MÓDULO 3

Introducción

Polígonos

Tablero

Transportador

Estrellas

Analema

Otros modelos

 

 


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    ► 3. Creación de recursos estáticos

           ► 3.5 Estrellas

    Objetivos

    Usaremos GeoGebra para crear un generador de combinaciones lineales de dos vectores independientes. El efecto de estas combinaciones lineales se visualizará en un movimiento plano, concretamente en la traslación de un patrón para formar un mosaico de estrellas hexagonales.

    Gracias al comando Secuencia podemos obtener en pocos minutos el mismo (o mejor) diseño gráfico que el que obtendríamos con las habituales herramientas de dibujo después de realizar muchos procesos repetitivos y tediosos.

    El objetivo del proceso puede ser muy distinto dependiendo del contexto matemático en el que nos desenvolvamos. Si este contexto es geométrico, dirigiremos la atención hacia el resultado de la aplicación de la traslación como movimiento plano. Si el contexto es algebraico, hacia la independencia de los vectores generadores y el concepto de combinación lineal.

    Como es habitual, retocaremos a nuestro gusto el estilo de los objetos gráficos.

    Herramientas y comandos

    En esta actividad veremos un ejemplo de cómo crear una lista dependiente de dos variables usando el comando Secuencia.

    La sintaxis que usaremos corresponderá a una Secuencia de Secuencias (es decir, una matriz):

    Secuencia [Secuencia [e(s, t), s, s1, s2], t, t1, t2]

    donde e(s, t) es una expresión -numérica o geométrica- dependiente de la variable s que varía entre s1 y s2, y de la variable t que varía entre t1 y t2. El resultado de esta secuencia es la matriz (lista de listas) de todos los valores u objetos {{e(s1, t1), ..., e(s2, t1)}, ...,{e(s1, t2), ..., e(s2, t2)}}

    Además de la herramienta fundamental para mover y seleccionar ( Elige y mueve), usaremos la herramienta  Vector para establecer los vectores generadores de las combinaciones lineales y el comando Traslada (que también corresponde a una herramienta) para definir las traslaciones correspondientes.

    Vector Polígono Deslizador
    Construcción paso a paso

    Antes de empezar, puede ser buena idea echar un vistazo al "Ejemplo de construcción" que se encuentra en esta página. Incluso podemos ayudarnos de la Barra de Navegación para realizar un rápido recorrido por los pasos.

    Primero prepararemos el escenario.

     Preparación

    Sí

    Sí (isométrica)

    Fijado

    Dibujaremos un hexágono regular sobre la Cuadrícula isométrica.

     Etapa 1

    • Con ayuda de Polígono, construir un hexágono regular ABCDEF (polígono1), con dos vértices opuestos en A(0,0) y D(0,2). [Ver la imagen de la Etapa 2.]
    • Usando la Barra de Estilo de la vista gráfica, ocultar los Ejes.

    Recordemos que también podemos ocultarlos usando el Menú Vista o el Menú contextual de vista gráfica.

    Ahora crearemos dos vectores independientes.

     Etapa 2

    • Usando Vector, definir el vector (u) de A a D y el vector (v) de F a C.

     

    Vamos a definir un deslizador que más adelante nos servirá para establecer las cotas de los parámetros.

     Etapa 3

    • Con ayuda de Deslizador, definir un entero n entre 0 y 8.

    • Escoger  Elige y mueve y arrastrar (con clic derecho) el segmento del deslizador hasta la posición que se desee.

    Podemos fijar su posición, en el cuadro de diálogo Propiedades, para evitar su arrastre accidental una vez convertida la construcción en applet.

    Ya estamos en condiciones para crear una serie de combinaciones lineales s u + t v de los vectores independientes u y v que nos permitan trasladar la figura hexagonal por el plano.

     Etapa 4

    • Entrada:         

    Secuencia[Secuencia[Traslada[polígono1, s u + t v], s, -n, n], t, -n, n]

    Para terminar, mejoraremos el Estilo.

     Etapa 5

    • Establecer el estilo (color, grosor, opacidad...) que se considere más oportuno para los objetos creados, a través del cuadro de diálogo Propiedades.

    Se debe tener en cuenta que la lista creada se comporta como un solo objeto a efectos de establecer su estilo.
    Ejemplo de construcción

     Estrellas

    Clic en esta imagen abre la construcción de GeoGebra

     Propuesta de construcción

    Realizar una construcción similar que forme un tablero ajedrezado, un damero.
    Comentarios

    Una vez construida la lista de secuencias (lista1), si volvemos a mirar su definición usando el cuadro de diálogo Propiedades, veremos que GeoGebra ha modificado la definición que habíamos introducido:

    Secuencia[Secuencia[Traslada[polígono1, s u + t v], s, -n, n], t, -n, n]

    por esta otra:

    Secuencia[Secuencia[Polígono[Traslada[A, s u + t v], Traslada[B, s u + t v], Traslada[C, s u + t v], Traslada[D, s u + t v], Traslada[E, s u + t v], Traslada[F, s u + t v]], s, -n, n], t, -n, n]

    El motivo es simple: para trasladar el polígono, GeoGebra necesita trasladar los vértices que lo determinan. Evidentemente, para nosotros la primera expresión resulta mucho más breve e intuitiva que la segunda.

     Investigación:

    • Probar a ejecutar el método "Secuencia de Secuencias" refiriéndose a distintos objetos. A continuación, proponemos un par de ejemplos. Pensar en algún otro tipo.

    Secuencia [ Secuencia [(s, t), s, -4, 4], t, -5, 5]

    Secuencia [ Secuencia [Vector[(s, t)], s, -4, 4], t, -5, 5]