Puntos

Sintaxis

Comentario

Centro [A, B]
Centro [segmento]

Centro [c]

Punto medio

de los puntos A y B, o de un segmento, o centro

de la cónica c (circunferencia, elipse o hipérbola).

Interseca [a, b]

Interseca [a, b, n]

Puntos de intersección, o enésimo punto de intersección, de los objetos a y b (rectas, circunferencias, cónicas, arcos).

Si intersecamos una recta con una circunferencia o cónica, el máximo valor de n es 2.

Si intersecamos dos circunferencias o cónicas el máximo valor de n es 4.

También podemos intersecar una recta y un polígono.

Cuando un punto se crea como intersección de dos recorridos, podemos optar porque se señalen los arcos de esa intersección (cuadro de diálogo Propiedades, pestaña Básico, opción "Muestra intersección en prolongaciones").

ParámetroSobreRecorrido [A]

Parámetro (número entre 0 y 1) correspondiente a la posición relativa del punto A en su recorrido.

La posición inicial del punto que crea el comando Punto[a], no tiene por qué coincidir con la posición Punto[a,0], es decir, con la posición correspondiente al valor 0 del parámetro sobre el recorrido.

Punto inicial y parámetro sobre recorrido.

Punto [a]

Punto sobre el objeto a (recta, vector, circunferencia, cónica, arco, polígono, función, intervalo). Este punto puede desplazarse por todo el recorrido del objeto.

Para liberar un punto A de ese recorrido, basta redefinirlo con dos coordenadas cualesquiera, por ejemplo, A = (0, 0).

Punto inicial y parámetro sobre recorrido.

Punto [L]

Punto sobre un recorrido formado por cualquier lista de recorridos (rectas, vectores, circunferencias, cónicas, polígonos, funciones). Este punto puede desplazarse por todo ese recorrido.

Para liberar un punto A de ese recorrido basta redefinirlo con dos coordenadas cualesquiera, por ejemplo, A = (0, 0).

La posición inicial del punto que crea el comando Punto[a], no tiene por qué coincidir con la posición Punto[a,0], es decir, con la posición correspondiente al valor 0 del parámetro sobre recorrido.

Punto inicial y parámetro sobre recorrido.

Punto [a, t]

Punto [L, t]

Crea un punto sobre el recorrido del objeto a, o sobre el recorrido formado por los objetos de la lista L, en la posición correspondiente al parámetro t (entre 0 y 1).

Si t < 0 se considera t = 0 y si t > 1 se considera t = 1.

Para liberar un punto A de ese recorrido basta redefinirlo con dos coordenadas cualesquiera, por ejemplo, A = (0, 0).

La posición inicial del punto que crea el comando Punto[a], no tiene por qué coincidir con la posición Punto[a,0], es decir, con la posición correspondiente al valor 0 del parámetro sobre recorrido.

Punto inicial y parámetro sobre recorrido.

Punto [A, v]

Punto resultado de trasladar

el punto A por el vector v. Equivale al comando Traslada[A, v].

PuntoEn [a]

Punto sobre la región asociada al objeto a.

Para liberar un punto A de esa región basta redefinirlo con dos coordenadas cualesquiera, por ejemplo, A = (0, 0).

PuntoMásPróximo [a, A]

Punto sobre el objeto a más cercano al punto A, si a no es una función, y el más cercano "en vertical" si a es una función.

El objeto a puede ser, además de una recta, cónica, etc., una curva paramétrica, una función implícita o un lugar geométrico.

PuntoMedio [A, B]
PuntoMedio [segmento]

Punto medio

de los puntos A y B, o de un segmento.

