Libro GeoGebra (español)

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FACILIDAD: Geometría CAS Distancias Equidistancias Distancias constantes Ecs. algebraicas e inecuaciones Ángulos Distancia del Taxi Cuerpos   VERSATILIDAD Listas de poligonales   FLEXIBILIDAD: Geometría elástica Geometría elástica Newton's Principia Tensegridades

Resumen   Desde su origen, GeoGebra está diseñado específicamente para mostrar la representación dual, gráfica y algebraica, de los objetos matemáticos. En esta presentación, como eje central, mostraré algunos procedimientos que explotan las posibilidades didácticas de esta dualidad.   Estos procedimientos, expuestos a estudiantes de 15 o 16 años, son tan sencillos, atractivos y rápidos de crear que permiten que sean los propios alumnos y alumnas quienes los generen y utilicen desde cero... ¡con todo éxito!   A pesar de su sencillez, veremos que son tan poderosos que nos permiten bucear en profundidades matemáticas prácticamente inabordables en el aula de secundaria sin la ayuda de GeoGebra, desde estructuras algebraicas (como los cuerpos) hasta métricas no euclídeas (como la taxicab).

Nota: Todas las construcciones GeoGebra enlazadas en esta página web han sido realizadas por quien aquí las presenta. Ninguna de ella, salvo la construcción Burbujas, hace uso de programación JavaScript.

El autor

Mi relación con GeoGebra se remonta a 2005, año en que conocí este programa creado por Markus Hohenwarter [7], aunque ya había trabajado con otros programas de geometría dinámica. Dos años después, en 2007, el profesor Tomás Recio me convoca al Centro Internacional de Encuentros Matemáticos (CIEM , Cantabria) que reunió, entre otros, a varios profesores de secundaria españoles pioneros en el uso didáctico de la geometría dinámica. En esa reunión defendí la eficiencia de GeoGebra [10] frente a otros programas como Cabri. Una consecuencia de ese encuentro fue la formación del grupo G⁴D , constituido por J.M. Arranz , J.A. Mora , M. Sada  y el que esto escribe .

 

Dos años más tarde, desde el Ministerio de Educación de España, Antonio Pérez , entonces director del Instituto de Tecnologías Educativas (ITE, hoy INTEF ), me encarga la realización de cursos para la formación en GeoGebra del profesorado de Educación Primaria y Secundaria [11, 13], así como la creación de un conjunto de actividades completas (introducción del tema, construcción a explorar y cuestionario) para el alumnado, clasificadas por temas y niveles, que bautizamos como Proyecto Gauss [14, 1]. Simultáneamente, Tomás pone en marcha el primer Instituto GeoGebra en lengua española, el Instituto GeoGebra de Cantabria , del cual soy Formador desde su creación.

 

Introducción

El objetivo principal de esta conferencia es mostrar la estrecha relación entre los procedimientos algebraicos y geométricos usando GeoGebra. Una gran parte del tiempo lo dedicaré a presentar actividades que pueden ser abordadas por estudiantes de educación secundaria mediante construcciones realizadas por sí mismos. Al margen de que se pueden emplear de modo esporádico para explorar algunos contenidos específicos, este tipo de construcciones adquiere toda su potencia didáctica en una enseñanza de las matemáticas basada en la adquisición de competencias.

En la primera parte de esta presentación detallaré procedimientos muy sencillos que aprovechan la fuerte interconexión entre geometría y álgebra que da nombre a GeoGebra (de ahí el título de Principia) y permiten proponer a estudiantes de enseñanza secundaria (de unos 15 o 16 años) exploraciones matemáticas "en principio" fuera de su alcance, dejando a las poderosas herramientas de GeoGebra el pesado cálculo algebraico y geométrico, del mismo modo que dejamos actualmente a las calculadoras y hojas de cálculo el pesado y aburrido cálculo aritmético.

 

En particular, la facilidad con la que podemos crear rectas y circunferencias paralelas nos ayudará a construir un offset dinámico cuyo rastro de color permitirá visualizar una gran variedad de lugares geométricos. Al mismo tiempo, el CAS, aplicado a las distancias euclídeas, nos facilitará la creación de curvas implícitas que se ajusten a esos lugares. También veremos cómo convertir, en ocasiones, esas curvas implícitas en ecuaciones e inecuaciones.

 

Ampliaremos el uso del CAS a ángulos y también abordaremos otras distancias no euclídeas, como la distancia del Taxi.

 

Finalizaremos esta primera parte con un ejemplo recíproco, en el que recurrir a la geometría nos facilitará la visualización y manipulación de los conceptos y propiedades inherentes a la estructura algebraica de cuerpo.

 

En la segunda parte, mostraré algunas ideas para realizar construcciones algo más sofisticadas, pero no menos atractivas, que pueden servir de modelo para ser analizadas o modificadas por el alumnado.

 

Primero veremos cómo las listas de GeoGebra facilitan la incorporación de gran cantidad de información. Como ejemplo, representaremos la línea costera de los continentes en una única lista, obteniendo una plantilla de la Tierra.

 

A continuación usaremos los vectores para modificar en todo instante (gracias a los guiones de GeoGebra) la posición de los puntos de acuerdo con nuestros intereses. Estos vectores pueden usarse para combinar fuerzas repulsivas (como partículas del mismo signo), atractivas (como las usadas por Newton para formular su ley de gravitación universal) o simplemente reactivas (como las del choque elástico).

 

Es más, podemos usar los vectores para crear una "geometría elástica". En ella, los puntos no poseen un emplazamiento definido sino que su posición en cada instante es el resultado de la aplicación de las fuerzas mencionadas. Así, por ejemplo, en la geometría elástica un punto no "está" en una circunferencia, sino que es irremediablemente atraído por ella, tiene "su límite" en ella.

 

Por último, como aplicación de este tipo de geometría elástica, veremos ejemplos de construcción de tensegridades.

 

FACILIDAD: Geometría CAS

GeoGebra: Geometría y Álgebra

Desde su nacimiento, GeoGebra permite la construcción rápida y sencilla de modelos geométricos, lo que facilita tanto el aprendizaje como la enseñanza y la investigación. Esta facilidad favorece el efecto IKEA (valoramos más lo que somos capaces de construir nosotros mismos, de ahí el éxito de los juegos clásicos de construcción, como el Meccano o el Lego). Aquí se muestra una de las construcciones que presenté en la reunión de 2007 en el CIEM [9] y con las que defendí el uso de este programa en la enseñanza. He elegido esta porque Markus la popularizó al mantenerla durante años como parte de la cabecera de la web oficial de GeoGebra .

 

Desde entonces, GeoGebra se ha desarrollado enormemente. Podemos construir una infinidad de modelos y aplicaciones, relacionadas con áreas como, por ejemplo, Aritmética, Ecuaciones, Funciones, Isometrías, Variable compleja, Estadística, Probabilidad, Juegos o incluso Música .

 

La variedad de procedimientos también es enorme: desde cortar un hipercubo en lonchas [15] hasta demostrar automáticamente una proposición [12, 17, 18, 28].

 

Resulta evidente que lo que caracteriza a la geometría dinámica es precisamente su dinamismo. Al igual que en la mayoría de los animales que poseen un sistema visual, la evolución ha provocado que se dispare una alerta mental cuando cualquier objeto o ser en nuestro entorno se pone en movimiento. Por tanto, el movimiento es un natural y excelente medio para focalizar la atención.

 

Sin embargo, ¿cómo podemos visualizar fácilmente lugares geométricos sin recurrir a construcciones complejas ni usar farragosas ecuaciones algebraicas? Veremos que una posible respuesta es usar el CAS.

Distancias

El concepto matemático sobre el que gravitaré es un concepto fundamental: la distancia.

