Introducción

Los recorridos son todas los objetos cuya representación gráfica es una línea (o un punto). En un recorrido que sea una línea, siempre podemos colocar un punto que la recorra, bien con la herramienta  Punto, bien con el comando Punto.

Para liberar un punto A de ese recorrido basta redefinirlo con dos coordenadas cualesquiera, por ejemplo, A = (0, 0).

Una lista con diversos objetos con recorrido configura a su vez un solo recorrido. Por ejemplo, podemos colocar un punto sobre un recorrido formado por tres puntos, un segmento y una circunferencia: Punto[{(0,2), (2,0),(2,2), Segmento[(0,0),(1,1)], Circunferencia[(1,1),1]}] Este punto está restringido a moverse por esos recorridos (hemos activado el rastro del punto para comprobarlo mejor).

Algunas herramientas y comandos que no figuran en esta página crean algunas líneas que favorecen la interpretación visual de un resultado. Por ejemplo, la herramienta  Pendiente o el comando IntegralEntre. Pero estos trazos no son recorridos que podamos reutilizar como elementos geométricos, no son objetos, solo son representaciones gráficas.

Punto inicial y parámetro sobre recorrido.

Los puntos sujetos a un recorrido se pueden reeditar, sin redefinirlos, usando

Mayús doble clic

en la Vista Algebraica. Así, podemos cambiar su posición en el recorrido sin que deje de pertenecer a él. Videoclip

Recorridos predefinidos: Ejes de coordenadas

Podemos hacer referencia a los ejes cartesianos de abscisas y ordenadas con los nombres respectivos de EjeX e EjeY.

•  Perpendicular[(1, 1), EjeX] traza una recta perpendicular al eje de abscisas por el punto (1, 1).

Puntos

Existe una variedad de herramientas de puntos y comandos de puntos, que nos permiten crear nuevos puntos .

También podemos crear puntos directamente en el Campo de Entrada, introduciendo sus coordenadas cartesianas (separadas por coma) o polares (separadas por punto y coma). En este último caso, si no introducimos el símbolo ° de grados, se entenderá que el ángulo se encuentra expresado en radianes.

Por defecto, las mayúsculas (A, B...) rotulan puntos y las minúsculas (u, v...) vectores.

• (1, 0) crea el punto (1, 0) y le asigna el primer nombre disponible, con inicial mayúscula (A, B...).
• P: (1, 0) crea el punto (1, 0) y le asigna el nombre P.
• P = (1, 0) crea el punto (1, 0) y le asigna el nombre P.
• P = (1 ; 45°) crea el punto P de esas coordenadas polares.

También podemos realizar operaciones con puntos, pues estos son interpretados como vectores de posición.

• Si A = (1, 2) y B = (3, 4), entonces C = (A + B) / 2 devolverá el punto de coordenadas (2, 3), punto medio de los puntos A y B.
• Si A = (1, 2) entonces C = A + 1 devolverá el punto (2, 3), resultado de sumar 1 a las dos coordenadas de A.

Un punto también puede ser considerado el afijo de un número complejo. Así, el punto (a, b) admite la expresión compleja a + b i. En tal caso, la suma anterior devolverá un resultado diferente:

• Si A = 1 + 2i entonces C = A + 1 devolverá el número complejo 2 + 2i, resultado de sumar 1 únicamente a la parte real de A.

Para referenciar las coordenadas de un punto:

x(A) y(A)

abscisa de un punto ordenada de un punto

x((2, 3)) = 2 y((2, 3)) = 3

Rectas

Existe una variedad de herramientas de rectas y comandos de rectas, que nos permiten crear nuevas rectas .

La ecuación paramétrica de la recta r que pasa por A y B es  r: X = A + λ (B-A)

Punto inicial y parámetro sobre recorrido.

Una recta se puede ingresar directamente en el Campo de Entrada como una ecuación lineal en x e y o en forma paramétrica. En ambos casos, se pueden emplear variables previamente definidas (números, puntos, vectores).

Podemos anotar el nombre de la recta encabezando la entrada, seguido de los dos puntos.

• Podemos definir una recta r ingresando la ecuación r: 3x + 4y = 2 como ecuación lineal.
• Podemos ingresar la recta r en formato paramétrico como r: X = (-5, 5) + t (4, -3)
• Deben definirse los parámetros m = 2 y b = -1 antes de ingresar la ecuación r: y = m x + b para obtener la ecuación explícita de una recta r.

Las rectas pueden usarse como funciones:  a: y = 2x     a(3)

Semirrectas

Existe una herramienta de semirrecta y un par de comandos de semirrectas, que nos permite crear nuevas semirrectas .

