).

Etapa 2

Herramienta Texto. Introducimos los textos dinámicos:

floor(x(A))    (y lo posicionamos en A)

floor(y(B))    (y lo posicionamos en B)

floor(x(D))    (y lo posicionamos en D)

Ejemplo de construcción

Producto

Clic en esta imagen abre la construcción de GeoGebra

Propuesta de construcción

Realizar una construcción similar que corresponda a la consideración del cociente b/a como raíz de la recta y = -a x + b:

Comentarios

Aunque la construcción está realizada para enteros, no hay problema en generalizarla para dos reales cualesquiera.

Las operaciones de suma y resta son mucho más sencillas (y habituales). Con las cuatro operaciones podemos construir gráficamente el conjunto de los números racionales. Algunos números irracionales, como por ejemplo todos los radicales, también se pueden construir gráficamente de forma sencilla. Los números trascendentes, como π o e, necesitan el auxilio de funciones, como las trigonométricas o logarítmicas.

Investigación:

¿Se puede definir la función logarítmica (natural) como función de área L(x) bajo la curva y = 1/t en el intervalo [1, x]? ¿Se puede definir el número e como la raíz de la curva y = L(x)-1? ¿Cómo se podría definir, como raíz única, el número π?