PuntoMedio[A, B] equivale a (A+B)/2

Rectas , semirrectas y segmentos

Sintaxis		Comentario
Bisectriz [r, s] Bisectriz [A, O, B]		Bisectrices de los ángulos formados por las rectas (o segmentos) r y s, o bisectriz del ángulo AOB. Al seleccionar dos rectas que se corten en un punto, se crean las bisectrices de los dos ángulos que forman al cortarse. Si las dos rectas tienen la misma dirección, una de esas dos bisectrices permanecerá indefinida. Los vectores directores de todas las bisectrices tienen longitud 1.
Dirección [r]		Vector director de la recta r. La recta a x + b y = c tiene vector director (b, - a)
Mediatriz [segmento] Mediatriz [A, B]		Mediatriz del segmento AB.
Perpendicular [A, r] Perpendicular [A, v]		Recta perpendicular por el punto A a la recta r o al vector v.
Recta [A, B]		Recta que pasa por los puntos A y B. En la Vista Algebraica se expone la ecuación correspondiente a la recta. El vector director de la recta es B-A Su ecuación paramétrica es X = A + λ (B-A) Punto inicial y parámetro sobre recorrido.
Recta [A, v] Recta [A, r]		Recta que pasa por el punto A y tiene la dirección del vector v o es paralela a la recta r. En la Vista Algebraica se expone la ecuación correspondiente a la recta.
Segmento [A, B]		Segmento entre dos puntos A y B. En la Vista Algebraica se muestra su longitud. Punto inicial y parámetro sobre recorrido.
Segmento [A, k]		Segmento de extremo A y longitud k. El otro punto extremo del segmento también se crea y puede rotarse con la herramienta Elige y mueve en torno al extremo inicial A.
Semirrecta [A, B]		Semirrecta que se inicia en el punto A y pasa por el punto B. En la Vista Algebraica se expone la ecuación correspondiente a la recta. Punto inicial y parámetro sobre recorrido.
Semirrecta [A, v]		Semirrecta que se inicia en el punto A y tiene la dirección del vector v. En la Vista Algebraica se expone la ecuación correspondiente a la recta.
Tangente [A, c] Tangente [A, f]		Todas las rectas que pasan por el punto A tangentes a la cónica c o a la función f.
Tangente [r, c]		Todas las rectas paralelas a la recta r que son tangentes a la cónica c.
Tangente [c₁, c₂]		Todas las tangentes (hasta cuatro) comunes a dos circunferencias.

Polígonos y poligonales

Sintaxis		Comentario
Angulo [a]		Todos los ángulos interiores del polígono a. Por defecto, los ángulos de los triángulos no admiten ángulos cóncavos (a no ser, claro, que se modifique esta propiedad) mientras que los ángulos de los polígonos con más de tres lados sí los admiten. Cuando se admitan ángulos cóncavos, los ángulos aparecerán efectivamente cóncavos cuando el polígono se haya construido seleccionando los vértices en sentido horario.
Area [A, B, C, ...]		Área del polígono de vértices los puntos A, B, C ...
Baricentro [a]		Baricentro (o centroide) del polígono a.
IntersecaRegiones [a, b]		Polígono de intersección (solapamiento) entre los polígonos a y b. Los polígonos a y b deben ser simples (es decir, sin que sus lados se corten entre sí) y su unión debe ser un único polígono.
Perímetro [polígono]		Perímetro de un polígono.
Poligonal [A, B, C, ...]		Polígonal de vértices los puntos A, B, C … En la Vista Algebraica aparece la longitud de la poligonal.
Poligonal [L]		Polígonal de vértices los puntos de la lista L. En la Vista Algebraica aparece la longitud de la poligonal. Punto inicial y parámetro sobre recorrido.
Polígono [A, B, C, ...]		Polígono de vértices los puntos A, B, C … En la Vista Algebraica aparece el área del polígono. El polígono puede ser no convexo. Incluso puede ser cruzado (estrellado). Punto inicial y parámetro sobre recorrido. Si los vértices son libres, los lados se pueden arrastrar.
Polígono [L]		Polígono de vértices los puntos de la lista L. En la Vista Algebraica aparece el área del polígono. El polígono puede ser no convexo. Incluso puede ser cruzado (estrellado). Punto inicial y parámetro sobre recorrido.
Polígono [A, B, n]		Polígono regular de n lados (incluyendo el lado AB). En la Vista Algebraica aparece el área del polígono. Punto inicial y parámetro sobre recorrido. Si A y B son libres, el lado AB se puede arrastrar.
PolígonoRígido [A, B, C, ...]		Polígono de vértices A, B, C... donde el único punto libre es A. El punto B, restringido (a un recorrido circular), permite girar el polígono alrededor de A. Así, podemos arrastrar el polígono moviendo A, o girarlo moviendo B, pero siempre sin variar su forma. En la Vista Algebraica aparece el área del polígono. El polígono puede ser no convexo. Incluso puede ser cruzado (estrellado). Punto inicial y parámetro sobre recorrido.
Unión [a, b]		Polígono de unión de los polígonos a y b. Los polígonos a y b deben ser simples (es decir, sin que sus lados se corten entre sí) y su unión debe ser un único polígono.
Vértices [a] Vértices [a, n]		Todos los vértices del polígono a o su vértice enésimo. Para obtener los vértices del polígono como una lista, usamos {Vértices[t]}.