 

Al colocar un punto en un espacio, el concepto de distancia a él se comporta como lo que los físicos llaman "campo": no se manifiesta hasta que introducimos otro objeto en él.   Emplearemos dos procedimientos sencillos para visualizar lugares geométricos relacionados con la distancia: la creación de curvas implícitas y el uso del offset dinámico con rastro activado.

 

Método clásico: secuencias de curvas paralelas (offset estático)

Usando el comando VectorNormalUnitario (y su vector opuesto), es sencillo crear secuencias de paralelas a una recta, a distancias progresivas. Para cada recta r, encontramos un par de secuencias:

 

Secuencia(Traslada(r,  k VectorNormalUnitario(r)), k, 0, 20, 0.2)

Secuencia(Traslada(r, –k VectorNormalUnitario(r)), k, 0, 20, 0.2)

 

 

Gracias al comando VectorCurvatura y a la herramienta Lugar geométrico, podemos generalizar el paralelismo a muchas curvas (offset ). Si P es un punto de la curva c, las dos curvas paralelas a distancia k vendrán dadas por el lugar geométrico de los puntos:

 

P ± k VectorUnitario(VectorCurvatura(P, c))

 

Observemos que, en general, las curvas offset no son congruentes con la curva original. Es decir, las curvas paralelas no son simples traslaciones, salvo que se trate de rectas.

 

Pero, en el caso de la circunferencia (pongamos de centro O y radio 4), cuyo offset también es una circunferencia, no necesitamos ni el comando VectorCurvatura ni la herramienta Lugar geométrico, ya que basta variar adecuadamente el radio de la circunferencia original:

 

Secuencia(Circunferencia(O, 4 + k), k, 0, 20, 0.2)

Secuencia(Circunferencia(O, 4 – k), k, 0, 20, 0.2)

 

Además, si consideramos un punto O como una circunferencia de radio 0, obtenemos una única secuencia de offsets centrados en él:

 

Secuencia(Circunferencia(O, k), k, 0, 20, 0.2)

 

Resumiendo: podemos crear fácilmente secuencias de paralelas a rectas, circunferencias y puntos.

Offset dinámico con rastro activado

Ahora sustituiremos cada secuencia de paralelas por una única paralela dinámica. Como antes, usando el comando VectorNormalUnitario (y su vector opuesto), es sencillo crear paralelas a una recta, a una distancia d dada.

 

Para cada recta r, encontramos un par de paralelas:

 

Traslada(r,  d VectorNormalUnitario(r))

Traslada(r, –d VectorNormalUnitario(r))

 

Gracias al comando VectorCurvatura y a la herramienta Lugar geométrico, podemos generalizar el paralelismo a muchas curvas (offset). Si P es un punto de la curva c, las dos curvas paralelas a distancia d vendrán dadas por el lugar geométrico de los puntos:

 

P ± d VectorUnitario(VectorCurvatura(P, c))

 

Observemos que, en general, las curvas offset no son congruentes con la curva original. Es decir, las curvas paralelas no son simples traslaciones, salvo que se trate de rectas.

 

Pero, en el caso de la circunferencia (pongamos de centro O y radio 4), cuyo offset también es una circunferencia, no necesitamos ni el comando VectorCurvatura ni la herramienta Lugar geométrico, ya que basta variar adecuadamente el radio de la circunferencia original:

 

Circunferencia(O, 4 + d)

Circunferencia(O, 4 – d)

 

Además, si consideramos un punto O como una circunferencia de radio 0, obtenemos un único offset centrado en él:

 

Circunferencia(O, d)

 

Resumiendo: podemos crear muy fácilmente offsets de rectas, circunferencias y puntos.

 

También podemos crear los puntos de intersección de dos objetos y el Lugar Geométrico (Locus) correspondiente. El problema del empleo del comando o la herramienta Lugar Geométrico es que en muchas situaciones (más complicadas que la mostrada aquí) no es posible usarlo adecuadamente.

 

Como GeoGebra es un programa de Geometría Dinámica, no solo podemos mover los objetos geométricos a nuestro antojo: también podemos establecer animaciones automáticas [22].

 

Para ello, añadimos rastro al offset y elegimos un valor d decreciente (opuesto a un deslizador "incrementando una sola vez"). Nota: alternativamente, podemos elegir un valor d creciente (incrementando una sola vez) y asignarle como velocidad -1 en vez de 1.

 

Así, haciendo offset simultáneamente sobre un punto y una recta, por ejemplo, podemos visualizar la parábola por contraste de color.

 

La ventaja del offset frente a la curva implícita, que veremos a continuación, es que nos permite detener en cualquier momento la reproducción del procedimiento y observar cómo se cortan los rastros de las líneas para entender por qué esos puntos de corte forman parte del lugar geométrico buscado.

 

Curvas implícitas desde definiciones en CAS

Una parábola se puede definir como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de una recta (directriz) y un punto exterior a ella (foco). Localizar un punto (el vértice) es fácil, pero, ¿cómo localizar los demás?

 

 

 

 

Con GeoGebra, podemos crear un punto libre con el que tantear el terreno, y marcar aquellas posiciones en donde se igualen las distancias. Es un trabajo muy didáctico, pero después de varios ejercicios llega a resultar tedioso.

 

Alternativamente, podemos construir un punto genérico que cree el lugar geométrico, pero esta construcción solo servirá para este caso o similares.

 

También podemos crear la curva implícita definiendo en la Vista CAS un punto arbitrario X(x,y):

 

X:= (x, y)

 

la distancia de X al foco F:

 

XF(x,y):= Distancia(X, F)

 

 

la distancia de X a la directriz r:

 

Xr(x,y):= Distancia(X, r)

 

 

e igualando ambas distancias:

 

XF – Xr = 0

 

 

GeoGebra usa algoritmos numéricos para crear esta curva implícita, por lo que en algunos casos pueden aparecer pequeños errores u omisiones.

Nota: Al menos de momento, GeoGebra no representa ecuaciones de este tipo en tres variables. Es decir, reconoce x² + y² + z² = 16 como una esfera, pero no reconoce como tal la ecuación equivalente (sqrt(x² + y² + z²))² = 16.

 

Equidistancias

Ahora solo tenemos que usar esas sencillas herramientas para investigar con su ayuda toda una variedad de situaciones.

 

En lo sucesivo, consideramos definidas las distancias de un punto arbitrario X(x,y) a A y B como:

 

XA(x,y):= Distancia(X, A)

XB(x,y):= Distancia(X, B)

 

a una recta r como:

Xr(x,y):= Distancia(X, r)

 

y a una circunferencia c como:

 

Xc(x,y):= Distancia(X, c)

Equidistancia a dos o tres puntos

Al contraer las circunferencias con el rastro activado, en cada punto del plano sobrevive el color correspondiente al centro más cercano, por lo que obtenemos la mediatriz.

 

La curva implícita de la mediatriz de AB tiene por ecuación:

 

XA – XB = 0

 

En el caso de tres puntos, podemos visualizar el circuncentro [2] del triángulo que determinan.

 

Equidistancia a un punto y una circunferencia

Si el punto está en el círculo, obtenemos una elipse y si está fuera, una rama de hipérbola.

 

La curva implícita de la elipse o rama de la hipérbola tiene por ecuación:

 

XA – Xc = 0

 

 

Observemos que una construcción similar a la de la parábola también nos permite generar ese lugar geométrico.

 

Equidistancia a dos rectas

Al acercar al mismo tiempo paralelas a dos rectas, con el rastro activado, sobrevive el color correspondiente a la recta más cercana, obteniendo las bisectrices. En el caso de tres rectas, podemos visualizar el incentro y los exincentros del triángulo que determinan.

 

 

 

 

Como caso particular, podemos visualizar el eje medio de un polígono como frontera (compuesta por segmentos y arcos de parábolas) entre los rastros supervivientes.

 

Al igual que anteriormente, también podemos visualizar y construir fácilmente el lugar geométrico correspondiente a la bisectriz.

