Objetivos

Usaremos la propiedad Color Dinámico para visualizar fácilmente lugares geométricos desconocidos, siempre que sepamos expresar la condición que deben cumplir los puntos del mismo.

Este modo de empleo del Color Dinámico es realmente potente. Simplemente "barriendo" la pantalla el lugar geométrico aparece, como por arte de magia, ante nuestros ojos.

Color RGB

Comportamiento periódico del Color Dinámico.

Herramientas y comandos

Emplearemos las siguientes herramientas:

Elige y mueve

Punto

Segmento

Además, usaremos la propiedades Capa y Color Dinámico, presentes en el cuadro de diálogo Propiedades, pestaña  Avanzado.

La propiedad Capa permite decidir qué objetos se visualizan por encima de otros, asignando a cada objeto un número entre 0 y 9. Las capas con números mayores se encuentran "encima" de las menores. Por ejemplo, un objeto visible en la capa 1 puede ocultar a un objeto visible en la capa 0, pero no al revés.

La propiedad Color Dinámico asigna al objeto tres valores numéricos, cada uno de ellos variable entre 0 y 1, que corresponden a la intensidad de rojo (Red), verde (Green) y azul (Blue) presentes en su color-luz combinado.

Para desactivar esta propiedad se debe usar el botón situado en esa misma pestaña (en tal caso, el color del objeto será el establecido en la pestaña  Color, que es la opción predefinida al crear un objeto nuevo).

Construcción paso a paso

Tenemos dos puntos A y B. Queremos conocer el lugar geométrico de los puntos C equidistantes de ellos (la mediatriz). Para ello, establecemos como Color Dinámico del punto C la expresión a/b para cada color del RGB, donde a y b son las distancias respectivas a A y B. Al activar el rastro y mover el punto, cuando a/b sea 1 (o entero impar), el color resultante será blanco, lo que provocará que destaque, por contraste, sobre los demás.

Realizaremos una construcción modelo, susceptible de adaptarse a una gran variedad de situaciones.

Además de la mediatriz buscada, aparecen unas circunferencias no concéntricas rodeando al punto B. Cada circunferencia reúne a los puntos C que cumplen que a es un múltiplo impar de b.

Concretamente, si asignamos al punto A las coordenadas (0,0) y al punto B (1,0), la familia de circunferencias será:

(x - k)² + y² = k (k - 1), con k = 1 + 1/(4 n (n - 1)), y n cualquier natural.

Esto es debido, como hemos visto, a la periodicidad del color dinámico. Si queremos eliminar esos otros lugares geométricos, basta reasignar el objetivo:

Cambiaremos ahora la condición objetivo. Buscaremos ahora el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancia a los puntos A(0,0) y B(1,0) vale siempre 1/2. Además, duplicaremos el punto C para evitar "perderlo" al confundirse con el fondo.

Ejemplo de construcción

Comentarios

El color dinámico nos conduce rápidamente hacia el descubrimiento del lugar geométrico buscado. El tono gris claro nos indica la posible cercanía del blanco, nuestro objetivo, algo así como en el juego del "frío o caliente". Donde el punto deje un rastro oscuro nos indica "frío" (lejos del objetivo). De esta forma, las distintas luminosidades nos van facilitando cada vez más información sobre dónde se encontrará el lugar buscado.

Si preferimos obtener una imagen en color en vez de tonos de gris, podemos lograrlo simplemente variando la expresión que vale 1 cuando se alcanza la condición en cada uno de los colores RGB. Por ejemplo, el color que podemos ver en la viñeta de la izquierda (con la mediatriz fantasma; si se hace clic sobre ella se abrirá la construcción) corresponde a RGB = [e^(a-b), e^(b-a), e^(a/b-1)]. Obsérvese que cuando a sea igual a b el valor numérico RGB continuará siendo [1, 1, 1], es decir, blanco.

 Investigación:

• Las condiciones que hemos presentado como objetivo en los ejemplos anteriores son muy sencillas pero podrían ser mucho más sofisticadas. Por ejemplo, tomemos A(0,0), B(1,0), C un triángulo de base unidad. Prolonguemos sus lados. Si trazamos las bisectrices a AB y AC, cortarán al lado BC (o su prolongación) en dos puntos M y N. ¿Cuándo AM tendrá la misma longitud que AN? En este enlace se puede ver la construcción ya realizada.

Este lugar geométrico corresponde, en coordenadas polares, a la ecuación:

 r = (sin(π/4+α) + sin(π/4)) / (sin(π/4-α) + sin(π/4))   construcción.ggb