Ángulos

Sintaxis		Comentario
Angulo [A, O, B] Angulo [u, v] Angulo [r, s] Angulo [a]		Ángulo entre 0° y 360° tendido entre: OA y OB, donde el punto O es el vértice Los vectores u y v Las rectas r y s Todos los ángulos interiores del polígono a Puede establecerse si se admiten ángulos cóncavos (mayores de 180°), o incluso si solo admite estos ángulos, activando o no la casilla correspondiente en el cuadro de diálogo Propiedades. Por defecto, se admiten ángulos cóncavos en todos los casos excepto en los ángulos interiores de un triángulo. Cuando se admitan ángulos cóncavos, los ángulos aparecerán convexos cuando el polígono se haya construido seleccionando los vértices en sentido antihorario.
Angulo [A] Angulo [v] Angulo [c]		Ángulo entre 0° y 360°: Tendido entre el eje X y el vector de posición del punto A Tendido entre el eje X y el vector v El ángulo de revolución del eje principal de una cónica c.
Angulo [O, A, α]		Ángulo de amplitud α trazado desde A con vértice en O. El comando Rota[A, α, O] también se crea.

Sintaxis

Comentario

Angulo [A, O, B]

Angulo [u, v]

Angulo [r, s]

Angulo [a]

Ángulo entre 0° y 360° tendido entre:

OA y OB, donde el punto O es el vértice
Los vectores u y v
Las rectas r y s
Todos los ángulos interiores del polígono a

Puede establecerse si se admiten ángulos cóncavos (mayores de 180°), o incluso si solo admite estos ángulos, activando o no la casilla correspondiente en el cuadro de diálogo Propiedades.

Por defecto, se admiten ángulos cóncavos en todos los casos excepto en los ángulos interiores de un triángulo.

Cuando se admitan ángulos cóncavos, los ángulos aparecerán convexos cuando el polígono se haya construido seleccionando los vértices en sentido antihorario.

Angulo [A]

Angulo [v]

Angulo [c]

Ángulo entre 0° y 360°:

Tendido entre el eje X y el vector de posición del punto A
Tendido entre el eje X y el vector v
El ángulo de revolución del eje principal de una cónica c.

Angulo [O, A, α]

Ángulo de amplitud α trazado desde A con vértice en O.

El comando Rota[A, α, O] también se crea.

Circunferencia y círculo

Sintaxis		Comentario
Area [c]		Área del círculo de circunferencia c.
Centro [c]		Centro de la circunferencia c.
Circunferencia [O, A]		Circunferencia de centro O que pasa por A. Punto inicial y parámetro sobre recorrido.
Circunferencia [O, k] Circunferencia [O, segmento]		Circunferencia de centro O y radio k, o la longitud del segmento. Punto inicial y parámetro sobre recorrido.
Circunferencia [A, B, C]		Circunferencia que pasa por los tres puntos A, B y C. Punto inicial y parámetro sobre recorrido.
CircunferenciaInscrita [A, B, C]		Circunferencia inscrita al triángulo ABC.
Coeficientes [c]		Lista {1, 1, c, 0, e, f} de los coeficientes de la circunferencia de ecuación: 1 x²+ 1 y²+ c + 0 x y + e x + f y = 0 Coeficientes[x² + y² = 9] devuelve {1, 1, -9, 0, 0, 0}
DiámetroConjugado [r, c] DiámetroConjugado [v, c]		Diámetro conjugado del diámetro paralelo a la recta r, o o del que tiene vector director v, relativo a la circunferencia c.
Distancia [A, c]		Distancia del punto A a la circunferencia c.
Perímetro [c]		Perímetro de la circunferencia c.
Polar [A, c]		Recta polar de un punto A relativo a la circunferencia c.
Radio [c]		Longitud del radio de la circunferencia c.
Tangente [A, c] Tangente [r, c]		Todas las rectas que pasan por el punto A, o son paralelas a la recta r, y son tangentes a la circunferencia c.
Tangente [c₁, c₂]		Todas las tangentes (hasta cuatro) comunes a dos circunferencias.