Equidistancia recta-circunferencia y a dos circunferencias

El lugar geométrico de los puntos que equidistan de una recta y una circunferencia está formado, en general, por una parábola o, si se cortan, dos parábolas.

 

El lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos circunferencias está formado, en general, por una rama de hipérbola o, si se cortan, una elipse.

 

Diagrama de Voronoi y mapas similares

Aunque la curva implícita es más rápida de crear y usar, el método offset permite afrontar problemas que la curva implícita no puede abordar. Por ejemplo, si en vez de a la equidistancia entre dos puntos (mediatriz) aplicamos el método offset a varios puntos, obtenemos el diagrama de Voronoi (o polígonos de Thiessen).

 

De modo similar, podemos también crear el mapa de las regiones más próximas a una colección de rectas o circunferencias.

Nota: El comando Voronoi de GeoGebra no colorea cada región. Puede verse un modo dinámico de hacerlo aquí .

Equidistancia a dos curvas

Podemos aplicar el método offset a dos curvas, siempre que podamos calcular el vector normal en cada punto de ambas.

 

En el caso de que no podamos calcular los vectores normales, siempre podemos crear un mapa de calor usando la técnica del escáner de color dinámico [3, 19, 26, 27, 31].

 

Distancias constantes

Punto-Punto

Cuando la suma de las distancias de los puntos del lugar buscado a los puntos A y B es constante, obtenemos una elipse.

 

Cuando la diferencia de las distancias de los puntos del lugar buscado a los puntos A y B es constante, obtenemos una rama de hipérbola. (En el caso de que la constante sea 0, obtenemos la mediatriz.)

 

 

Cuando el producto de las distancias de los puntos del lugar buscado a los puntos A y B es constante, obtenemos un óvalo de Cassini . Si la constante coincide con el cuadrado de la mitad de la distancia AB, obtenemos una lemniscata de Bernoulli .

 

Cuando el cociente de las distancias de los puntos del lugar buscado a los puntos A y B es constante, obtenemos, sorprendentemente , una circunferencia. (En el caso de que la constante sea 1, obtenemos la mediatriz.)

 

Cociente constante punto-recta

Cuando el cociente de las distancias de los puntos del lugar buscado al punto A y la recta r es una constante k, obtenemos una cónica, que será elipse, parábola o hipérbola según sea el valor de k (excentricidad) menor, igual o mayor que 1, respectivamente .

 

Combinación lineal constante

Podemos generalizar las sumas y diferencias a cualquier combinación lineal de distancias entre puntos, punto y recta, punto y circunferencia, etc.

 

Surgen así cónicas y cuárticas (óvalos cartesianos, productos de rectas...), el caracol de Pascal , así como curvas de grado superior producto de las anteriores.

 

Suma constante a tres o cuatro puntos

En el caso de la suma constante k de distancias a tres puntos A, B y C, basta con introducir:

 

XA + XB + XC = k

 

 

 

 

Para realizar el offset, lo que hacemos es solapar el rastro de las elipses Elipse(A, B, (k–h)/2) con las circunferencias Circunferencia(C, h), donde h es un parámetro real positivo que va disminuyendo desde el valor k hasta cero. Los puntos frontera de color serán entonces precisamente los puntos que cumplan:

Elipse(A, B, (k–h)/2) = Circunferencia(C, h)

que es equivalente a que la suma de distancias de esos puntos a A, B y C sea exactamente la cantidad prefijada k (pues XA + XB = k – h, XC = h). Conseguimos así mostrar una 3-elipse . En el caso de cuatro puntos, se solapan el rastro de dos elipses, determinando una 4-elipse.

Nota: Un enfoque algebraico de esta situación, también con GeoGebra, puede verse en este artículo [8] de Zoltán Kovács.

Ecs. algebraicas e inecuaciones

Equidistancia a un punto y una circunferencia: ecuación algebraica

Anteriormente, habíamos definido directamente la distancia de un punto X(x,y) a la circunferencia c como:

 

Xc(x,y):= Distancia(X, c)

 

 

 

 

con lo que la ecuación de los puntos equidistantes de un punto y una cirunferencia se reduciría a:

 

XA – Xc = 0

 

Si la circunferencia tiene centro O y radio s, podemos redefinir la ecuación anterior como:

 

|XO – s| = XA

 

Esta redefinición nos permitirá visualizar las dos ramas de la hipérbola. Para ello, basta transformar la anterior ecuación irracional en una ecuación algebraica, elevando al cuadrado para eliminar las raíces (alcanzar la siguiente expresión es fácil, pues no requiere procesos de agrupación, simplificación o cancelación, pero tampoco pasa nada por ayudar a estudiantes con pocos recursos algebraicos a resolver este pequeño ejercicio, el resultado merece la pena):

 

(XA² – XO² – s²)² = 4s² XO²

 

Las ecuaciones algebraicas tienen además la ventaja de permitir representar las correspondientes inecuaciones sin tener que recurrir al offset. Para ello basta definir:

 

XA2(x,y) := Simplifica(XA^2)

 

XO2(x,y) := Simplifica(XO^2)

 

De este modo, podemos introducir las inecuaciones:

 

(XA2 – XO2 – s²)² < 4s² XO2

(XA2– XO2 – s²)² > 4s² XO2

Equidistancia a dos puntos: restricciones en la representación de inecuaciones

Pero no siempre la ecuación algebraica permite a GeoGebra representar las inecuaciones correspondientes. Tal y como aparece en el manual oficial , esta representación está limitada a los siguientes casos:

 

 

 

 

• inecuaciones polinómicas en una variable, como x³ > x + 1

• inecuaciones cuadráticas en dos variables, como x² + y² + x y < 4

• inecuaciones lineales en una de las variables, como 2x > sen(y)

 

Al hallar la ecuación algebraica correspondiente a XA – XB = k, obtenemos la misma que la correspondiente a XA + XB = k:

 

4 XB2 XA2 = (k² – XA2 – XB2)²

 

ecuación que se reduce a una cuadrática en dos variables, lo que permite a GeoGebra la representación de sus correspondientes inecuaciones.

Nota: la ecuación cuadrática común a la elipse y a la hipérbola no es más que la ecuación general de la cónica

a x² + b x y + c y² + d x + e y + f = 0

en la que la elipse y la hipérbola solo se distinguen según el signo del discriminante b² – 4 a c.

Pero la ecuación algebraica correspondiente a XA XB = k no representa una cónica, por lo que GeoGebra no puede representar las inecuaciones correspondientes. En cambio, la ecuación algebraica correspondiente a XA = k XB vuelve a ser una cónica, lo que permite a GeoGebra representar las inecuaciones correspondientes.

 

Sumas iguales de distancias a dos pares de puntos

Si introducimos XA + XB = XC, el lugar geométrico resultante corresponde a la intersección de una familia de elipses XA + XB = k, y una de circunferencias XC = k, según varíe el parámetro k.

 

En el caso de cuatro puntos, XA + XB = XC + XD corresponderá a la intersección de dos familias de elipses.

 

 

Nota: Los valores mínimo y máximo de k que garanticen la existencia de intersección no son sencillos de calcular. Puede verse un acercamiento en [6].

También se muestra el caso XA + XB = Xr, así como la representación de las ecuaciones algebraicas correspondientes.

 

Familias de curvas

En definitiva, el campo a explorar puede ampliarse indefinidamente. Como últimos ejemplos con distancias, aquí podemos observar algunos resultados con potencias.

 

Es fácil demostrar que la representación de XA2 + XB2 = k, con k constante, es una circunferencia centrada en el punto medio de A y B.

 

Nota: el radio de esa circunferencia es sqrt(k/2 − (x(A-B)/2)² − (y(A-B)/2)²).

De ello se deduce que el lugar donde la suma de los cuadrados de las distancias a varios puntos es constante es una circunferencia centrada en el punto medio de esos puntos.