Una semirrecta tiene la misma forma paramétrica X = A + λ (B-A) que una recta, pero con el parámetro λ restringido a los números no negativos. Ver el apartado Rectas.

Al formar parte de rectas, por tanto con la misma ecuación, no hay modo de ingresar directamente ecuaciones de semirrectas en el Campo de Entrada.

Punto inicial y parámetro sobre recorrido.

El uso de semirrectas en vez de rectas puede resultar especialmente conveniente para determinar un punto de corte. Por ejemplo, una recta que pase por el centro de una circunferencia la cortará en dos puntos, mientras que una semirrecta determinará unívocamente un punto de intersección.

Segmentos

Existe una variedad de herramientas de segmentos y comandos de segmentos, que nos permiten crear nuevos segmentos .

Un segmento tiene la misma forma paramétrica X = A + λ (B-A) que una recta, pero con el parámetro λ restringido al intervalo [0,1]. Ver el apartado Rectas.

Al formar parte de rectas, por tanto con la misma ecuación, no hay modo de ingresar directamente ecuaciones de segmentos en el Campo de Entrada.

Punto inicial y parámetro sobre recorrido.

Vectores

Existe una variedad de herramientas de vectores y comandos de vectores, que nos permiten crear nuevos vectores .

También podemos crear vectores libres (representados con extremo inicial en el origen de coordenadas) directamente en el Campo de Entrada, nominándolos con una minúscula (para distinguirlos de los puntos) e introduciendo sus componentes cartesianas (separadas por coma) o polares (separadas por punto y coma). En este último caso, si no introducimos el símbolo ° de grados, se entenderá que el ángulo se encuentra expresado en radianes.

Por defecto, las mayúsculas (A, B...) rotulan puntos y las minúsculas (u, v...) vectores.

• (1, 0) crea el punto (1, 0) y le asigna el primer nombre disponible, con inicial mayúscula (A, B...).
• v: (1, 0) crea el vector libre (1, 0) y le asigna el nombre v.
• v = (1, 0) crea el vector libre (1, 0) y le asigna el nombre v.
• v = (1 ; 45°) crea el vector libre que tiene como extremo final el punto de esas coordenadas polares.

Operaciones con vectores.

Para referenciar las componentes de un vector v:

x(v) y(v)

primera componente del vector v segunda componente del vector v

x((2, 3)) = 2 y((2, 3)) = 3

Circunferencias

Existe una variedad de herramientas de circunferencias y comandos de circunferencias, que nos permiten crear nuevas circunferencias .

También podemos crear circunferencias directamente en el Campo de Entrada, Una circunferencia se ingresa como una ecuación cuadrática (particular) en x e y. Se pueden emplear variables previamente definidas (números, puntos, vectores...). El nombre de la circunferencia puede ser anotado encabezando la entrada, seguido de dos puntos.

Además de recorrido, todas las circunferencias tienen una región asociada (el círculo).

• Circunferencia c1: x² + y² = 25
• Circunferencia c2: (x – 5)² + (y + 2)² = 25

Punto inicial y parámetro sobre recorrido.

Cónicas

Existe una variedad de herramientas de cónicas y comandos de cónicas, que nos permiten crear nuevas cónicas .

También podemos crear cónicas directamente en el Campo de Entrada. Una cónica se ingresa como una ecuación cuadrática (general) en x e y. Se pueden emplear variables previamente definidas (números, puntos, vectores...). El nombre de la cónica puede ser anotado encabezando la entrada, seguido de dos puntos.

Además de recorrido, todas las cónicas tienen una región asociada.

• Elipse e: 9 x² + 16 y² = 144
• Hipérbola h: 9 x² – 16 y² = 144
• Parábola p: y² = 4 x
• Dados dos parámetros a = 4 y b = 3, podemos ingresar una elipse como e: b² x² + a² y² = a² b²

Punto inicial y parámetro sobre recorrido.

Arcos (o sectores)

Existe una variedad de herramientas de arcos y sectores y comandos de arcos y sectores, que nos permiten crear nuevos arcos y sectores (también de elipses, en el caso de usar comandos).

Al formar parte de circunferencias, por tanto con la misma ecuación, no hay modo de ingresar directamente en el Campo de Entrada alguna ecuación que produzca arcos o sectores.

Tanto los arcos como sectores tienen, además de recorrido, una región asociada. La diferencia reside en que el valor que recoge el arco es el valor de su longitud, mientras que el sector recoge el valor de su área.

El uso de arcos y semicircunferencias en vez de circunferencias puede resultar especialmente conveniente para determinar un punto de corte. Por ejemplo, una recta que pase por el centro de una circunferencia la cortará en dos puntos, mientras que solo cortará a un arco menor de 180° en un punto.