Arcos y sectores circulares

Sintaxis		Comentario
Arco [c, A, B] Arco [c, t₁, t₂]		Arco de circunferencia entre dos puntos A y B en la circunferencia c o entre dos valores paramétricos t₁ y t₂. La expresión paramétrica de una circunferencia es (r cos(t), r sin(t)), donde r es el radio de la circunferencia. Punto inicial y parámetro sobre recorrido.
ArcoCircuncircular [A, B, C]		Arco de circunferencia que pasa por los tres puntos A, B y C. Punto inicial y parámetro sobre recorrido.
ArcoCircunferencia [O, A, B]		Arco de circunferencia con centro O entre los puntos A y B. El punto B no debe necesariamente estar sobre el arco. Punto inicial y parámetro sobre recorrido.
Area [arco o sector]		Área de un sector.
Sector [c, A, B] Sector [c, t₁, t₂]		Sector circular entre dos puntos A y B en la circunferencia c o entre dos valores paramétricos t₁ y t₂. La expresión paramétrica de una circunferencia es (r cos(t), r sin(t)), donde r es el radio de la circunferencia.
SectorCircular [O, A, B]		Sector circular con centro O entre los puntos A y B. El punto B puede no estar sobre el arco.
SectorCircuncircular [A, B, C]		Sector circular que pasa por los tres puntos A, B y C.
Semicircunferencia [A, B]		Semicircunferencia de diámetro AB. Punto inicial y parámetro sobre recorrido.

Lugares geométricos

Sintaxis

Comentario

LugarGeométrico [B, A]

Lugar geométrico del punto B que depende del punto A.

El punto A debe ser un punto sobre (el recorrido de) un objeto o sobre el recorrido de una lista de objetos.

Todo lugar geométrico (locus) es un objeto auxiliar, ya sea creado directamente con la herramienta o el comando LugarGeométrico, o resultado de la aplicación de ciertos comandos de Matemática Discreta, así como del comando ResuelveEDO.

Cada lugar geométrico es a su vez un recorrido sobre los que pueden emplearse comandos pertinentes como el comando Punto. Sus propiedades dependen del modo en que se obtuviera.

Punto inicial y parámetro sobre recorrido.

Videoclip Podemos crear un lugar geométrico a partir de un punto dependiente de un deslizador.

Longitud [lugar]

Número de puntos creados para trazar el lugar geométrico.

Para averiguar la medida del recorrido trazado, usar el comando Perímetro[lugar].

Perímetro [lugar]

Perímetro

del lugar geométrico, en caso de ser finito.

Primero [lugar EDO, n]

Lista de puntos creados en los n primeros pasos del algoritmo de resolución numérica de ecuaciones diferenciales (comando ResuelveEDO) que ha creado el lugar geométrico.

Distancias y razones (proporciones)

Sintaxis

Comentario

Distancia [A, B]
Distancia [A, r]
Distancia [r, A]

Distancia [r, s]

Distancia

entre dos puntos A y B, entre un punto y una recta (o segmento) o entre dos rectas (o segmentos).

La distancia entre rectas secantes es 0. Esta función es interesante para determinar rectas paralelas.

Hasta GeoGebra 3.2, si A es un punto y s un segmento, este comando devolvía la distancia entre el punto A y la recta que contenía al segmento s. A partir de GeoGebra 4.0, establece la distancia al segmento concreto.

Distancia [A, a]

Distancia

del punto A al objeto a, si a no es una función, y al punto más cercano "en vertical" si a es una función.

El objeto a puede ser, además de una recta, cónica, etc., una curva paramétrica, una función implícita o un lugar geométrico.

Pendiente [r]

Pendiente de la recta r.

También traza el triángulo rectángulo de cateto base unitario que ilustra la pendiente calculada y cuyas dimensiones pueden modificarse en sus Propiedades (Estilo, Tamaño).

RazónDoble [A, B, C, D]

Razón doble λ de cuatro puntos colineales A, B, C y D, donde:

λ = RazónSimple[B, C, D] / RazónSimple[A, C, D]

λ es la razón (con su signo) AC/AB

C está entre A y B si y solo si 0 < λ < 1

RazónSimple [A, B, C]

Razón simple λ de los tres puntos colineales A, B y C, donde:

C = A + λ AB