 

Además, tomando D = XA2, podemos observar que la representación en el plano real de cualquier polinomio p(D) está compuesta exclusivamente por una o más circunferencias.

Nota: se trata de una consecuencia del teorema fundamental del álgebra, ya que p(D) se puede descomponer en factores (D − c), donde c es un número complejo. Si c es real no negativo, entonces D − c = 0 corresponde a una circunferencia de radio la raíz de c, en caso contrario no se visualiza nada.

Aquí también vemos que podemos representar varias curvas de una misma familia, como por ejemplo XAⁿ = XB y observar su comportamiento al unísono.

 

 

 

Ángulos

La siguiente es una de las imágenes generada usando el escáner de color dinámico que más me gustan. El escáner tiene una versatilidad enorme, es capaz de crear un mapa de calor de prácticamente cualquier situación [3, 19, 26, 27, 31].

 

 

En este caso, se visualiza el primer punto isogónico I₁ mediante la intersección de los lugares geométricos que ven bajo el mismo ángulo a cada par de lados del triángulo.

Nota: I₁ coincide con el punto de Fermat cuando el mayor ángulo del triángulo no supera los 120º; en caso contrario, el punto de Fermat coincide con el vértice correspondiente a ese ángulo. Se puede calcular directamente como el centro X(13) del triángulo:

 

I₁ = CentroTriángulo(O, A, B, 13).

 

Ahora bien, construir el escáner lleva algo de trabajo. Pero podemos usar el CAS para definir no solo distancias, sino también ángulos. Si alguien continúa pensando que usar la expresión XA en vez de la expresión sqrt((x − x(A))² + (y − y(A))²) tampoco ahorra tanto trabajo, tal vez ahora se lo piense mejor al poder usar la expresión OXA, definida en la vista CAS como:

 

 

OXA(x,y):= Ángulo(O, X, A)

 

 

en vez de su equivalente algebraico (siendo O=(a,b) y A=(c,d)):

cos^–1((a c – a x + b d – b y – c x – d y + x² + y²) sqrt(a² c² – 2a² c x + a² d² – 2a² d y + a² x² + a² y² – 2a c² x + 4a c x² – 2a d² x + 4a d x y – 2a x³ – 2a x y² + b² c² – 2b² c x + b² d² – 2b² d y + b² x² + b² y² – 2b c² y + 4b c x y – 2b d² y + 4b d y² – 2b x² y – 2b y³ + c² x² + c² y² – 2c x³ – 2c x y² + d² x² + d² y² – 2d x² y – 2d y³ + x⁴ + 2x² y² + y⁴) / (a² c² – 2a² c x + a² d² – 2a² d y + a² x² + a² y² – 2a c² x + 4a c x² – 2a d² x + 4a d x y – 2a x³ – 2a x y² + b² c² – 2b² c x + b² d² – 2b² d y + b² x² + b² y² – 2b c² y + 4b c x y – 2b d² y + 4b d y² – 2b x² y – 2b y³ + c² x² + c² y² – 2c x³ – 2c x y² + d² x² + d² y² – 2d x² y – 2d y³ + x⁴ + 2x² y² + y⁴))

Naturalmente, esta expresión no es más que un desarrollo deducido del producto escalar de dos vectores:

vO(x,y):= Vector(X, O)
vA(x,y):= Vector(X, A)
OXA(x,y):= acos((vO vA)/(|vO|*|vA|))

La gran ventaja, además de la comodidad, estriba en que el comando Ángulo nos permite explorar las relaciones angulares sin necesidad de conocer siquiera las operaciones básicas con vectores, como el producto escalar.

 

Aquí podemos ver, por ejemplo, el lugar geométrico correspondiente a los puntos que forman con el segmento OA un ángulo igual (en radianes) a la distancia al punto A:

 

OXA − XA = 0

Nota: las circunferencias cuyos arcos capaces abarcan un ángulo OXA equivalente a XA radianes tienen por centros:

 

(O + A)/2 ± VectorNormal(OA)/(2 tg(XA))

Y los que ven los segmentos OA y OB desde el mismo ángulo:

 

OXA − OXB = 0

 

Finalmente, la intersección de este último lugar con el correspondiente a la ecuación OXA – AXB = 0 es el punto de Fermat buscado.

Distancia del Taxi

Nota: esta sección surgió a raíz del confinamiento decretado en España en 2020 debido a la pandemia covid-19. La Consejería de Educación de Asturias, región donde trabajaba como profesor, decidió sustituir las clases presenciales por telemáticas, al tiempo que decretó la obligación de no adelantar materia curricular en ninguna asignatura. Esto me llevó a buscar un campo de exploración matemática ajeno al currículo oficial pero al alcance de alumnos de 4º de ESO (de 15 o 16 años). A los alumnos y alumnas les supuso un aliciente saber que estaban investigando un tema prácticamente desconocido para la inmensa mayoría de los profesores de matemáticas. Además, el cambio de métrica conllevó un montón de sorpresas y preguntas. Una fiesta matemática.

Salgamos ahora de la familiar métrica euclídea:

 

La distancia del Taxi (o Manhattan) es especialmente sencilla para introducir como proyecto de investigación en la enseñanza secundaria, ya que su forma algebraica se reduce a ecuaciones lineales.

 

Más...

Distancias de Minkowski La forma de la circunferencia es determinante en cualquier geometría plana. Aquí vemos la definición de la distancia de Minkowski de un punto arbitrario X(x, y) al origen O.   XO(x,y):= (|x|p+|y|p)1/p   Para p=2, tenemos la distancia euclídea. Para p=1, tenemos la distancia del Taxi. Variando p, vemos cómo evoluciona la forma de la circunferencia en cada caso.

 

Geometría del Taxi

Efectivamente, como diría Magritte, C'eci n'est pas un disque (esto no es un disco) , pero veremos que sí puede ser la representación de un círculo si consideramos la métrica del Taxi.

 

Usaré los prefijos T y E para distinguir la métrica del Taxi de la métrica Euclídea. A la distancia del Taxi aquí la denominaremos también como distancia taxista.

 

Nota: A pesar de que un T-círculo tiene forma cuadrada, seguramente Magritte seguiría afirmando −con razón− que el T-círculo que vemos es solo una representación, una imagen del disco; pero además, aquí, al contrario que sucede con una pipa, el disco representado es una abstracción mental (una forma matemática ideal) en vez de algo material, por lo que la posible confusión todavía es mayor.

En la métrica del Taxi (o Manhattan ) las distancias se miden en horizontal y vertical, nunca en diagonal. Así, la T-distancia de un punto arbitrario (x, y) al punto O es la suma de las diferencias horizontales y verticales, en valor absoluto, de sus coordenadas:

 

XO(x,y) := |x – x(O)| + |y – y(O)|

 

Al contrario de lo que sucedía en la métrica euclídea, GeoGebra no tiene implementado el comando T-distancia, por lo que habremos de formular "a mano" tanto la distancia entre dos puntos como la distancia entre punto y recta, facilitándoles ambas fórmulas al alumnado.

 

Al igual que GeoGebra representa un segmento ajustándolo a la cuadrícula de píxeles de la pantalla, podemos imaginar un segmento en diagonal compuesto de tramos horizontales o verticales tan pequeños como queramos: la T-distancia entre dos puntos B y C no variará.

 

La T-distancia entre B y C también será la misma para cualquier arco creciente o decreciente de una función cuya gráfica vaya de B a C.

En la geometría del Taxi puede haber infinitos recorridos mínimos entre dos puntos distintos.

Todo esto no simplifica la geometría, sino que la complica. Esto se debe a que la longitud de cada segmento no es uniforme en la dirección, sino que depende de su pendiente.

