MÓDULO 2

► 2. Construcciones ultraligeras

► 2.4 Puntos simétricos

Objetivos

Con muy pocos elementos podemos crear una construcción como hoja de trabajo sobre la que estudiar la simetría axial o central.

Herramientas y comandos

Emplearemos las siguientes herramientas:

Elige y mueve	Punto	Centro
Segmento	Refleja en recta	Refleja por punto
Casilla control	Elimina

Construcción paso a paso

Primero preparamos el escenario.

Preparación

Sí

Sí

Fijado

Reflejaremos un punto en el eje Y y contrastaremos las coordenadas del punto imagen con el punto original.

Etapa 1

Herramienta Punto. Colocamos un punto A.
Herramienta Refleja en recta. Clic en A y en el Eje Y (se crea A').
Herramienta Elige y mueve (o pulsamos la tecla Esc).
En la pestaña Básico del cuadro de diálogo Propiedades de A y A', establecemos Muestra Rótulo en "Nombre y Valor".
Movemos A por los distintos cuadrantes y contrastamos sus coordenadas con las de A'.

Cambiaremos la reflexión en el eje Y por la reflexión en el eje X.

Etapa 2

Hacemos clic en A' y pulsamos F3 (esto provocará que la definición de A' aparezca en el Campo de Entrada).
Cambiamos EjeY por EjeX.
Movemos A por los distintos cuadrantes y contrastamos sus coordenadas con las de A'.

Introduciremos la recta y=x para reflejar A sobre ella.

Etapa 3

Entrada: r: y=x
Hacemos clic en A' y pulsamos F3
Cambiamos EjeX por r.
Movemos A por los distintos cuadrantes y contrastamos sus coordenadas con las de A'.

Ahora comenzaremos de nuevo, olvidando las coordenadas.

Nueva preparación

No

No

Desactiva

Visualizaremos el segmento que une A con su imagen y el punto medio entre ambos puntos.

Etapa 4

En la pestaña Básico del cuadro de diálogo Propiedades de A y A', establecemos Muestra Rótulo en "Nombre" y activamos Muestra Rastro (se puede hacer en ambos a la vez).
Herramienta Segmento. Clic en A y en A'.
Herramienta Centro. Clic en A y en A'.
Herramienta Elige y mueve (o pulsamos la tecla Esc). Movemos A y observamos el conjunto.

Haremos lo mismo con la reflexión central.

Etapa 5

Eliminamos la recta r (clic derecho y Borra, o clic y Supr, o con la herramienta Elimina).
Limpiamos la pantalla tecleando Ctrl F (o, alternativamente, desde el ítem Menú Vista Actualiza vista gráfica).
Herramienta Punto. Colocamos un punto B.
Herramienta Refleja por punto. Clic, en este orden, en A y en B (se crea A').
Herramienta Segmento. Clic en A y en A'.
Herramienta Elige y mueve (o pulsar la tecla Esc).
Mostramos el rastro de A' (clic derecho Activa Rastro).
Movemos A y observamos el conjunto.

Ejemplo de construcción

Puntos simétricos: 50538 besos

Clic en esta imagen abre la construcción de GeoGebra

Propuesta de construcción

Realizar una construcción similar que muestre que cualquier reflexión central equivale a dos reflexiones axiales. Es decir, que una reflexión respecto a un punto O equivale a una doble reflexión axial respecto a un par de ejes ortogonales en O.

Comentarios

En la construcción de ejemplo, hemos añadido una Casilla control y duplicado los puntos A y A' para poder "levantar el lápiz" a voluntad (ver apartado Un truco del módulo 1). Con esta ayuda, hemos escrito el número 50538.

Investigación:

Si ponemos 50538 en la calculadora y le damos la vuelta, podemos leer "besos", como en la imagen anterior. ¿Hacer una simetría central es lo mismo que "dar la vuelta", es decir, equivale a un giro de 180°?
Comprobar que las coordenadas reflejadas de un punto (m, n) por otro (a, b) son (2a - m, 2b - n).
Comprobar que las coordenadas reflejadas de un punto (m, n) por la recta a x + b y = c son:

(2 a (c - b n) - m v, 2 b (c - a m) + n v) / u, donde u = a² + b², v = a² - b².