Punto inicial y parámetro sobre recorrido.

Polígonos

Existe una variedad de herramientas de polígonos y comandos de polígonos, que nos permiten crear nuevos polígonos .

Los polígonos quedan determinados por las rectas sobre las que descansan sus lados, cada una con su ecuación, por lo que no hay modo de ingresar directamente en el Campo de Entrada alguna ecuación que produzca polígonos.

Un polígono se compone de varios objetos, que se crearán al mismo tiempo que él (junto con los vértices, si no existen previamente):

• Los lados (segmentos).
• El área del polígono, que es una región asociada (cuyo valor aparece en la Vista Algebraica).

El polígono puede ser no convexo. Incluso puede ser cruzado (estrellado).

Punto inicial y parámetro sobre recorrido.

Si los vértices son libres, los lados se pueden arrastrar.

Lugares Geométricos

Existe una herramienta de lugar geométrico y un comando de lugar geométrico, que nos permiten crear nuevos lugares geométricos .

En GeoGebra, un lugar geométrico es el recorrido que realiza un punto B que depende de un punto A que está sobre un recorrido previo. A medida que A recorre su objeto de recorrido, el punto B recorrerá una cierta trayectoria que constituye el nuevo lugar geométrico. Ya que se trata del resultado de un proceso constructivo punto a punto, no hay modo de ingresar directamente en el Campo de Entrada alguna ecuación que produzca un lugar geométrico de esta naturaleza.

Punto inicial y parámetro sobre recorrido.

Ecuaciones y = f(x): funciones explícitas

Existe una variedad de comandos de polinomios y comandos de funciones, que nos permiten crear nuevas funciones .

También podemos crear funciones explícitas directamente en el Campo de Entrada. Una función se ingresa como una ecuación en x. Se pueden emplear variables previamente definidas (números, puntos, vectores...). El nombre de la función puede ser anotado encabezando la entrada, seguido de dos puntos.

• Función f: f(x) = 3 x³ – x²
• Función g: g(x) = tan(f(x))
• Función sin nombre (se asignará automáticamente): sin(3x) + tan(x)

Pueden definirse funciones en otra variable distinta a x: a(n) = (3n + 1)/2 Pueden usarse expresiones lógicas al definir una función: f(x) = x (x > round(x))

Todas las funciones predefinidas (como seno, logaritmo, etc.) se describen en la sección dedicada a operaciones.

Existen comandos para obtener la Integral y Derivada de una función.

También se puede emplear f’(x) o f’’(x),… para las derivadas de una función f(x) previamente definida:

• Tras definir la función f como f(x) = 3 x³ – x² se puede ingresar g(x) = cos(f’(x + 2))

Además, las funciones pueden ser trasladadas por un vector y una función puede, en principio, ser arrastrada con la herramienta fundamental  Elige y mueve.

• Refleja[x², y=x] devuelve una parábola con eje el EjeX.

Para limitar una función a un intervalo [x₁, x₂], debe emplearse el comando Función[f(x), x₁, x₂].

Puede usarse el comando lógico Si para crear una función definida a trozos:

Si [condición, f(x), g(x)]

• Si [x < 1, x + 3, x - 1]
• Si [x < 1, Función[x + 4, -10, 1], x - 1]

Pueden usarse derivadas e integrales de tales funciones, o intersecarlas, como funciones “normales”.

Punto inicial y parámetro sobre recorrido.

Ecuaciones x = f(t), y = g(t): curvas paramétricas

El comando Curva permite crear una curva de ecuación paramétrica e(t) = (f(t), g(t)), con t en un intervalo [t₁, t₂]. No se puede ingresar directamente la ecuación paramétrica de una curva en el Campo de Entrada.

Las curvas paramétricas pueden usarse con otras funciones o en expresiones aritméticas. Así, dada la curva e, la entrada e(3) devuelve el punto correspondiente a la posición t = 3. Los valores t₁ y t₂ pueden ser variables, por ejemplo deslizadores, creándose así rangos dinámicos.

Como no siempre es posible crear curvas paramétricas que pasen por ciertos puntos dados, puede resultar mejor en esos casos usar el comando Polinomio o algún comando de curva de regresión, como AjustePolinómico o AjusteExp. Por ejemplo, si colocamos cinco puntos A, B, C, D y E en la vista gráfica, podemos después introducir los siguientes comandos:

Polinomio[{A,B,C,D,E}]

AjustePolinómico[{A,B,C,D,E}, 3]

Punto inicial y parámetro sobre recorrido.