 

En la E-ilusión que se muestra [21], el cuadrado azul parece variar de tamaño, pero solo es un problema de percepción que desaparece al ver completamente sus lados (pulsa sobre el cuadrado azul). Explicación: cuando las esquinas son visibles, estimamos el tamaño del cuadrado por su diagonal; cuando no lo son, lo valoramos por la distancia entre lados opuestos (longitud del lado).

 

Sin embargo, en la geometría del Taxi, el cuadrado azul realmente varía su área según sea la pendiente de sus lados (mientras que tanto la T-longitud de sus lados como sus ángulos permanecen constantes).

 

Analizando el cuadrado en detalle, vemos que el T-perímetro del cuadrado azul y del cuadrado amarillo es el mismo, pero el área no lo es: El área del cuadrado amarillo es (b + c)² pero el área del cuadrado azul es b² + c², que es mínima cuando b = c. Por lo tanto, en la geometría del Taxi las T-áreas coinciden con las E-áreas, pero:

El área de un T-cuadrado NO es igual, en general, al cuadrado del lado.

Podemos imaginar la T-circunferencia como una compresión de la E-circunferencia. Debido a que la T-longitud no es uniforme en cada dirección, la T-circunferencia se comprime en una forma cuadrada, con sus diagonales paralelas a los ejes cartesianos.

 

T-construcciones básicas

Si fijamos un punto O del plano, podemos considerar la distancia taxista del resto de los puntos a O.

 

Como hemos visto, los puntos que T-equidistan de O conforman un cuadrado (de diagonales paralelas a los ejes). Si el radio es r, el perímetro es 8r, así que la razón entre la T-circunferencia y su T-diámetro es 4 (en vez de 𝜋).

 

 

Al fijar otro punto I distinto de O, establecemos una orientación O→I y una recta. Tomaremos como unidad la T-distancia de O a I. Podemos seguir pensando en las T-rectas como si fueran E-rectas, ya que solo cambia el modo de medir cada segmento. ¡Recordemos que los píxeles obligan a que la propia recta que dibuja GeoGebra esté formada por tramos horizontales y verticales!

 

Dado un punto A de la recta r, en esta solo existe otro punto A' a la misma distancia de O que A. Este T-simétrico coincide con el E-simétrico.

 

Dados dos puntos distintos A y B, podemos encontrar todos los que equidistan de ellos.

 

Esta T-mediatriz no coincide con la euclídea.

 

Intersecando la T-mediatriz con la recta, obtenemos el punto medio, que coincide con el punto medio euclídeo.

 

Las perpendiculares y paralelas son las mismas que en la geometría euclídea, pero la proyección ortogonal de un punto en una recta no proporciona, en general, el punto más cercano en la recta. (Es más, "el punto más cercano" tampoco está unívocamente determinado cuando la recta tiene pendiente 1 o –1.)

 

Para hacer una T-inversión , llevamos A e I hasta la horizontal que pasa por O, invertimos (x(A), y(O)) en la E-circunferencia punteada, de centro O que pasa por (x(I), y(O)), y creamos triángulos semejantes que garantizan la nueva inversión.

 

El T-inverso de A no coincide con el E-inverso de A.

T-ángulos

En el T-círculo unidad, podemos definir el T-radián exactamente igual que definimos un E-radián en el E-círculo. Para T-medir un ángulo, basta medir la T-longitud del arco (rectilíneo) correspondiente en el T-círculo unidad. Un T-círculo tiene 8 T-radianes.
 

 

 

La perpendicularidad y el paralelismo se conservan bajo giros, pero, en general, las T-distancias no son invariantes ni respecto a E-giros... ¡ni respecto a T-giros! En efecto, una de las peculiaridades de la T-distancia es que es sensible a la orientación de las rectas: un segmento, al ser T-girado, ya no mide igual.

 

Viñeta de Mafalda, por Quino
 

La suma de los ángulos de cualquier T-triángulo es de 4 T-radianes. Un T-triángulo puede ser equilátero o equiángulo, pero nunca puede ser regular.

Cualquier E-cuadrado es también T-cuadrado. Pero como la distancia taxicab no es uniforme en cualquier dirección, estos dos T-cuadrados tienen el mismo perímetro (aunque no la misma área):

 

El cuadrado de la izquierda es, además, un T-círculo.
El de la derecha, no lo es.

 

Las T-funciones trigonométricas son mucho más sencillas que sus correspondientes euclídeas. Por ejemplo, la función T-seno no solo no es trascendente, sino que es lineal a trozos. La función T-tangente, está formada por E-hipérbolas a trozos.

Nota: Una posible expresión para la función T-seno es: tsen(x) = 1 – 2 |1/2 - x/4 + 2 floor(1/4 + x/8)|. Así, la función T-coseno se puede definir como tcos(x) = tsen(x+2). La función T-tangente es, a trozos, una función homográfica .

T-equidistancias

Al contraer las T-circunferencias con el rastro activado, en cada punto del plano sobrevive el color correspondiente al centro más cercano.

 

Con varios puntos, podemos visualizar el diagrama de Voronoi y compararlo con el correspondiente a la distancia euclídea.

 

 

Para analizar la equidistancia punto-recta, necesitamos conocer la distancia de un punto (x, y) a una recta r: a x + b y + c = 0. Tal distancia es (esta fórmula se proporciona al alumnado y se puede introducir directamente en la vista algebraica):

 

Xr(x,y) = |a x + b y + c| / Máximo(|a|, |b|)

 

De la equidistancia punto-recta surge la T-parábola, mientras que de la equidistancia punto-circunferencia surgen la T-elipse y la T-hipérbola.

 

Si consideramos la equidistancia a los lados de un polígono, surge su esqueleto y su eje medio. Podemos recorrerlo con un disco bitangente para comprobarlo.

 

Finalmente, también podemos encontrar el camino T-equidistante entre dos curvas, ya sea mediante offset (como se muestra aquí) o generando un mapa de calor.

T-cónicas

Como ya hemos visto, la T-circunferencia tiene forma cuadrada (con las diagonales paralelas a los ejes).

 

La T-elipse tiene forma, en general, de octógono. Si A y B están en la misma vertical u horizontal, toma forma de hexágono. Cuando la suma constante coincide con la T-distancia de A a B, la elipse degenera en un rectángulo de diagonal AB.

 

 

La T-parábola está formada, en general, por dos semirrectas (horizontales o verticales) y dos segmentos.

 

Por último, cada rama de la T-hipérbola está formada, en general, por dos semirrectas (horizontales o verticales) y un segmento.

T-esfera

Una T-esfera está formada por los puntos del espacio que T-equidistan de su centro. Tiene forma de E-octaedro regular (que no es T-regular, pues los triángulos T-regulares no existen) con sus diagonales paralelas a los ejes. También se puede generar T-rotando una T-circunferencia por el diámetro horizontal o vertical.

 

 

 

Los lugares geométricos que aparecen en la geometría taxista invitan a preguntar: ¿qué es lo que tiene que tener "algo" para ser ese "algo"? ¿Qué caracteriza a un objeto? Por ejemplo, ¿es la E-esfera redonda por tener sus puntos equidistantes de su centro o lo es por la uniformidad en la dirección que posee la distancia euclídea?

T-elipsoide

Un T-elipsoide es el lugar geométrico de los puntos del espacio cuya suma de T-distancias a los focos es constante (k). Tiene, en general, forma de poliedro con 18 caras rectangulares y 8 caras triangulares (E-regulares pero no T-regulares).

 

 

 

 

El T-elipsoide degenera en E-cuboctaedro cuando coinciden las diferencias absolutas de las coordenadas de los focos; degenera en E-cubo cuando esas diferencias coinciden además con k; y degenera en T-esfera (E-octaedro regular) cuando los focos coinciden.

 

Para ciertas posiciones especiales de los focos, aparece un T-elipsoide con todas sus caras formadas por E-polígonos regulares, pero no es un E-poliedro regular ni semirregular, pues sus vértices no son uniformes.

 

Finalmente, cuando la T-distancia entre los focos es igual a k, obtenemos un ortoedro.

Cuerpos

Retornemos a nuestra familiar métrica euclídea. Hasta ahora hemos usado el álgebra para facilitar la observación de lugares geométricos. Veamos ahora un ejemplo del proceso recíproco: usar la geometría para facilitar la observación de estructuras algebraicas.

Normalmente pensamos en las estructuras algebraicas (grupos, anillos, cuerpos...) como algo inherente a ciertas estructuras numéricas, como los números enteros o los números reales.

Sin embargo, podemos crear fácilmente estructuras geométricas equivalentes, con la ventaja de que así podemos visualizar cada operación aritmética como una construcción geométrica.

Construcciones preliminares

Si fijamos un punto O del plano, podemos considerar la distancia (euclídea) del resto de los puntos a O. Denotaremos OP a la distancia de O a P.

Los puntos que equidistan de O conforman una CIRCUNFERENCIA.

Al fijar otro punto I distinto de O, establecemos una DIRECCIÓN, una ORIENTACIÓN O→I y una RECTA r.

Tomaremos la distancia OI como UNIDAD. Además, dos puntos de la recta limitan una semicircunferencia. Un punto P está en la recta r si cumple alguna de estas igualdades:

OI = OP + PI (P está entre O e I)
OP = OI + IP (I está entre O y P)
PI = PO + OI (O está entre P e I)

• Simétrico: Si A está en la recta, en esta solo existe otro punto A' a la misma distancia de O que A.

• Mediatriz: Dados dos puntos distintos A y B, podemos encontrar todos los que equidistan de ellos.

• Punto medio: Intersecando la mediatriz con la recta r, obtenemos el punto medio M_AB.

• Perpendicular: La mediatriz nos permite trazar perpendiculares (basta trazar la circunferencia con centro P a un punto cualquiera de r).

• Paralela: Con dos perpendiculares obtenemos una paralela por P a r.

• Inversión : Con la circunferencia y la perpendicular podemos construir la inversión de A, A^–1.

El cuerpo de los puntos de una recta

Continuemos con nuestro proceso de construcción de la estructura. Ahora definiremos las cuatro operaciones elementales.

• Suma: Para obtener A + B, reflejamos O en M_AB obteniendo un nuevo punto de r.
• Resta: Para obtener A − B, sumamos A + B'.
• Multiplicación: Creamos el producto construyendo triángulos semejantes, obteniendo un nuevo punto de r.
• División: Para obtener A/B, multiplicamos A x B^–1. La división no es conmutativa.
• Orden. La simetría I' O I permite definir una RELACIÓN DE ORDEN:

A ≤ O :⇔AI' ≤ AI                    A ≤ B :⇔A − B ≤ O

Estructura. Por todo lo anterior, el conjunto de los puntos de la recta r, dotado de las operaciones suma y producto así definidas, constituye una estructura similar ("cuerpo ordenado") a la de ℝ. De hecho, podemos establecer una biyección (isomorfismo) entre ambas estructuras:

(r, O, +, ×) → (ℝ, +, ×)

haciendo corresponder a cada punto P de r el número real –OP si P<O y el número real OP si P≥O.

Nota: Observemos que no entramos en la cuestión, más espinosa, de cómo construir geométricamente todos los puntos de la recta (completitud de la recta real). Damos por supuesto que a todo punto le corresponde un número y viceversa. Ahora bien, si deseamos restringirnos a los puntos construibles con las operaciones señaladas, podemos establecer un isomorfismo de esos puntos (ya no sería toda la recta) con el cuerpo de los números construibles.

Los puntos de una recta no son los únicos objetos geométricos que podemos dotar de la estructura de cuerpo. Nos vale cualquier otro conjunto de objetos que compartan la misma definición en la cual solo hay un punto libre residente en una recta. A continuación, algunos ejemplos.

VERSATILIDAD

Listas de poligonales

Las listas permiten agrupar en un solo objeto una gran cantidad de información. En este ejemplo, las humildes poligonales, que carecen de la elegancia presente en muchas curvas, la compensan con la versatilidad que les proporciona su agrupación en una sola lista.

La poligonal cerrada estática

Podemos importar a una hoja de cálculo grandes cantidades de datos. En este caso, 6122 coordenadas terrestres procedentes de datos públicos de la North American Cartographic Information Society que, una vez depuradas en un procesador de textos y agrupadas debidamente, se convierten en listas.

 

 

Cada lista de puntos es llamada por el comando Poligonal, de modo que finalmente obtenemos una lista de poligonales cuyos argumentos son listas de puntos. Recordemos que, a diferencia del polígono, los vértices de la poligonal no tienen por qué descansar en el mismo plano. Obtenemos así un único diseño: el de las costas terrestres. Gracias a este diseño convertimos una anodina esfera en un modelo de la superficie terrestre.

Costa = {Poligonal((5; 3.142; 1.204), (5; 3.117; 1.211), (5; 3.067; 1.22), (5; 3.031; 1.219), (5; 2.975; 1.223), (5; 2.967; 1.216), (5; 2.981; 1.204), (5; 2.96; 1.199), (5; 2.93; 1.214), (5; 2.896; 1.212), (5; 2.863; 1.216), (5; 2.832; 1.215), (5; 2.809; 1.212), (5; 2.787; 1.217), (5; 2.79; 1.23), (5; 2.775; 1.237), (5; 2.74; 1.24), (5; 2.67; 1.236), (5; 2.624; 1.25), (5; 2.609; 1.26), (5; 2.452; 1.271), (5; 2.429; 1.264), (5; 2.441; 1.248), (5; 2.413; 1.25), (5; 2.4; 1.245), (5; 2.366; 1.251), (5; 2.336; 1.246), (5; 2.308; 1.254), (5; 2.291; 1.236), (5; 2.264; 1.242), (5; 2.242; 1.256), (5; 2.252; 1.264), (5; 2.244; 1.275), ...

Con ese modelo [16] ya podemos construir un escenario donde podamos realizar multitud de actividades. Desde observar elementos geográficos (polo, meridiano, paralelo, punto cardinal, ecuador, trópico, círculo polar, huso, zona horaria...), hasta realizar análisis y mediciones (octante, latitud, longitud, rumbo, loxodromia, distancias ortodrómicas, triángulo esférico...).

Nota: Este modelo puede servir de excelente ejemplo del espíritu de colaboración que caracteriza a los recursos creados por la comunidad GeoGebra desde su inicio. Usándolo como plantilla, Chris Cambré publicó, en neerlandés e inglés, un libro GeoGebra sobre proyecciones cartográficas y otro sobre Mercator . Después, Carmen Mathias tradujo ambos al portugués (, ). Cerrando el círculo, yo los traduje al español (, ). Este comportamiento colaborador adquiere su máxima expresión en el foro de GeoGebra .

 

Si ahora añadimos la órbita solar aparente, dispondremos de una esfera armilar (o astrolabio esférico) que nos permite analizar el paso del tiempo (años, días, horas, GMT, UTC, estaciones, cénit, oblicuidad de la eclíptica, punto Aries, equinoccio, solsticio, coordenada celeste, analema, horizonte celeste, orto, ocaso, las 88 constelaciones, el zodíaco, las estrellas más brillantes...) [20].

Nota: Los datos de la Ascensión Recta y la Declinación de cada estrella fueron recogidos aquí.

La poligonal estática autogenerada

A veces podemos ahorrarnos el trabajo de importar los vértices. La iteración de un guion asociado a un deslizador animado (desarrollaremos más adelante este procedimiento) permite realizar fácilmente construcciones en que la lista de vértices de una poligonal se vaya ampliando sucesivamente por sí misma. Un ejemplo típico de aplicación de este método es la generación de fractales, como este que muestra el procedimiento iterativo para la creación del conocido copo de nieve de Koch y el correspondiente anticopo [29].

FLEXIBILIDAD: Geometría elástica

Geometría elástica

Normalmente, un punto o está o no está en una posición dada. Pero gracias a los guiones y los vectores podemos flexibilizar esta situación, dotando a los puntos de la capacidad de moverse libremente y, sin embargo, intentar mantener en todo momento cierta relación con otros puntos.

En vez de fijar una posición determinada para cada punto, fijaremos una relación con el resto de puntos.

Guiones y vectores

Nuestro objetivo es conseguir un polígono equilátero con todos sus vértices libres. ¿Cómo cerrar la poligonal manteniendo libres sus vértices (como un metro de carpintero)?

 

O, partiendo de un polígono: ¿Cómo construir un rombo manteniendo libre el cuarto vértice?

 

 

 

La solución reside en emplear guiones. Por ejemplo, un punto libre Q permanecerá en todo momento a 5 unidades del punto libre P si al actualizar la posición de P se ejecuta el guion:

 

Valor(Q, P + 5 VectorUnitario(Q−P))

 

y al actualizar la posición de Q se ejecuta el guion:

 

Valor(P, Q + 5 VectorUnitario(P−Q))

 

Así, en un rombo, podemos mantener la distancia entre los vértices A y B al tiempo que ambos puntos se mantienen libres.

 

O podemos representar tipos de triángulos (rectángulos, isósceles, equiláteros...) que mantengan su tipología mientras podemos mover cualquiera de sus tres vértices.

 

Este método también sirve para conservar ángulos en vez de distancias. Basta modificar el vector a aplicar sobre el punto, usando la rotación adecuada para reajustar el ángulo. Como ejemplo, podemos ver un pentágono equiángulo con todos sus vértices libres.

Se incluye aquí un resultado (publicado en 2015) que es un bonito ejemplo de estrecha relación entre geometría y álgebra: "un polígono de n lados es equiangular si y solo si e^2𝜋i/n es una raíz compleja del polinomio de grado n–1 cuyos coeficientes son las longitudes de los lados consecutivos del polígono" .

Articulaciones

Un ejemplo en el espacio. Esta construcción se basa en el principio anterior para conservar la distancia (que no los ángulos) de los vértices de un cubo.

 

 

 

 

 

Se obtiene así un cubo articulado, cuyas caras no son necesariamente planas, sino bisagras de dos triángulos isósceles. Las posibles posiciones de sus vértices resultan difíciles de analizar sin recurrir a este método [4, 5, 32].

 

Guiones de deslizadores animados

Sin embargo, no podemos generalizar este método a polígonos de más de 4 lados, pues el reajuste de la longitud del quinto lado puede provocar el desajuste de los ya ajustados. Necesitaríamos un reajuste continuo, iterativo, hasta conseguir el resultado deseado. Pues bien, podemos conseguir este reajuste continuo recurriendo a un guion que se ejecuta continuamente al estar asociado a la actualización del valor de un deslizador animado.

 

 

Por ejemplo, en la primera escena parece que P es un punto de la circunferencia (de radio 4 centrada en A), pero en realidad es un punto libre. Al tirar de él, volverá a la circunferencia pues se ejecuta permanentemente el guion del deslizador animado, que es:

 

Valor(P, P + u)
 

donde:

 

u = A - P + 4 VectorUnitario(P − A)

 

Podemos añadir un coeficiente (k) para controlar la velocidad: Valor(P, P + k u)

Si añadimos otro vector, P se dirigirá hacia la intersección más próxima, ¡incluso aunque no exista intersección!

Haciendo lo mismo con 5 puntos y 5 vectores, voilà! Ya podemos mantener la equidistancia en más de cuatro puntos.

 

 

Fluido

Enmascarando el polígono o la poligonal con curvas, por ejemplo usando splines , suavizamos la percepción del efecto de la suma de las fuerzas internas (que conservan la distancia de los puntos) con las externas (que aplican un movimiento al conjunto).

 

Amorfo

La versatilidad así lograda es grande. Por ejemplo, podemos conseguir, literalmente, que las figuras "pasen por el aro". Recordemos que en ningún momento se determina la forma del conjunto, sino que esta es resultado de la suma vectorial correspondiente a la posición alcanzada en cada instante.

Polígono funicular

En este ejemplo, partimos de un hilo sin masa apreciable del que cuelgan pesos (los vértices de la poligonal). El guion asociado al deslizador animado provoca que esos vértices se desplacen verticalmente hacia abajo, simulando la gravedad (fuerza externa), al tiempo que las fuerzas de cohesión entre los vértices vecinos (fuerzas internas del hilo) limitan ese movimiento.

 

 

 

Como podemos apreciar, al cabo de pocos segundos la poligonal toma la forma del polígono funicular resultante. Los vértices se ajustan muy bien a una elipse. Si añadimos más vértices, el ajuste se aproximará más y más a la parábola teórica (infinitas cargas puntuales uniformemente distribuidas en horizontal). La catenaria tampoco anda lejos (sería el resultado de quitar el peso de los vértices y añadir peso uniforme al hilo poligonal: las cargas se distribuyen uniformemente pero no en horizontal sino a lo largo de la curva, es decir, separadas por la misma longitud de arco en vez de por la misma longitud horizontal).

Newton's Principia

Si hay una rama matemática en donde el álgebra y la geometría tradicionales se funden de modo natural es en la geometría analítica, núcleo de los programas de geometría dinámica como GeoGebra.

 

Uno de los conceptos claves de la geometría analítica es el de vector. Su propia representación gráfica, en forma de flecha, invita a pensar en el movimiento, en el dinamismo. Usaremos los vectores para crear procedimientos dinámicos, muy sencillos pero a la vez muy potentes, con los que abordar algunas situaciones.

 

Suma vectorial

Las agujas de un reloj analógico pueden ser usadas como un ejemplo de vectores. El extremo de la aguja horaria recorre una circunferencia, al igual que el extremo del minutero. Si sumamos ambos vectores obtenemos un lugar geométrico más vistoso (el locus se autointerseca en 11 puntos, siempre que el minutero sea más largo que la aguja horaria, de cada una de 11 direcciones diferentes, lo que significa que en 12 horas la suma vectorial de ambas agujas coincide hasta 121 veces). Si además añadimos el segundero, la suma vectorial recorre un lugar todavía más complicado.

Las sumas vectoriales abren la puerta a la simulación de equilibrios de fuerzas. Gracias a los vectores, podemos simular fuerzas, ya sean atractivas o repulsivas, que obliguen a un punto a tender a ocupar una posición (o un recorrido) relativamente estable, es decir, equilibrada con respecto a otras fuerzas o restricciones.

Confinamiento circular entre puntos que se repelen

Podemos imaginar los puntos como partículas cargadas que se repelen entre sí y se encuentran confinadas al mismo círculo. A cada punto le asociamos la suma de los vectores de repulsión con el resto de puntos. Así, los puntos se recolocan automáticamente buscando la posición de equilibrio. Como era de esperar, esta posición corresponde siempre a los vértices de un polígono regular inscrito en la circunferencia.

Confinamiento cuadrado entre puntos que se repelen

Si cambiamos el círculo por otra figura menos simétrica, como un cuadrado, ya no son posibles distribuciones regulares en todos los casos. Sin embargo, la posición de equilibrio se sigue alcanzando siempre en la frontera perimetral.

 

Confinamiento esférico entre puntos que se repelen

Si pasamos del círculo a la esfera (problema de Thomson , un caso particular de uno de los dieciocho problemas matemáticos no resueltos propuestos por el matemático Steve Smale en el año 2000), la regularidad perfecta ya no es posible, ya que no existen sólidos platónicos con 5 o 7 vértices, por ejemplo.

 

 

 

 

Pero, además, ¡tampoco es cierto que el equilibrio se alcance siempre en la regularidad perfecta! De hecho, con 8 vértices no es el cubo la configuración que alcanza el equilibrio. Observemos también que en la mayoría de los casos aparecen poliedros de caras triangulares (pero en general no equiláteras, por lo que no son deltaedros ).

Recorrido mínimo

Los vectores que rigen los movimientos de las partículas pueden estar indefinidos. En cada paso, podemos ensayar con diversos vectores y quedarnos con aquél que mejor se adapte a nuestro objetivo.

 

 

 

 

 

En este ejemplo, simulación del conocido experimento con película jabonosa, las partículas prueban varios movimientos antes de decidirse por aquellos que minimizan la longitud total del perfil y, por tanto, el área total de la superfice (en este caso, se dirigen a los puntos de Steiner [23] de los cuatro vértices). Los ángulos de las láminas son de 120º debido a la uniformidad en la dirección de la distancia euclídea.

Órbita

Veamos con detalle qué simple es, gracias al deslizador permanentemente animado, observar el movimiento elíptico de la Tierra alrededor del Sol sin necesidad de recurrir al análisis infinitesimal [20].

 

 

 

 

Nota: Esta construcción fue realizada a partir de la sugerencia de mi compañero de departamento Julio Valbuena, quien adaptó la idea expuesta por Richard Feynman en su famoso libro The Feynman Lectures on Physics (volumen I, 9-7, Planetary motions), ver Bibliografía.

Colocamos el punto S (Sol) en el centro de coordenadas y un punto T (Tierra) con velocidad inicial el vector v. Si d es la distancia TS y k es una constante positiva, tenemos el vector de fuerza gravitatoria:

 

g = k/d² VectorUnitario(S–T)

 

Ahora solo hay que introducir un deslizador auxiliar para que, cada vez que se actualice, ejecute el simplísimo guion:

 

Valor(v, v + 0.03 g)

Valor(T, T + 0.03 v)

 

¡Y ya tenemos el movimiento elíptico! (Obsérvese que no hemos empleado ninguna ecuación ni lugar geométrico.)

Caos

La construcción anterior explica las órbitas casi perfectamente elípticas de los planetas alrededor del sol. El "casi" viene determinado por la presencia de otros cuerpos. Afortunadamente para los terrícolas, las órbitas del resto de planetas están suficientemente distantes para que no trastornen demasiado nuestro año solar. Aquí vemos qué pasaría si no fuese así. Se trata de una simplificación (dos cuerpos girando alrededor de otro en el mismo plano) del famoso "problema de los tres cuerpos" . Es impresionante observar cómo una construcción tan simple puede transformar el orden en caos [24].

Burbujas (uso de JavaScript)

Podemos usar los vectores para modificar el movimiento de un objeto en función de la distancia que se encuentre de otro, lo que permite, por ejemplo, detectar colisiones. El problema es que si hay muchos objetos (n), el número de eventos será elevado, pues crece con el cuadrado del número de objetos: n(n–1)/2. En estos casos, lo mejor es sustituir los guiones de GeoGebra por el código JS, más veloz, como se hace en esta construcción. En ella se muestra el choque elástico, pudiendo comprobarse la conservación en todo momento de la energía cinética total.

 

Tensegridades

La geometría elástica nos permite encontrar situaciones de equilibrio entre distintas fuerzas. Una aplicación interesante son las estructuras de tensegridad, compuestas por barras y cables en tensión que las mantienen unidas.

Tensegridad de prisma triangular

Pasemos al espacio. Una de las tensegridades más sencillas parte de un prisma recto cuyas bases son triángulos equiláteros. En sus aristas laterales colocamos barras y en el resto cables. Si ahora tensamos los cables, la tensegridad se alcanza cuando una de las bases gira exactamente 150º con respecto a la otra.

Tensegridad icosaédrica tensando cables

Uno de los padres de las tensegridades, Buckminster Fuller, mostró especial interés por esta tensegridad. Consiste en una estructura formada por tres pares de barras paralelas, perpendiculares entre sí, tensadas por cables. El conjunto constituye un icosaedro no convexo, conocido como el icosaedro de Jessen , cuyos vértices no se sitúan en las mismas posiciones que en el icosaedro regular.

 

 

 

Partimos de barras pegadas dos a dos. Al tensar la estructura, las barras se separan hasta que la dirección de la fuerza resultante coincida con la de la barra. La proporción entre la longitud de cada barra y cada cable será entonces de exactamente (≈1.63). Observemos que en el icosaedro regular tal proporción es la del número áureo (≈1.62). Podemos observar que el ángulo de las caras del icosaedro de Jessen es de 90º.

Tensegridad icosaédrica alargando barras

Podemos alcanzar el mismo resultado operando a la inversa. Es decir, en vez de tensar los cables, intentar alargar lo máximo posible las seis barras. En este caso partimos de un cuboctaedro. Colocamos las barras y las estiramos lo máximo posible conservando la longitud original de las aristas (los cables) del cuboctaedro.

 

 

 

Conclusión

Es cierto que el actual GeoGebra es mucho más complejo que su primera versión de hace un par de décadas. Contamos con tantos procedimientos y comandos que es necesaria una planificación previa para decidir, según sea el contexto, cuáles de ellos realmente necesitamos para alcanzar nuestros objetivos didácticos.

 

En esta presentación hemos comprobado, con numerosos ejemplos, que GeoGebra permite afrontar una gran variedad de problemas con un mínimo de medios. Mientras los comandos CAS hacen posible trascender en algunos casos la dificultad que supone la introducción del álgebra en la educación secundaria, las listas, los vectores y los guiones añaden facilidad para representar situaciones flexibles, dinámicas e interactivas. Y, a menudo, tremendamente atractivas, tanto en el sentido estético como en el sentido de que invitan a explorar nuestras propias construcciones (recordemos el efecto Ikea), lo que favorece la adquisición de la competencia matemática.

 

 

Agradecimientos

Aunque en esta presentación no he pretendido seguir los pasos de las líneas expositivas realizadas por Tomás Recio en su libro de 1998, Cálculo Simbólico y Geométrico [30], he de reconocer la enorme influencia que este libro, que recomiendo vivamente, ha tenido en mi modo de entender tanto las Matemáticas como su enseñanza. Además, quiero agradecer a Tomás sus sugerencias y aclaraciones sobre algunos de los puntos aquí expuestos.

Referencias

[1] Álvarez, J.L. y Losada, R. (2011). El proyecto Gauss. Revista SUMA, nº 68, pp. 17-25.

[2] Arranz, J.M., Losada, R., Mora, J.A. y Sada, M. (2008). El cristo de la farola. Divulgamat, Real Sociedad Matemática Española. Libro de GeoGebra: G⁴D en Divulgamat

[3] Arranz, J.M., Losada, R., Mora, J.A. y Sada, M. (2010). De luz y de color. Divulgamat, Real Sociedad Matemática Española. Libro de GeoGebra: G⁴D en Divulgamat

[4] Arranz, J.M., Losada, R., Mora, J.A., Recio, T. y Sada, M. (2009). GeoGebra on the rocks. Dynamic Geometry Geometry Learn.

[5] Arranz, J.M., Losada, R., Mora, J.A., Recio, T. y Sada, M. (2011). Modeling the cube using GeoGebra. Model-Centered Learning: Pathways to mathematical understanding using GeoGebra, pp. 119-131. Eds. L. Bu & R. Schoen (Eds.). Rotterdam: Sense Publishers.

[6] Calatayud, P. (2018). El problema de la separación de elipses y elipsoides: una aplicación de la eliminación de cuantificadores.

[7] Hohenwarter, M. (2006). GeoGebra – didaktische Materialien und Anwendungen für den Mathematikunterricht.

[8] Kovács, Z. (2021). Two almost-circles, and two real ones. Mathematics in Computer Science 15, pp. 789–801.

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